IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法課件

第六章學(xué)習(xí)目標(biāo)理解數(shù)字濾波器的基本概念了解最小相位延時(shí)系統(tǒng)理解全通系統(tǒng)的特點(diǎn)及應(yīng)用掌握沖激響應(yīng)不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點(diǎn)了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程了解利用頻帶變換法設(shè)計(jì)各種類型數(shù)字濾波器的方法第六章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器：

是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實(shí)現(xiàn)特殊濾波功能優(yōu)點(diǎn)：一、數(shù)字濾波器的基本概念

1、數(shù)字濾波器的分類經(jīng)典濾波器： 現(xiàn)代濾波器： 選頻濾波器維納濾波器卡爾曼濾波器自適應(yīng)濾波器等按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器按實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：FIR濾波器（N-1階）IIR濾波器（N階）2、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長的選擇等實(shí)際技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法3、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求選頻濾波器的頻率響應(yīng)：為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況 ：通帶截止頻率 ：阻帶截止頻率 ：通帶容限 ：阻帶容限阻帶：過渡帶：通帶：理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當(dāng)時(shí)，稱為3dB通帶截止頻率4、表征濾波器頻率響應(yīng)的特征參量幅度平方響應(yīng)

的極點(diǎn)既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的H(z)的極點(diǎn)：單位圓內(nèi)的極點(diǎn)相位響應(yīng)相位響應(yīng)：群延遲響應(yīng)相位對角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值若濾波器通帶內(nèi)=常數(shù)， 則為線性相位濾波器5、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：即為求濾波器的各系數(shù)：計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法

s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器二、最小與最大相位延時(shí)系統(tǒng)、最小 與最大相位超前系統(tǒng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：頻率響應(yīng)：模：相角：當(dāng)位于單位圓內(nèi)的零/極矢量角度變化為位于單位圓外的零/極矢量角度變化為0令：單位圓內(nèi)零點(diǎn)數(shù)為mi單位圓外的零點(diǎn)數(shù)為mo單位圓內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)為pi單位圓外的極點(diǎn)數(shù)為po則：全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)：po

=0，pi=N因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)：

2）全部零點(diǎn)在單位圓外：

為最小相位延時(shí)系統(tǒng)為最大相位延時(shí)系統(tǒng)n<0時(shí)，h(n)=0相位延時(shí)系統(tǒng)逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)：

2）全部零點(diǎn)在單位圓外：

全部極點(diǎn)在單位圓外：po

=N，pi=0為最大相位超前系統(tǒng)為最小相位超前系統(tǒng)相位超前系統(tǒng)n>0時(shí)，h(n)=0最小相位延時(shí)系統(tǒng)的性質(zhì)1）在相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后2）最小相位延時(shí)系統(tǒng)的能量集中在n=0附近，而總能量相同5）級聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng)，可以將一最小相位系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成一相同幅度響應(yīng)的非最小相位延時(shí)系統(tǒng)4）在相同的系統(tǒng)中，唯一3）最小相位序列的最大：三、全通系統(tǒng)對所有，滿足：稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)一階全通系統(tǒng)：極點(diǎn)：零點(diǎn)：零極點(diǎn)以單位圓為鏡像對稱極點(diǎn)：零點(diǎn)：實(shí)系數(shù)二階全通系統(tǒng)兩個(gè)零點(diǎn)（極點(diǎn)）共軛對稱極點(diǎn)：零點(diǎn)：零點(diǎn)與極點(diǎn)以單位圓為鏡像對稱

N階數(shù)字全通濾波器極點(diǎn)：的根零點(diǎn)：的根全通系統(tǒng)的應(yīng)用1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯(lián)其中：H1(z)為最小相位延時(shí)系統(tǒng)， 為單位圓外的一對共軛零點(diǎn)把H(z)單位圓外的零點(diǎn)： 映射到單位圓內(nèi)的鏡像位置： 構(gòu)成Hmin(z)的零點(diǎn)。而幅度響應(yīng)不變：2）級聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個(gè)穩(wěn)定濾波器把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點(diǎn)映射到單位圓內(nèi)單位圓外極點(diǎn)：3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性利用均方誤差最小準(zhǔn)則求均衡器Hap(z)的有關(guān)參數(shù)四、用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)思想：

s平面z平面 模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，

即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)，

即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的單位圓內(nèi)|z|<1設(shè)計(jì)方法：-沖激響應(yīng)不變法-階躍響應(yīng)不變法-雙線性變換法五、沖激響應(yīng)不變法數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)1、變換原理T—抽樣周期2、混迭失真僅當(dāng)數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為

實(shí)際系統(tǒng)不可能嚴(yán)格限帶，都會混迭失真，在 處衰減越快，失真越小當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率給定時(shí)，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象3、模擬濾波器的數(shù)字化方法系數(shù)相同：極點(diǎn)：s平面

z平面穩(wěn)定性不變：s平面z平面當(dāng)T很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)T=1s，則模擬濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：4、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：保持線性關(guān)系： 線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng) 時(shí)域逼近良好六、階躍響應(yīng)不變法變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng) 模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)

T—抽樣周期階躍響應(yīng)不變法同樣有頻率響應(yīng)的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應(yīng)不變法要小。七、雙線性變換法1、變換原理使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) 與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近 缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù)c2、變換常數(shù)c的選擇2）某一特定頻率嚴(yán)格相對應(yīng)：1）低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系：特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置3、逼近情況1）

s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內(nèi)

s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上4、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s平面與z平面為單值變換缺點(diǎn)：除了零頻率附近，與之間嚴(yán)重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變預(yù)畸變 給定數(shù)字濾波器的截止頻率，則按設(shè)計(jì)模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到為截止頻率的數(shù)字濾波器6、模擬濾波器的數(shù)字化方法可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)八、常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器切比雪夫Chebyshev

濾波器橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器1、由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實(shí)函數(shù)將左半平面的的極點(diǎn)歸將以虛軸為對稱軸的對稱零點(diǎn)的任一半作為的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)將因式分解，得到各零極點(diǎn)對比和，確定增益常數(shù)由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得例：解：極點(diǎn)：零點(diǎn)：（二階）零點(diǎn)：的極點(diǎn)：設(shè)增益常數(shù)為K02、Butterworth低通逼近幅度平方函數(shù)：當(dāng)稱為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：

3dB不變性通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小當(dāng)（阻帶截止頻率）時(shí)，衰減為阻帶最小衰減Butterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：

2）幅度平方特性的極點(diǎn)分布：極點(diǎn)在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn)極點(diǎn)間的角度間隔為極點(diǎn)不落在虛軸上

N為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)，實(shí)軸上無極點(diǎn)3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得4）濾波器的設(shè)計(jì)步驟：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標(biāo)：由得：同理：令則：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)： 或者由N，直接查表得其中技術(shù)指標(biāo)給出或由下式求出： 其中極點(diǎn)：去歸一化阻帶指標(biāo)有富?；蛲◣е笜?biāo)有富裕例：設(shè)計(jì)Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率到之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選T=1sa）確定參數(shù) 用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點(diǎn)（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化4）將展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2、用雙線性變換法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：a）確定參數(shù) 用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無混迭問題3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點(diǎn)（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化4）將變換成Butterworth數(shù)字濾波器：3、Chebyshev低通逼近N：濾波器的階數(shù)幅度平方函數(shù)：：截止頻率，不一定為3dB帶寬，表示通帶波紋大小，越大，波紋越大：N階Chebyshev多項(xiàng)式

1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0N為偶數(shù)N為奇數(shù)通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏

2）Chebyshev濾波器的三個(gè)參量：：通帶截止頻率，給定：表征通帶內(nèi)波紋大小N：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)由通帶衰減決定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高為阻帶截止頻率3）幅度平方特性的極點(diǎn)分布：4）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：其中：5）濾波器的設(shè)計(jì)步驟: 歸一化：確定技術(shù)指標(biāo)：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N及：其中：或者由N和，直接查表得其中極點(diǎn)由下式求出：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：去歸一化 例：用雙線性變換法設(shè)計(jì)Chebyshev數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率到之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：a）確定參數(shù)3）設(shè)計(jì)Chebyshev模擬低通濾波器b)求左半平面極點(diǎn)c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)c’)去歸一化b’)由N=4，直接查表得或者：4）將變換成Chebyshev數(shù)字濾波器：將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)小結(jié)：利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的步驟

通帶截止頻率、通帶衰減 阻帶截止頻率、阻帶衰減通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法按模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器Butterworth低通濾波器Chebyshev低通濾波器將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法九、設(shè)計(jì)IIR濾波器的頻率變換法十、模擬域頻帶變換法歸一化模擬低通模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻模擬域頻帶變換雙線性變換歸一化：1、模擬低通—模擬低通 當(dāng)通帶截止頻率時(shí)，相當(dāng)于去歸一化2、模擬低通—模擬帶通變換關(guān)系：B為通帶帶寬歸一化變換：其中：例：設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3πrad到0.4πrad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2π

rad以下和0.5π

rad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用Butterworth模擬低通濾波器、雙線性變換