有限單元法平面問題例題課件

平面有限元解法設有對角受壓的正方形薄板（如上圖所示），載荷沿厚度均勻分布，為2N/m。試對該結構進行整體分析，建立整體剛度矩陣和整體結點載荷列陣，建立整體結點方程組，通過編程求解出結點的位移，并從而求出各單元的應力。（為簡單起見，取板的厚度t=1,彈性常數(shù)E=1,泊松比μ＝0）1精選ppt右圖為取1/4模型，離散后，單元、結點、荷載和約束的簡圖。1簡化力學模型、選取單元類型

結構及荷載沿雙軸對稱，選取1/4結構結構。

圖所示為平面應力問題，平面應力單元類型中，3結點三角形單元

2精選ppt2結構離散，單元編號、結點編號3精選ppt將對象劃分成4個單元，共有6個結點，單元和結點上均編上號碼，其中結點的整體編碼1至6，以及個單元的結點局部編碼i,j,m,均示于上圖中。單元號ⅠⅡⅢⅣ局部編碼整體編碼i3526j1253m24354精選ppt3.1結點位移列陣、荷載列陣3單元分析（對逐個單元進行分析。以單元1為例）5精選ppt3.2位移函數(shù)3單元分析6精選ppt3.3討論位移函數(shù)的收斂性

（1）完備性

（2）協(xié)調性3單元分析7精選ppt3.4推導形函數(shù)（只需分析1個單元，其余可直接用公式計算）

代入結點坐標和位移3單元分析8精選ppt常數(shù)3單元分析9精選ppt設3單元分析10精選ppt得到3單元分析11精選ppt3單元分析12精選ppt3單元分析得到內(nèi)部任意一點位移和結點位移的關系式13精選ppt3單元分析得到內(nèi)部任意一點位移和結點位移的關系式14精選ppt3單元分析得到形函數(shù)矩陣15精選ppt3單元分析3.5推導內(nèi)部任意一點應變和結點位移的轉換關系16精選ppt3單元分析17精選ppt3單元分析18精選ppt3單元分析19精選ppt3單元分析3.6推導內(nèi)部任意一點應力和結點位移的轉換關系平面應力的彈性矩陣為20精選ppt3單元分析把D、B矩陣代入公式即可應力轉換矩陣S21精選ppt3單元分析3.7得到單元剛度矩陣

把B和D矩陣代入對3結點三角形，可以簡化為22精選ppt3單元分析3.8單元等效荷載計算

23精選ppt4組成整體剛度矩陣暫時不考慮位移邊界條件，把所分析結構的整體結點平衡方程組列出：整體剛度矩陣寫成6×6的矩陣，它的每個子塊是2×2的矩陣，實際它是一個12×12的矩陣。如K23，它的四個元素表示當結構的結點3沿x或y方向有單位位移時，在結點2的x方向或y方向引起的結點力。24精選ppt4組成整體剛度矩陣整體剛度矩陣寫成6×6的矩陣，它的每個子塊是2×2的矩陣，實際它是一個12×12的矩陣。如K23，它的四個元素表示當結構的結點3沿x或y方向有單位位移時，在結點2的x方向或y方向引起的結點力。25精選ppt4整體剛度矩陣續(xù)由于于結點3和結點2在結構中是通過Ⅰ和Ⅲ這兩個單元相聯(lián)系，因而K23應是單元Ⅰ的k23和單元Ⅲ的k23之和。同理，可以找到各單元剛度矩陣中所有子矩陣在整體剛度矩陣K中的位置，得到整體勁度矩陣。式中k的上標1,2,3,4表示是哪一個單元的剛度矩陣中的子矩陣，空白處是2×2的零矩陣。26精選ppt4整體剛度矩陣續(xù)對于單元Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，將上式中各子塊的具體數(shù)值代入整體剛度矩陣K表達式中，得出整體剛度矩陣。對于單元Ⅲ，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，把μ＝0，t＝1m，代入單元的剛度矩陣，得兩種單元的剛度矩陣k都是：(37’)27精選ppt4整體剛度矩陣整體剛度矩陣K(38’)28精選ppt5引入位移邊界條件位移邊界條件為：因此，整體結點的位移列陣就簡化為：29精選ppt5引入位移邊界條件與這6個零位移分量相應的6個平衡方程不必建立，因此，將整體剛度矩陣中，第1、3、7、8、10、12各行以及同序號的各行劃去，因而整體勁度矩陣K簡化為：30精選ppt6整體結點載荷列陣確定了每個單元的結點載荷列陣：根據(jù)各單元的結點局部編碼與整體編碼的關系，確定三個子塊FLi,FLj,FLm在FL中的位置。31精選ppt6整體結點載荷列陣由于該結構只是在結點1受有向下1N/m的載荷，因而，非零元素子塊，只有在考慮了邊界條件后，整體載荷列陣為：32精選ppt平面有限元解法——求解整體結點載荷列陣求解化簡后的整體剛度矩陣：(39)求解以后，得結點位移：33精選ppt平面有限元解法——求解應力轉換矩陣應用單元的應力轉換矩陣S，求出各單元中的應力：根據(jù)μ＝0，以及已求出的A、b和c的值，再由式(21)和(22)得出應力轉換矩陣如下，對于單元Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ

：對于單元Ⅲ34精選ppt平面有限元解法——求解各單元中的應力（續(xù)）應用單元的應力轉換矩陣S，求出各單元中的應力：Pa單元Ⅰ單元ⅡPa35精選ppt平面有限元解