廣西專用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點規(guī)范練15導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（含解析）新人教A版（理）

考點規(guī)范練15導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)鞏固1.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則下列判斷正確的是()A.在區(qū)間(-2,1)內(nèi),f(x)單調(diào)遞增B.在區(qū)間(1,3)內(nèi),f(x)單調(diào)遞減C.在區(qū)間(4,5)內(nèi),f(x)單調(diào)遞增D.在區(qū)間(-3,-2)內(nèi),f(x)單調(diào)遞增答案:C解析:由題圖知,當(dāng)x∈(4,5)時,f'(x)>0,所以在區(qū)間(4,5)內(nèi),f(x)單調(diào)遞增.2.函數(shù)f(x)=12x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為(A.(0,1) B.(0,1)∪(-∞,-1)C.(-∞,1) D.(-∞,+∞)答案:A解析:f(x)=12x2-lnx的定義域為(0,+∞f'(x)=x-1x,令f'(x)<0,即x-1x解得0<x<1或x<-1,又x>0,所以0<x<1.故選A.3.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù)的是()A.y=sin2x B.y=xexC.y=x3-x D.y=-x+ln(1+x)答案:B解析:若y=xex,則y'=ex+xex=ex(1+x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恒大于0.故y=xex在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù).4.若f(x)=lnxx,e<a<b,則(A.f(a)<f(b) B.f(a)=f(b)C.f(a)>f(b) D.f(a)f(b)>1答案:C解析:令f'(x)=1-lnxx2∴f(x)在區(qū)間(e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.∵e<a<b,∴f(a)>f(b).5.(2020四川德陽模擬)若函數(shù)f(x)=ex(sinx+a)在R上為增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為()A.[2,+∞) B.(1,+∞) C.[-1,+∞) D.(2,+∞)答案:A解析:因為f(x)=ex(sinx+a),所以f'(x)=ex(sinx+a+cosx).因為f(x)在R上為增函數(shù),所以f'(x)≥0恒成立.即sinx+a+cosx≥0恒成立.所以a≥-sinx-cosx恒成立.因為-sinx-cosx=-2sinx+所以-2≤-sinx-cosx≤2,所以6.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=x2-4x+3,則函數(shù)f(x+1)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案:(0,2)解析:由f'(x)=x2-4x+3,f'(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x,令f'(x+1)<0,解得0<x<2,所以f(x+1)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2).7.若函數(shù)f(x)=ax3-x恰有三個單調(diào)區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍是.

答案:(0,+∞)解析:∵f(x)=ax3-x,∴f'(x)=3ax2-1,要使函數(shù)f(x)=ax3-x恰有三個單調(diào)區(qū)間,則f'(x)是二次函數(shù),且f'(x)=0有兩個不等實根,∴a>0,即實數(shù)a的取值范圍是(0,+∞).8.已知函數(shù)y=f(x)在定義域-32,3內(nèi)可導(dǎo),其圖象如圖所示.記y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f'(x),則不等式xf'(x答案:-32,-解析:對于不等式xf'(x)≤0,當(dāng)-32<x<0時,f'(x)≥0,則結(jié)合題中圖象知,原不等式的解集為-32,-13;當(dāng)x=0時,顯然成立;當(dāng)0<x<3時,f'(x)≤0,則結(jié)合題中圖象知,原不等式的解集為(0,1]∪[2,3).9.若函數(shù)f(x)=12x2-9lnx在區(qū)間[a-1,a+1]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是.答案:(1,2]解析:∵f(x)=12x2-9lnx,∴f'(x)=x-9x(x>0).令x-9x≤0,解得x≤-3或0<x≤3,又x>0,∴0<x≤3,即f(x)在區(qū)間(0,3]上單調(diào)遞減.又f(x)在區(qū)間[∴a-1>0,且a+1≤3,解得1<a≤2.10.試求函數(shù)f(x)=kx-lnx的單調(diào)區(qū)間.解:函數(shù)f(x)=kx-lnx的定義域為(0,+∞),f'(x)=k-1當(dāng)k≤0時,kx-1<0,∴f'(x)<0,則f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)k>0時,由f'(x)<0,即kx-1x<0,解得0由f'(x)>0,即kx-1x>∴當(dāng)k>0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為0,單調(diào)遞增區(qū)間為1綜上所述,當(dāng)k≤0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);當(dāng)k>0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為0,111.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2x+2.(1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若a>0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解:(1)∵a=1,∴f(x)=x3+x2-x+2,∴f'(x)=3x2+2x-1,∴f'(1)=4.又f(1)=3,∴切點坐標(biāo)為(1,3),∴所求切線方程為y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.(2)f'(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)·(3x-a),由f'(x)=0得x=-a或x=a又a>0,由f'(x)<0,得-a<x<a3由f'(x)>0,得x<-a或x>a3故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-a,a3,單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞能力提升12.已知函數(shù)y=xf'(x)的圖象如圖所示(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),則下面四個圖象中為y=f(x)的大致圖象的是()答案:C解析:當(dāng)x<-1時,xf'(x)<0,∴f'(x)>0,∴當(dāng)x<-1時,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)-1<x<0時,xf'(x)>0,∴f'(x)<0,∴當(dāng)-1<x<0時,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)0<x<1時,xf'(x)<0,∴f'(x)<0,∴當(dāng)0<x<1時,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,∴當(dāng)x>1時,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增.結(jié)合各選項,知C項正確.13.(2020浙江紹興二模)已知函數(shù)f(x)與f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=f(x)A.(0,4) B.(-∞,1),4C.0,43 D.答案:D解析:由題中圖象可知,過點(0,0)及點43,0的圖象為函數(shù)f'(x)的圖象,且g'(x)令g'(x)<0,可得f'(x)<f(x),結(jié)合題中圖象可知,0<x<1及x>4符合該不等式,故所求單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),(4,+∞).14.(2020浙江金華模擬)已知f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足xf'(x)-2f(x)>0,若f(x)是偶函數(shù),f(1)=1,則不等式f(x)>x2的解集為.

答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:令g(x)=f(x)x則g'(x)=x因為xf'(x)-2f(x)>0,所以,當(dāng)x>0時,g'(x)>0,所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.又f(x)是偶函數(shù),故g(x)=f(x)x而f(1)=1,故g(1)=f(1)1因此,f(x)>x2?f(x)x2>1,即g(x)>g(1),即所以,|x|>1,解得x>1或x<-1.則不等式f(x)>x2的解集為(-∞,-1)∪(1,+∞).15.已知函數(shù)f(x)=ax2+ln(x+1).(1)當(dāng)a=-14時,求函數(shù)f(x(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)當(dāng)a=-14f(x)=-14x2+ln(x+1)(x>-f'(x)=-12x+1x+1=-(x當(dāng)f'(x)>0時,解得-1<x<1;當(dāng)f'(x)<0時,解得x>1.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+∞).(2)因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)為減函數(shù),所以f'(x)=2ax+1x+1≤0對任意x∈[1,即a≤-12x(x+1)對任意x令g(x)=-12x(x+1),則因為在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)g'(x)>0,所以g(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故g(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)的最小值g(x)min=g(1)=-14,故a≤-14.即實數(shù)a16.(2020廣西南寧三中模擬)已知函數(shù)f(x)=kx-lnx.(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,求k的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點x1,x2,求證:x1x2>e2.答案:(1)解∵f(x)=kx-lnx,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴f'(x)=k-1x≥0在區(qū)間(1,+∴k≥1x在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,∴k(2)證明不妨設(shè)x1>x2>0,∵f(x1)=f(x2)=0,∴kx1-lnx1=0,kx2-lnx2=0,可得lnx1+lnx2=k(x1+x2),lnx1-lnx2=k(x1-x2),要證明x1x2>e2,即證明lnx1+lnx2>2,也就是證k(x1+x2)>2,∵k=lnx1-lnx即lnx1x2>2x1x令g(t)=lnt-2(t-1)t+1,t>1,則g'故函數(shù)g(t)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù),∴g(t)>g(1)=0,即lnt>2(t-1)高考預(yù)測17.設(shè)函數(shù)f(x)=x(1)求證:f(x)在區(qū)間(0,1)和(1,+∞)內(nèi)都單調(diào)遞增;(2)若在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi),不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范圍.答案:(1)證明f'(x)=2xlnx-x2-令g(x)=2lnx-x2-1x2,則g'當(dāng)0<x<1時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=x(lnx)2g(x)>0,故當(dāng)x>1時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=x(lnx)2g故f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)解af(x)-x=a(x令h(x)=a(x2-1)則h'(x)=a令φ(x)=ax2-x+a,當(dāng)a>0,且方程φ(x)=0的判別式Δ=1-4a2≤0,即a≥12時,此時φ(x)=ax2-x+a>0在區(qū)間(0,1),(1,+∞)內(nèi)恒成立,所以當(dāng)a≥12時,在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi),h'(x)>0,故h(x若0<x<1,h(x)<h(1)=0,所以af(x)-x=xlnxh(x)若x>1,h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=xlnxh(x)所以當(dāng)x>0,且x≠1時都有