數(shù)學(xué)人教八年級(jí)上冊(cè)（2013年新編）13-3-2 等腰三角形的判定（當(dāng)堂達(dá)標(biāo)）

13.3.2等腰三角形的判定夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，∴設(shè)∠A＝2x，則∠B＝2x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2x+2x+5x＝180°，解得x＝20°，∴∠A＝∠B＝40°，∠C＝5x＝5×20°＝100°.∴AC＝CB.∴△ABC是鈍角三角形，等腰三角形.故答案為：A.【分析】設(shè)∠A=2x，則∠B=2x，∠C=5x，再由三角形內(nèi)角和定理求出x的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠C的度數(shù)，由此判斷出△ABC的形狀即可2．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點(diǎn)E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，則BD的長為()A．2.5 B．1.5 C．2 D．1【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE．∴BD=BE=AE=（AC-BC）．∵AC=5，BC=3，∴BD=×（5-3）=2．故答案為：D【分析】角平分線得出線段相等，等角對(duì)等邊，在根據(jù)相對(duì)垂直平分線的性質(zhì)求BD3．如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE=BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴圖中的等腰三角形有5個(gè)．故選D．【分析】根據(jù)已知條件分別求出圖中三角形的內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的判定即可找出圖中的等腰三角形．4．已知：如圖，下列三角形中，，則經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線能夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定【解析】【解答】由題意知，要求“被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形”，①中分成的兩個(gè)等腰三角形的角的度數(shù)分別為：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；②不能；③顯然原等腰直角三角形的斜邊上的高把它還分為了兩個(gè)小等腰直角三角形，能；④中的為36°，72，72°和36°，36°，108°，能.故答案為：C.【分析】頂角為：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一條直線把等腰三角形分割成兩個(gè)小的等腰三角形，再用一條直線分其中一個(gè)等腰三角形變成兩個(gè)更小的等腰三角形.5．如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠D．若請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件，使得△BOC是等腰三角形，則你補(bǔ)充的條件不能是（）A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：A、在△AOB和△DOC中

∴△AOB≌△DOC（ASA）

∴OB=OC

∴△BOC是等腰三角形，故A不符合題意；

B、在△AOB和△DOC中

∴△AOB≌△DOC（AAS）

∴OB=OC

∴△BOC是等腰三角形，故B不符合題意；

C、補(bǔ)充∠ABO＝∠DCO，不能證明△AOB≌△DOC，

因此不能證明△BOC是等腰三角形，故C符合題意；

D、在△ACB和△DBC中

∴△ACB≌△DBC（AAS）

∴∠ACB=∠DBC

∴OB=OC

∴△BOC是等腰三角形，故D不符合題意；

故答案為：C.

【分析】圖形中的隱含條件為：∠AOB=∠DOC，BC=CB，利用ASA可證得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可證得OB=OC，可對(duì)A作出判斷；利用AAS可證得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的性質(zhì)，可證得OB=CO，可對(duì)B作出判斷；再根據(jù)證明兩三角形全等至少要有一組對(duì)應(yīng)邊相等，可對(duì)C作出判斷；利用AAS證明△ACB≌△DBC，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可證得∠ACB=∠DBC，利用等角對(duì)等邊，可證得OB=OC，可對(duì)D作出判斷.6．如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，若∠BAC=110°，則∠EAF為（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵∠BAC=110°，∴∠C+∠B=70°，∵EG、FH分別為AC、AB的垂直平分線，∴EC=EA，F(xiàn)B=FA，∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，∴∠EAC+∠FAB=70°，∴∠EAF=40°，故答案為：B．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C+∠B的度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線定理得出EC=EA，F(xiàn)B=FA，從而求出∠EAC+∠FAB的度數(shù)，即可求得∠EAF的度數(shù)。7．如圖，△ABC的面積為8cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△PBC的面積為（）A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】如圖，延長AP交BC于點(diǎn)E，

∵AP垂直∠B的平分線BP于P，∠ABP=∠EBP，

又知BP=BP，∠APB=∠EPB=90，

∴ABPEBP（ASA）

∴SABP=SEBP，AP=PE，

∴APC和CPE等底同高，

∴SACP=SECP，

∴SPBC=SEBP+SECP=SABC=4cm2.故答案為：C.

【分析】本題主要考查面積及等積變換的知識(shí)，證明出PBC的面積和原三角形ABC的面積之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.二、填空題：8．在三角形中，已知，，那么的形狀是．【答案】等腰三角形【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定【解析】【解答】解：∵，且∴∴∴所以這個(gè)三角形是等腰三角形．故答案為：等腰三角形．【分析】先求出∠C=70°，再求出，最后計(jì)算求解即可。9．如圖，在△ABC中，BD平分ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，則△AED的周長為【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∵ED∥BC，

∴∠CBD=∠BDE，

∴∠ABD=∠BDE，

∴BE=DE，

△AED的周長=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，

∵AB=3，AD=1，

∴△AED的周長=3+1=4.

故答案為：4【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CBD=∠BDE，從而得到∠ABD=∠BDE，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE=DE，然后求出△AED的周長=AB+AD，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．，10．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長為．【答案】9【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故答案為：9．【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得結(jié)論．11．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在CA延長線上，EP⊥BC于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)F，若AF=2，BF=3，則CE的長度為．【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】證明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵EP⊥BC，∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，∴∠E=∠BFP，又∵∠BFP=∠AFE，∴∠E=∠AFE，∴AF=AE，∴△AEF是等腰三角形．又∵AF=2，BF=3，∴CA=AB=5，AE=2，∴CE=7．【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠C，再根據(jù)EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，從而得出∠D=∠BFP，再根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠E=∠AFE，最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可得出答案．12．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分線，點(diǎn)E到AB的距離等于3cm，則CF=cm.【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AE是∠BAC的平分線，∴CE=點(diǎn)E到AB的距離=3cm，∠BAE=∠CAE，∵∠AEC+∠CAE=90°，∠AFD+∠BAE=90°，∴∠AEC=∠AFD，∵∠CFE=∠AFD，∴∠CEF=∠CFE，∴CF=CE=3cm．故答案為：3．【分析】利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，就可證得CE=點(diǎn)E到AB的距離=3cm，再證明∠CEF=∠CFE，就可得出CE=CF，就可得到CF的長。13．如圖，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且PD∥AB，PE∥AC，則△PDE的周長是cm．【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∴BD＝PD，CE＝PE，∴△PDE的周長＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝5cm．故答案為：5．【分析】由BP、CP為ABC、ACB的角平分線，可知∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE；再由PD∥AB，PE∥AC，可知∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE；由上述結(jié)論可知∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，由等角對(duì)等邊可得BD=PD，PE=CE，所以三角形PDE的周長為PD+DE+PE=BD+DE+CE=BC。三、解答題：14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相于點(diǎn)O.證明OB＝OC.【答案】證明：∵，∴，又∵是的高，∴，∴在和中，，∴（），∴，∴.【知識(shí)點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB，根據(jù)高線的概念可得∠CEB=∠BDC=90°，然后用AAS證明△BEC≌△CDB，得到∠ECB=∠DBC，最后根據(jù)等角對(duì)等邊進(jìn)行證明.15．如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求證：AB+BD=AC．【答案】解：如圖，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DE=BD，∠AED=∠ABC，∵∠AED=∠C+∠CDE，∠ABC=2∠C，∴∠CDE=∠C，∴CE=DE，∵AE+CE=AC，∴AB+BD=AC．【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定【解析】【分析】結(jié)合圖形，要證AB+BD=AC，通常先在AC上截取AE=AB，然后證得CE=BD.由AD平分∠BAC，得出∠CAD=∠BAD，又AE=AB，AD=AD，利用SAS證得△ABD≌△AED，DE=BD，∠AED=∠ABC，再由∠AED=∠C+∠CDE，及∠ABC=2∠C，得∠CDE=∠C，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE=DE，進(jìn)而得CE=BD.16．如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，延長BF交AC于E，且AE＝EF，求證：BF＝AC.【答案】證明：如圖，延長FD到G，使DG＝DF，連結(jié)CG.∵AD是BC邊的中線，∴BD＝CD.在△BDF和△CDG中，∴△BDF≌△CDG（SAS），∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，∴∠G＝∠CAG，∴AC＝CG，∴BF＝AC.【知識(shí)點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】如圖，延長FD到G，使DG＝DF，連結(jié)CG，利用SAS證明△BDF≌△CDG，可得BF＝CG，∠BFD＝∠G，由等腰三角形性質(zhì)及對(duì)頂角相等可得∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，即得∠G＝∠CAG，由等角對(duì)等邊可得AC＝CG，即得BF＝AC.能力提升篇一、單選題：1．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都是1．已知A、B是兩格點(diǎn)，若△ABC為等腰三角形，且S△ABC=1.5，則滿足條件的格點(diǎn)C有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：如上圖：分情況討論．①AB為等腰△ABC底邊時(shí)，符合△ABC為等腰三角形的C點(diǎn)有4個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合△ABC為等腰三角形的C點(diǎn)有4個(gè)．因?yàn)镾△ABC=1.5，所以滿足條件的格點(diǎn)C只有兩個(gè)，如圖中藍(lán)色的點(diǎn)．故選B．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰；然后根據(jù)S△ABC=1.5，再確定點(diǎn)C的位置．2．如圖，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，過D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在AB上，且滿足DF=DE，則∠DFB的度數(shù)為（）A．25° B．130° C．50°或130° D．25°或130°【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：如圖，DF=DF′=DE；∵BD平分∠ABC，由圖形的對(duì)稱性可知：△BDE≌△BDF，∴∠DFB=∠DEB；∵DE∥AB，∠ABC=50°，∴∠DEB=180°﹣50°=130°；∴∠DFB=130°；當(dāng)點(diǎn)F位于點(diǎn)F′處時(shí)，∵DF=DF′，∴∠DF′B=∠DFF′=50°，故選C．【分析】如圖，證明∠DFB=∠DEB，此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；求出∠DEB=130°，即可解決問題．3．如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點(diǎn)G作GD⊥AC于D，下列四個(gè)結(jié)論：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+∠A；③點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等；④設(shè)GD=m，AE+AF=n,則=mn.其中正確的結(jié)論有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小題正確；②∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故本小題正確；③∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，∴點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等，故本小題正確；④連接AG，∵點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，GD=m，AE+AF=n，∴S△AEF=AE?GD+AF?GD=（AE+AF）?GD=nm，故本小題錯(cuò)誤．故答案為：C．【分析】利用角平分線的性質(zhì)可證得∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可證得∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，再證明∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，就可得出BE=EG，GF=CF，從而可證①的結(jié)論；利用角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理，可對(duì)②作出判斷；BG、CG是△ABC的兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)，可證得點(diǎn)G時(shí)內(nèi)心，利用三角形角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可對(duì)③作出判斷；由已知條件：點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，GD=m，AE+AF=n，就可得出△AEF的面積=（AE+AF）?GD，代入計(jì)算，可對(duì)④作出判斷，綜上所述，可得出正確結(jié)論的個(gè)數(shù)。二、填空題：4．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與，重合），連接，作，與交于.在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的度數(shù)為時(shí)，的形狀是等腰三角形.【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①當(dāng)AD=AE時(shí)，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此時(shí)不符合；②當(dāng)DA=DE時(shí)，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=100°-70°=30°；∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；③當(dāng)EA=ED時(shí)，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°-40°=60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，∠BDA的度數(shù)是110°或80°，故答案為：110°或80°.【分析】利用等邊對(duì)等角可求出∠C的度數(shù)，再利用等腰三角形的定義，分情況討論：當(dāng)AD=AE時(shí)，可得到∠AED=40°，利用三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角，可知此時(shí)不符合；當(dāng)DA=DE時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求出∠DAE的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，∠BAD的度數(shù)；然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDA的度數(shù)；當(dāng)EA=ED時(shí)，∠ADE=∠DAE=40°，由此可求出∠BAD的度數(shù)；然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDA的度數(shù).5．如圖，在三角形ABC中，DE垂直平分BC，交BC、AB分別于D、E，連接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACF=16°，則∠EFB=【答案】61.5°【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】∵DE垂直平分BC，∴BE=EC，∵BE=AC，∴CE=AC，∴△ACE是等腰三角形，∵∠ACE=16°，∴∠AEC=∠A=82°，∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=∠AEC＝×82°＝41°，∵BF平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC＝×41°＝20.5°，∴∠EFB=∠AEC-∠EBF=82°-20.5°=61.5°，故答案為：61.5°【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)解答即可.6．如圖，已知點(diǎn)P是射線BM上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，當(dāng)∠OAP=時(shí)，以A、O、B中的其中兩點(diǎn)和P點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【答案】75°或120°或90°【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定【解析】【解答】解：如圖，

∵∠ABM=∠AOB+∠OAB，

∴∠OAB=30°，

①當(dāng)AOP1是等腰三角形時(shí)，

∵OA=OP1，

∵∠AOB=30°，

∴∠OAP1=（180°-30°）÷2=75°；

②當(dāng)△ABP2是等腰三角形時(shí)，

∵∠ABM=60°，

∴△ABP2是等邊三角形，

∴∠BAP2=60°，

∴∠OAP2=∠OAB+∠BAP2=90°；

③當(dāng)△OAP3是等腰三角形，

∵OA=AP3，

∴∠AOB=∠AP3O，

∴∠OAP3=180°-2∠A=120°.

綜上，∠OAP為75°或120°或90°

故答案為：75°或120°或90°.

【分析】分三種情況討論，即當(dāng)OA=OP1，AB=AP2，或OA=AP3，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出∠OAP的度數(shù).7．如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作交于E，交于F，過點(diǎn)O作于D，有下列結(jié)論：①；②點(diǎn)O到各邊的距離相等；③；④.其中正確的結(jié)論是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）.【答案】①②③④【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°∠A，∴∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故③正確；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正確；過點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O到△ABC各邊的距離相等，故②正確.

在Rt△AMO與Rt△ADO中，

∵OM=OD，AO=AO，

∴Rt△AMO≌Rt△ADO∴AM=AD，

同理BM=BN，CD=CN，∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=（AB+ACBC）故④正確，故答案為：①②③④.【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，根據(jù)角平分線的定義與三角形內(nèi)角和定理，即可求得③正確；由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正確；由角平分線的性質(zhì)得出點(diǎn)O到△ABC各邊的距離相等，故②正確；根據(jù)HL可以證出△AMO與△ADO全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出AM=AD，同理BM=BN，CD=CN，最后算（AB+ACBC）即可得出判斷出④.三、解答題：8．如圖，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD的平分線與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，MN過點(diǎn)O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．求證：MN=CN﹣BM．【答案】證明：∵ON∥BC，∴∠NOB=∠OBD∵BO平分∠ABD，∴∠ABO=∠DBO，∴∠MOB=∠OBM，∴BM=OM∵ON∥BC，∴∠NOC=∠OCD∵CO平分∠ACB，∴∠NCO=∠BCO，∴∠NCO=∠NOC，∴