師說數(shù)學(xué)必修第一冊教版課件

5．5

三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，一勞永逸新知初探課前預(yù)習(xí)題型探究課堂解透新知初探課前預(yù)習(xí)最新課程標(biāo)準(zhǔn)會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題．體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型．學(xué)科核心素養(yǎng)會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實際問題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算)了解y＝A

sin(ωx＋φ)的圖象的物理意義，能指出簡諧運動中的振

幅、周期、相位、初相．(直觀想象)

3．利用收集的數(shù)據(jù)，進行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型．(數(shù)學(xué)建模、邏輯推理)要點一 三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟三角函數(shù)模型應(yīng)用即建模問題，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在某點處的函數(shù)值，進而使實際問題得到解決．步驟可記為：審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點的三角函數(shù)值→解決實際問題．這里的關(guān)鍵是

建立數(shù)學(xué)模型

，一般先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三角函數(shù)解析式．要點二 三角函數(shù)模型的擬合應(yīng)用我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，做出相應(yīng)的“散點圖”，通過觀察散點圖并進行數(shù)據(jù)擬合，從而獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實際問題．狀元隨筆 解答三角函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意四點三角函數(shù)應(yīng)用題的語言形式多為“文字語言、圖形語言、符號語言”并用，閱讀理解中要讀懂題目所要反映的實際問題的背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，列出等量或不等量的關(guān)系．在建立變量關(guān)系這一關(guān)鍵步驟上，要充分運用數(shù)形結(jié)合的思想、圖形語言和符號語言并用的思維方式來打開思想解決問題．實際問題的背景往往比較復(fù)雜，而且需要綜合應(yīng)用多門學(xué)科的知識才能完成，因此，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題時，應(yīng)當(dāng)注意從復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動相關(guān)學(xué)科知識來幫助解決問題．實際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要用到計算機或計算器．“散點圖”來獲得相應(yīng)的函數(shù)模型．(基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)三角函數(shù)模型是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．(

√

)在研究具體問題時，我們常常利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的√

)(3)函數(shù)y＝|cos

x|的圖象是以2π為周期的波浪形曲線．(

×

)2．商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù)，五一某商場的人流?量滿足函數(shù)F(t)＝50＋4sin

?

(t≥0)，則在下列哪個時間段內(nèi)人流量是增加的(

)A．[0，5]C．[10，15]B．[5，10]D．[15，20]答案：C?

?

?解析：由2kπ－?

≤?≤2kπ＋?，k∈Z，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.當(dāng)k＝1時，t∈[3π，5π]，而[10，15]?[3π，5π].故選C.3．在兩個彈簧上各掛一個質(zhì)量分別為M1和M2的小球，它們做上下自由振動，已知它們在時間t(s)時離開平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分別由下列兩式確定：1

2?

?s

＝5sin

2t?

?

，s＝5cos

2t

?

?

.?1

2則在時間t＝??時，s

與s

的大小關(guān)系是(

)B．s1＜s2D．不能確定A．s1＞s2C．s1＝s2答案：C?1

2

1

2解析：當(dāng)t＝??時，s

＝－5，s

＝－5，所以s

＝s

.故選C.?4．簡諧振動y＝?sin?4x

?

??，4x＋?的頻率和相位分別是

?

?

．?解析：簡諧振動y＝?sin4x?

?

的周期是T＝??＝?，相位是4x＋?，頻率f＝?＝?

?

?

?

???.題型探究課堂解透題型1

三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用例1

已知表示電流強度I與時間t的函數(shù)關(guān)系式I＝A

sin

(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)．(1)若電流強度I與時間t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，試根據(jù)圖象寫出I＝A

sin(ωt＋φ)的解析式；(2)為了使I＝A

sin

(ωt＋φ)

A＞0，ω＞0，

φ

＜

?

中t在任意一段

??

???秒的時間內(nèi)電流強度I能同時取得最大值A(chǔ)與最小值－A，那么正整數(shù)ω的最小值是多少？解析：(1)由題意知，A＝300.T＝

?

?

???

?????

＝??，∴ω＝

?

＝100π.??∵

??????

???，0 是該函數(shù)圖象的第一個零點，∴－?＝－

?

.???

?

?∴φ＝

?

＝?，符合|φ|<?，?∴I＝300sin

100πt

+

?

(t≥0)．(2)問題等價于T≤

?

，即??

≤???

?

????

，∴ω≥200π.∴正整數(shù)ω的最小值為629.?跟蹤訓(xùn)練1

已知簡諧運動的函數(shù)關(guān)系式為f(x)＝2sin

??

x

+

φ??|φ|＜??，其圖象經(jīng)過點(0，1)，則該簡諧運動的最小正周期T和φ分別是多?少？解析：∵該簡諧運動的函數(shù)關(guān)系式為f(x)＝2sin

??

x

+

φ?〗?|φ|

?

??，∴最小正?

???周期T＝??＝8.?又函數(shù)的圖象過點(0，1)，∴將點(0，1)代入函數(shù)解析式，得2sin

φ＝1，即sin

φ＝?.?

?又|φ|<?，∴φ＝?.題型2

三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用例2

如圖，游樂場中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)動一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑為40米，如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請回答下列問題：(1)求出你與地面的距離y(米)與時間t(分鐘)的函數(shù)解析式．

(2)當(dāng)你第4次距離地面60.5米時，用了多長時間？解析：(1)由已知可設(shè)y＝40.5－40cos

ωt，t≥0，由周期為12分鐘可知，當(dāng)t＝6時，摩天輪第1次到達最高點，即此函數(shù)第1次取得最大值，?∴6ω＝π，即ω＝?.?∴所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝40.5－40cos

?t(t≥0)．(2)設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時，第t0分鐘時距地面60.5米，?

0

?

0?由60.5＝40.5－40cos

?t

，得cos

?t

＝－?，?

0

?

0?

?00∴?t

＝??或?t

＝??，解得t

＝4或t

＝8，∴t＝8時，第2次距地面60.5米，故第4次距離地面60.5米時，用了12＋8＝20(分鐘)．方法歸納解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟已知函數(shù)模型，利用題目中提供的數(shù)據(jù)和有關(guān)性質(zhì)解決問題，其關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，將實際問題轉(zhuǎn)化為三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使問題得以解決．未知函數(shù)模型，把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題，其關(guān)鍵是建模．跟蹤訓(xùn)練2

如圖某地夏天從8～14時用電量變化曲線近似滿足函數(shù)y＝A

sin

(ωx＋φ)＋b(ω＞0)．(1)求這一天的最大用電量及最小用電量；

(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式．解析：(1)最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度．(2)觀察圖象可知，從8～14時的圖象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個周期的圖象．∴A＝?×(50－30)＝10，b＝?(50＋30)＝40.?

??

?∵?

×

??＝14－8，∴ω＝?.?∴y＝10sin??

x

+

φ

＋40，?將x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝?.∴所求函數(shù)解析式為y＝10sin ?

x+

?

＋40，x∈[8，14].?

?題型3

利用已知數(shù)據(jù)建立擬合函數(shù)模型例3

某港口水深y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，記作y＝f(t)，下面是某日水深的數(shù)據(jù)．經(jīng)長期觀察，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝A

sin

ωt＋b的圖象．試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝f(t)的近似解析式．一般情況下，船舶航行時，船底高出海底的距離為5米或5米以上時認為是安全的(船舶?？繒r，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5米，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進出港，那么它至多能在港內(nèi)停留多長時間(忽略進出港所需的時間)?t/小時03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0解析：(1)由已知數(shù)據(jù)，描出曲線如圖：由表格畫出曲線圖，由圖可求A，b，由周期T可求ω，即求y＝A

sin

ωt＋b.易知函數(shù)y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，?

?

?∴ω＝??＝?，∴y＝3sin

?t＋10.(0≤t≤24)(2)由題意，該船進出港時，水深應(yīng)不小于5＋6.5＝11.5米，?

?

?由y≥11.5，得3sin

?t＋10≥11.5，∴sin

?t≥?.①?∵0≤t≤24，∴0≤?t≤4π.②?

?

?

?

?

?由①②得?

≤?t≤??或???

≤?t≤???.化簡得1≤t≤5或13≤t≤17.∴該船最早能在凌晨1時進港，下午17時出港，在港內(nèi)最多可停留16小時．方法歸納在處理曲線擬合和預(yù)測的問題時，通常需以下幾個步驟根據(jù)原始數(shù)據(jù)，繪出散點圖；通過散點圖，做出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線；根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式；

(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問題進行預(yù)測和控制，以便為決策和管理提供依據(jù)．跟蹤訓(xùn)練3

已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(時)的函數(shù)，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，y＝f(x)的圖象可近似地看成是函數(shù)y＝A

cos

ωt＋b的圖象．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期、振幅及函數(shù)解析式；根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？?解析：(1)由表中數(shù)據(jù)可知，T＝12，所以ω＝?.又t＝0時，y＝1.5，?所以A＋b＝1.5；t＝3時，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A為?，函數(shù)解?

?析式為y＝?cos

?t＋1(0≤t≤24)．(2)因為y>1時，才對沖浪愛好者開放，?

?

?

?

?

?所以y＝?cos

?t＋1>1，cos

?t>0，2kπ－?<?t<2kπ＋?(k∈Z)，即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，所以在規(guī)定時間內(nèi)只有6個小時可供沖浪愛好者進行活動，即9<t<15.課堂十分鐘1．(多選)如圖所示的是一質(zhì)點做簡諧運動的圖象，則下列結(jié)論正確的是(

)A．該質(zhì)點的運動周期為0.7

sB．該質(zhì)點的振幅為5C．該質(zhì)點在0.1s和0.5

s時運動速度為零

D．該質(zhì)點的運動周期為0.8

s

E．該質(zhì)點在0.3

s和0.7

s時運動速度為零答案：BCD解析：由題圖可知，振動周期為2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故A錯，D正確；該質(zhì)點的振幅為5，B正確；由簡諧運動的特點知，質(zhì)點處于平衡位置時的速度最大，即在0.3 s和0.7 s時運動速度最大，在0.1 s和0.5 s時運動速度為零，故C正確，E錯．綜上，BCD正確．故選BCD.2．如圖為一半徑為3的水輪，水輪的圓心O距離水面2米，已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點P到水面的距離y(米)與時間x(秒)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋2，則有()A．ω＝??，A＝3

B．ω＝??，A＝3??

??C．ω＝??，A＝5

D．ω＝??，A＝5??

??答案：B解析：易知水輪的角速度ω＝??×?＝

?

π，??

????∴y＝3sin

(ωx＋φ)＋2＝3sin

??

x

+

φ

＋2，??則A＝3，ω＝??.故選B.3．已知某帆船中心比賽場館區(qū)的海面上海浪高度：y(米)可看作時間t(0≤t≤24，單位：時)的函數(shù)，記作y＝f(t)，經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋B的圖象，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t/時03691215182124y/米21.511.521.50.991.52則最能近似地表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是(

)A．y＝?cos

?t＋1

B．y＝?cos

?t＋?

?

?

?

?

?C．y＝2cos

?t＋?

D．y＝?cos

6πt＋??

?

?

?答案：B解析：由題中表格知T＝12，所以ω＝?，A＝?????????＝?，B＝?????????＝?.故選B.?

?

?

?

?4．設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin

(160πt)，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，則此人每分鐘心跳的次數(shù)是

80

．解析：T＝

??

＝

?

(分)，f＝?＝80(次/分)．????

??

?5．已知某地一天從4點到16點的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝? ?10sin

?x???

＋20，x∈[4，16].求該地區(qū)這一段時間內(nèi)的最大溫差；若有一種細菌在15

℃到25

℃之間可以生存，那么在這段時間內(nèi)，該細菌能生存多長時間？? ?

?

?解析：(1)x∈[4，16]，則?x－??∈???

，??

.? ?

?由函數(shù)解析式易知，當(dāng)?x－??＝?，即x＝14時，函數(shù)取得最大值，最大值為30，即最高溫度為30℃；? ?

?當(dāng)?x－??＝－?，即x＝6時，函數(shù)取得最小值，最小值為10，即最低溫度為10

℃，所以最大溫差為30－10＝20(℃)．(2)令10sin

?

x

?

??

＋20＝15，可得sin

?

x

?

??

＝－?，? ? ? ?

??而x∈[4，16]，所以x＝??.令10sin ?

x

?

??

＋20＝25，可得sin? ??

x

?

??

＝?，? ?

??而x∈[4，16]，所以x＝??.故該細菌在這段時間內(nèi)能存活??

???＝?(小時)．?

?

?三角函數(shù)中有關(guān)參數(shù)ω的求解問題一、三角函數(shù)的周期T與ω的關(guān)系例1

為了使函數(shù)y＝sin

ωx(ω＞0)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的)最小值是(A．98πB．???π?C．???π?D．100π?方法歸納：這類三角函數(shù)試題直接運用T與ω的關(guān)系T＝??，再結(jié)合條件，一般可以輕松處理．解析：由題意，至少出現(xiàn)50次最大值即至少需用49?個周期，所以

49

?

T＝?

????

×??≤1，所以ω≥???π，故選B.

?

?

?二、三角函數(shù)的單調(diào)性與ω的關(guān)系?

?例2

若函數(shù)f(x)＝sin

ωx(ω＞0)在區(qū)間

?

，

?

上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(

)?C．

?

，3?D．

?

，3解析：令?

＋2kπ≤ωx≤??

＋2kπ(k∈Z)，得

??

?

??＋???