隨機(jī)振動的響應(yīng)分析

隨機(jī)振動的響應(yīng)分析第1頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章隨機(jī)振動的響應(yīng)分析§7-1單輸入單輸出的線性系統(tǒng)

§7-2多輸入多輸出的線性系統(tǒng)第2頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月本章討論機(jī)械或結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)作用下，激勵(lì)—系統(tǒng)—響應(yīng)三者之間的關(guān)系。系統(tǒng)有線性與非線性之分。大量工程問題，線性模型可得到逼真的結(jié)果。本課程只討論線性系統(tǒng)問題。隨機(jī)激勵(lì)分兩類：參數(shù)激勵(lì)與非參數(shù)激勵(lì)參數(shù)激勵(lì)：系統(tǒng)本身的某些參數(shù)(如質(zhì)量、剛度、阻尼等)隨時(shí)間隨機(jī)地變化而引起振動。非參數(shù)激勵(lì)即由外界施加的激勵(lì)。非參數(shù)激勵(lì)又分為平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的兩類。本章研究常參數(shù)線性系統(tǒng)對平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)第3頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)(輸入)是平穩(wěn)過程時(shí)，由于常參數(shù)的假設(shè)，系統(tǒng)的響應(yīng)(輸出)也一定是平穩(wěn)的。對于一個(gè)常參數(shù)線性系統(tǒng)，它往往可能在不同位置上同時(shí)受到激勵(lì)，即有多個(gè)輸入；其響應(yīng)也可能有很多個(gè)，而且不同位置處的響應(yīng)也不同。對于線性系統(tǒng)來說，多輸入與多輸出問題可以在單輸入與單輸出問題的基礎(chǔ)上應(yīng)用疊加原理得到解決第4頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月對于確定性振動，激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)系，一般用微分方程來描述，方程的非齊次項(xiàng)是確定的，初始條件也是確定的，因此響應(yīng)也是確定的。在隨機(jī)振動中，一般激勵(lì)與響應(yīng)都必須用概率統(tǒng)計(jì)的方法來描述。在激勵(lì)與系統(tǒng)特性已知的情況下，只能求出響應(yīng)的一些統(tǒng)計(jì)特征，如期望（均值）、相關(guān)函數(shù)、功率譜密度、均方值等。第5頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月7-1單輸入單輸出的線性系統(tǒng)假定常參數(shù)線性系統(tǒng)只受到一個(gè)輸入x(t)的作用，其相應(yīng)的響應(yīng)(輸出)為y(t)，如圖所示。常參數(shù)線性振動系統(tǒng)y(t)Output(response)輸出（響應(yīng)）x(t)Input(excitation)輸入（激勵(lì)）本章研究輸入、輸出和系統(tǒng)動態(tài)特性三者之間的關(guān)系，以及計(jì)算響應(yīng)（輸出）的統(tǒng)計(jì)特征的方法第6頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的一個(gè)樣本函數(shù)則系統(tǒng)輸出y(t)

是另一平穩(wěn)隨機(jī)過程Y(t)的一個(gè)樣本函數(shù)設(shè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)，則頻率響應(yīng)函數(shù)是H(ω)。常參數(shù)線性振動系統(tǒng)y(t)Output(response)輸出（響應(yīng)）x(t)Input(excitation)輸入（激勵(lì)）一、響應(yīng)的均值對于輸入的一個(gè)樣本函數(shù)，由卷積積分公式，可得輸出的一個(gè)樣本函數(shù)第7頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)想對于輸入中的每個(gè)樣本函數(shù)，都可按上式寫出其對應(yīng)的輸出的樣本函數(shù)。于是，可得到輸出的集合平均為:

第8頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月輸入與輸出均值的關(guān)系式為：H(0)是一個(gè)常數(shù)，它表示輸入X(t)與輸出Y(t)中，頻率ω=0這一成分（即直流分量）之間的傳遞關(guān)系。直流分量第9頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月上式表明，當(dāng)輸入是平穩(wěn)過程時(shí)，輸出的均值與輸入的均值只差一個(gè)乘子H(0)。若輸入的均值為零，則輸出的均值也一定為零。此結(jié)論可以推廣到多輸入與多輸出的情形。第10頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月二、響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)輸出過程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為:第11頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月上式為輸出的自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式。該式說明，對于常參數(shù)線性系統(tǒng)，若激勵(lì)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，則響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)與自然時(shí)間無關(guān)，也一定是平穩(wěn)的隨機(jī)過程。則響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)可表示為:第12頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月對輸出的自相關(guān)函數(shù)作傅立葉變換，便得到響應(yīng)的自功率譜密度SY(ω)為三、響應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)變換積分次序，并重新排列第13頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月令ξ=τ-θ1+θ2，由維納—辛欽關(guān)系式知，最后一個(gè)積分就是激勵(lì)X(t)的自譜密度：第二個(gè)積分就是脈沖響應(yīng)函數(shù)h(θ2)的傅立葉變換，即頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)。第14頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月前兩個(gè)積分的不同在于指數(shù)中的正負(fù)號的差別。經(jīng)處理后得隨機(jī)輸入與輸出的自譜密度關(guān)系式:上式是隨機(jī)振動理論中一個(gè)極其重要的公式，指出了輸入、輸出與系統(tǒng)動態(tài)特性三者之間的關(guān)系。第15頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月上式表明，若已知系統(tǒng)的增益因子|H(ω)|和輸入的自譜密度SX(ω)，則可確定輸出的自譜密度SY(ω)。事實(shí)上，若已知SX(ω)、|H(ω)|和SY(ω)

三者中的任意兩個(gè)，就可以確定第三個(gè)。此外，響應(yīng)的自譜密度是與系統(tǒng)的相位因子無關(guān)的。第16頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月已知響應(yīng)的自譜密度SY(ω)，則可計(jì)算出響應(yīng)的均方值E[Y2]:

四、響應(yīng)的均方值將隨機(jī)輸入與輸出的自譜密度關(guān)系式代入上式注意：當(dāng)均值為零時(shí)，均方值就等于方差。第17頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月在輸入為理想白噪聲的情況下，由于輸入的自譜密度對于所有的頻率都是常數(shù)，則響應(yīng)的均方值公式可得到簡化:只要計(jì)算出如下的廣義積分I值，便可求得響應(yīng)的均方值：第18頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月由互相關(guān)函數(shù)的定義，可得激勵(lì)與響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù):五、激勵(lì)與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)常參數(shù)線性系統(tǒng)在受到平穩(wěn)隨機(jī)輸入時(shí)，激勵(lì)與響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù)正好等于脈沖響應(yīng)函數(shù)與輸入自相關(guān)函數(shù)的卷積第19頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月對互相關(guān)函數(shù)表達(dá)式作傅立葉變換，便可得到激勵(lì)與響應(yīng)之間的互功率譜密度。六、激勵(lì)與響應(yīng)的互譜密度與前面計(jì)算響應(yīng)自譜相似的方法，將上式改寫為：第20頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月上式第一個(gè)積分是頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)，第二個(gè)積分就是激勵(lì)X(t)的自譜密度SX(ω)上式表明：輸入與輸出之間的互譜密度等于系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)與輸入自譜密度函數(shù)的乘積。通過該式可完整地確定系統(tǒng)的頻率特性H(ω)。第21頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月由于H(ω)是復(fù)數(shù)，它可表示為:則互譜密度可以表示為:由于SX(ω)是實(shí)偶函數(shù)，則互譜密度函數(shù)可表示為：第22頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月上式表明：互譜密度的幅值等于系統(tǒng)的增益因子與 輸入自譜的乘積互譜密度的幅角又等于系統(tǒng)的相位因子。第23頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月七、相干函數(shù)系統(tǒng)輸入與輸出的譜相干函數(shù)（又稱凝聚函數(shù)）可通過下式來定義：SX(ω)和SY(ω)皆為實(shí)函數(shù)，故相干函數(shù)必為實(shí)函數(shù)?？梢宰C明，對于所有頻率ω，相干函數(shù)滿足以下不等式：第24頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)輸入與輸出互不相關(guān)時(shí)，有RXY(τ)=0，從而互譜密度SXY(ω)=0，于是由定義知相干函數(shù)也等于零。對于線性系統(tǒng)，存在下列關(guān)系在線性系統(tǒng)的假設(shè)下，輸入輸出線性相關(guān)，有第25頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月輸入輸出互不相關(guān)時(shí)，相干函數(shù)的值等于0；輸入輸出線性相關(guān)時(shí)，相干函數(shù)等于1。相干函數(shù)的值在0與1之間。如果相干函數(shù)值大于零但小于1，為以下三種情況之一

聯(lián)系輸入X(t)和輸出Y(t)的系統(tǒng)是非線性的(2)測量中有外界噪聲干擾(3)輸出Y(t)是輸入X(t)和其它輸入的綜合輸出。第26頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示的單輸入線性系統(tǒng)，假定只在輸出測量中混有噪聲，則實(shí)測得到的輸出Z(t)是真實(shí)輸出Y(t)與噪聲干擾N(t)之和。N(t)Z(t)H(ω)X(t)Y(t)只討論一種存在噪聲干擾的情況：第27頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月假定X(t)與N(t)皆是均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過程，且N(t)與X(t)和Y(t)都是不相關(guān)的，則有：輸入與實(shí)測輸出之間的互相關(guān)函數(shù)：故有:第28頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)測輸出的自相關(guān)函數(shù)實(shí)測輸出的自譜密度第29頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月輸入X(t)與實(shí)測輸出Z(t)的譜相干函數(shù):得到將互譜密度與自譜密度式代入上式，并結(jié)合下式第30頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月上式表明：在有噪聲干擾的情況下，輸入與實(shí)測輸出的譜相干函數(shù)將小于1。因此，對于線性系統(tǒng)，可借助相干函數(shù)值來判斷干擾影響的大小。此外：雖輸出中含有干擾，但通過實(shí)測信號的互譜密度以及輸入信號的自譜密度可以精確的獲得系統(tǒng)的頻響特征第31頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2多輸入多輸出的線性系統(tǒng)考慮某一具有m個(gè)輸入Xi(t)(i=1,2,…,m)和n個(gè)輸出Yk(t)

(k=1,2,…,n)的常參數(shù)系統(tǒng)，假定每個(gè)輸入Xi(t)都是平穩(wěn)的隨機(jī)過程。在系統(tǒng)有m個(gè)輸入Xi(t)的情況下，對應(yīng)于每一個(gè)輸出Yk(t)，有m個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)：第32頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月對于n個(gè)輸出，則共有n×m個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)，脈沖響應(yīng)以矩陣形式可表示為：矩陣中各元素均加以兩個(gè)腳標(biāo)第一個(gè)腳標(biāo)k(k=1,2,…,n)表示k處的響應(yīng)(輸出)；第二個(gè)腳標(biāo)i(i=1,2,…,m)表示i處的激勵(lì)(輸入)第33頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月頻率響應(yīng)函數(shù)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅立葉變換，因此，圖示系統(tǒng)共有n×m個(gè)頻率響應(yīng)函數(shù)，頻率響應(yīng)矩陣H(ω)可表示為第34頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月已知系統(tǒng)的激勵(lì)和動態(tài)特性，便可確定系統(tǒng)響應(yīng)的各個(gè)統(tǒng)計(jì)特征。m個(gè)輸入和n個(gè)輸出可以表示為一、響應(yīng)的均值對于線性系統(tǒng)，每一個(gè)輸出Yk(t)(k=1,2,…,n)都可以由對應(yīng)于每個(gè)獨(dú)立輸入的響應(yīng)Yki(t)(i=1,2,…,m)疊加而成，如圖所示。第35頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月假定各個(gè)輸入Xi(t)都是平穩(wěn)的隨機(jī)過程，則有常數(shù)第36頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月對應(yīng)于每個(gè)獨(dú)立輸入(第i個(gè)輸入)的響應(yīng)Yki(t)的期望為k處總響應(yīng)的期望為寫成矩陣形式：第37頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的每一個(gè)輸出Yk(t)是對應(yīng)于各個(gè)獨(dú)立輸入的響應(yīng)的疊加：二、響應(yīng)的相關(guān)矩陣系統(tǒng)的響應(yīng)以矩陣形式的形式可以表示為下式其中Y(t)與X(t)是給出的列陣，而h(θ1)表示脈沖響應(yīng)矩陣。第38頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月對上式進(jìn)行轉(zhuǎn)置得n個(gè)輸出的自相關(guān)與互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成一個(gè)n×n階的輸出相關(guān)矩陣RY(τ)第40頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月上式也可以下列形式表示寫成若將該式中兩個(gè)積分的乘積改寫成二重積分，并交換求平均與積分的次序，可得第41頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月該表達(dá)式給出了多輸入與多輸出系統(tǒng)的輸出相關(guān)矩陣與輸入相關(guān)矩陣之間的關(guān)系式，其中，輸入相關(guān)矩陣為:第42頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的n個(gè)輸出的自譜與互譜構(gòu)成了一個(gè)n×n階的輸出功率矩陣SY(ω)。三、響應(yīng)的譜矩陣其中矩陣元素為第43頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月輸出功率矩陣也可以表示成下列表達(dá)式的形式：將輸出相關(guān)矩陣表達(dá)式代入上式，可得多輸入與多輸出系統(tǒng)的輸出功率譜矩陣與輸入功率譜矩陣間關(guān)系式第44頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月其中H(ω)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)矩陣，HT(ω)是H(ω)的轉(zhuǎn)置矩陣，H(ω)的共軛矩陣為而輸入功率譜矩陣為第45頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的m個(gè)激勵(lì)和n個(gè)響應(yīng)構(gòu)成一個(gè)m×n階互相關(guān)矩陣RXY(τ)