高中數(shù)學(xué)人教A版余弦定理的應(yīng)用

高一年級(jí)數(shù)學(xué)余弦定理的應(yīng)用知識(shí)回顧余弦定理：

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.余弦定理：

余弦定理：余弦定理的推論：

余弦定理：余弦定理的推論：

每個(gè)等式中含有同一個(gè)三角形中的三條邊和一個(gè)角共四個(gè)元素，余弦定理：余弦定理的推論：

每個(gè)等式中含有同一個(gè)三角形中的三條邊和一個(gè)角共四個(gè)元素，知三求一.

余弦定理及其推論應(yīng)用：

余弦定理及其推論知三求一應(yīng)用：

余弦定理及其推論解三角形知三求一應(yīng)用：

知三求一：

三條邊及一個(gè)角知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊求角知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊

CBAabc？求角知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊求角

CBAabc？余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊解三角形求角

CBAabc？余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊已知兩條邊及一個(gè)角解三角形求角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊已知兩條邊及一個(gè)角解三角形求角求邊余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊已知兩條邊及一個(gè)角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊已知兩條邊及一個(gè)角

CBAabc？已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊已知兩條邊及一個(gè)角

CBAabc？已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊已知兩條邊及一個(gè)角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊已知兩條邊及一個(gè)角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角已知兩邊及一邊對角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊已知兩條邊及一個(gè)角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角已知兩邊及一邊對角

CBAabc？余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊已知兩條邊及一個(gè)角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角已知兩邊及一邊對角

CBAabc？余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊已知兩條邊及一個(gè)角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角已知兩邊及一邊對角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊已知兩條邊及一個(gè)角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角已知兩邊及一邊對角余弦定理余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個(gè)角已知三條邊已知兩條邊及一個(gè)角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角已知兩邊及一邊對角余弦定理推論余弦定理的推論例題解析

已知三條邊，求解三角形中的問題：

已知三條邊，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，已知，，，

求這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角.

已知三條邊，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，已知，，，

求這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角.

ABCcba

已知三條邊，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，已知，，，

求這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角.

ABCcba已知三條邊，求解三角形中的問題：思路：

已知a，b，c最小內(nèi)角？已知三條邊，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，c求角余弦定理的推論最小內(nèi)角已知三條邊，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，c求角余弦定理的推論求出三個(gè)角比較最小內(nèi)角已知三條邊，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，c求角余弦定理的推論求出三個(gè)角比較最小內(nèi)角確定最小內(nèi)角大邊對大角已知三條邊，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，c求角余弦定理的推論求出三個(gè)角比較確定最小內(nèi)角大邊對大角最小內(nèi)角余弦定理的推論

已知三條邊，求解三角形中的問題：

解：因?yàn)樵凇鰽BC中，，，，

已知三條邊，求解三角形中的問題：

解：因?yàn)樵凇鰽BC中，，，，

所以

已知三條邊，求解三角形中的問題：

解：因?yàn)樵凇鰽BC中，，，，

所以

由三角形中“大邊對大角”可知：

已知三條邊，求解三角形中的問題：

解：因?yàn)樵凇鰽BC中，，，，

所以

由三角形中“大邊對大角”可知：

已知三條邊，求解三角形中的問題：

解：因?yàn)樵凇鰽BC中，，，，

所以

由三角形中“大邊對大角”可知：

因此△ABC中的最小內(nèi)角為B.

已知三條邊，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知三條邊，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知三條邊，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知三條邊，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知三條邊，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知三條邊，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知三條邊，求解三角形中的問題：

因?yàn)樵凇鰽BC中，

已知三條邊，求解三角形中的問題：

因?yàn)樵凇鰽BC中，

所以

已知三條邊，求解三角形中的問題：

因?yàn)樵凇鰽BC中，

所以

即△ABC的最小內(nèi)角是

小結(jié)：

已知三條邊求角

小結(jié)：

已知三條邊求角余弦定理的推論

小結(jié)：

已知三條邊求角余弦定理的推論大邊對大角

小結(jié)：

已知三條邊求角大邊對大角角的范圍余弦定理的推論

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，，，銳角C滿足求B(精確到).

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，，，銳角C滿足求B(精確到).

ACBbca

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，，，銳角C滿足求B(精確到).

ACBbca？已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，sinC求B？已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，sinC求B求c已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，sinC求B求c余弦定理的推論已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，sinC求B求c余弦定理的推論余弦定理已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，sinC求Ba，b，cosC求c余弦定理的推論余弦定理已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，sinC求Ba，b，cosC求c余弦定理余弦定理的推論

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

解：因?yàn)榍褻為銳角，

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

解：因?yàn)榍褻為銳角，

所以

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

解：因?yàn)榍褻為銳角，

所以

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理，得

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理，得

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理，得

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理，得

所以

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

因?yàn)樵凇鰽BC中，

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

因?yàn)樵凇鰽BC中，

利用計(jì)算器，可得

小結(jié)：

已知兩邊及其夾角的正弦值求角

小結(jié)：

已知兩邊及其夾角的正弦值求角

小結(jié)：

已知兩邊及其夾角的正弦值兩邊及其夾角的余弦值求角已知兩邊及其夾角的正弦值兩邊及其夾角的余弦值求角求邊余弦定理

小結(jié)：

小結(jié)：

已知兩邊及其夾角的正弦值兩邊及其夾角的余弦值求角求邊余弦定理余弦定理的推論

小結(jié)：

已知兩邊及其夾角的正弦值兩邊及其夾角的余弦值求角求邊角的范圍決定正負(fù)余弦定理余弦定理的推論

小結(jié)：

已知兩邊及其夾角的正弦值兩邊及其夾角的余弦值求角求邊余弦定理余弦定理的推論角的范圍決定正負(fù)角的范圍

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，已知，，，解這個(gè)三角形(邊長精確到1cm，角度精確到).

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，已知，，，解這個(gè)三角形(邊長精確到1cm，角度精確到).

ACBbca

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，已知，，，解這個(gè)三角形(邊長精確到1cm，角度精確到).

ACBbca？？？已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，A解三角形？已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

思路：

解三角形余弦定理已知a，b，A已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

思路：

關(guān)于c的方程余弦定理解三角形已知a，b，A已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

思路：

求c關(guān)于c的方程解三角形余弦定理求解方程已知a，b，A已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

思路：

關(guān)于c的方程解三角形余弦定理余弦定理的推論求解方程求c已知a，b，A已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

思路：

求B，C關(guān)于c的方程解三角形余弦定理余弦定理的推論求解方程求c已知a，b，A

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

解：由余弦定理，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

解：由余弦定理，得

所以

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

解：由余弦定理，得

所以

即

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

解：由余弦定理，得

所以

即

可得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

解：由余弦定理，得

所以

即

可得即

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

解：由余弦定理，得

所以

即

可得即

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)當(dāng)時(shí)，

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)當(dāng)時(shí)，由余弦定理的推論，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)當(dāng)時(shí)，由余弦定理的推論，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)當(dāng)時(shí)，由余弦定理的推論，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)當(dāng)時(shí)，由余弦定理的推論，得

因?yàn)樵凇鰽BC中，

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)當(dāng)時(shí)，由余弦定理的推論，得

因?yàn)樵凇鰽BC中，

利用計(jì)算器，可得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)由，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)由，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)由，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(2)當(dāng)時(shí)，同理可得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(2)當(dāng)時(shí)，同理可得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(2)當(dāng)時(shí)，同理可得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(2)當(dāng)時(shí)，同理可得

綜上，

或

小結(jié)：

已知兩邊及一邊對角解三角形

小結(jié)：

已知兩邊及一邊對角解三角形關(guān)于第三邊的方程余弦定理

小結(jié)：

已知兩邊及一邊對角解三角形關(guān)于第三邊的方程余弦定理公式的選擇

小結(jié)：

已知兩邊及一邊對角解三角形關(guān)于第三邊的方程余弦定理求解方程公式的選擇求邊

小結(jié)：

已知兩邊及一邊對角解三角形關(guān)于第三邊的方程余弦定理求解方程公式的選擇求邊解的檢驗(yàn)

小結(jié)：

已知兩邊及一邊對角解三角形關(guān)于第三邊的方程余弦定理求解方程公式的選擇求邊解的檢驗(yàn)分類討論

小結(jié)：

已知兩邊及一邊對角解三角形關(guān)于第三邊的方程余弦定理求解方程公式的選擇求角求邊余弦定理的推論分類討論解的檢驗(yàn)

小結(jié)：

已知兩邊及一邊對角解三角形關(guān)于第三邊的方程余弦定理求解方程公式的選擇求角求邊余弦定理的推論分類討論解的檢驗(yàn)已知元素利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素判斷利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素已知三邊判斷求角余弦定理的推論利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素已知三邊判斷求角已知兩邊及一角余弦定理的推論利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素已知三邊判斷求角已知兩邊及一角已知兩邊及其夾角已知兩邊及一邊對角余弦定理的推論利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素已知三邊判斷求角已知兩邊及一角已知兩邊及其夾角已知兩邊及一邊對角求邊余弦定理余弦定理的推論利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素已知三邊判斷求角已知兩邊及一角已知兩邊及其夾角已知兩邊及一邊對角求邊余弦定理余弦定理的推論推論利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素已知三邊判斷求角已知兩邊及一角已知兩邊及其夾角已知兩邊及一邊對角求邊余弦定理解三角形余弦定理的推論推論利用余弦定理及其推論，解三角形：

余弦定理及其推論解三角形知三求一應(yīng)用：

余弦定理及其推論解三角形知三求一方程思想應(yīng)用：

余弦定理及其推論邊角互化解三角形知三求一方程思想應(yīng)用：

余弦定理及其推論邊角互化證明恒等式求解幾何計(jì)算……解三角形知三求一方程思想判斷三角形形狀應(yīng)用：

余弦定理及其推論邊角互化解三角形知三求一方程思想判斷三角形形狀應(yīng)用：

判斷三角形的形狀：

判斷三角形的形狀：例

在△ABC中，已知試判斷△ABC的形狀.

判斷三角形的形狀：例

在△ABC中，已知試判斷△ABC的形狀.

CBAabc

判斷三角形的形狀：例

在△ABC中，已知試判斷△ABC的形狀.

CBAabc

判斷三角形的形狀：例

在△ABC中，已知試判斷△ABC的形狀.

CBAabc

判斷三角形的形狀：思路：判斷三角形形狀已知邊角，邊邊關(guān)系？

判斷三角形的形狀：思路：已知邊角，邊邊關(guān)系判斷三角形形狀三條邊的關(guān)系

判斷三角形的形狀：思路：已知邊角，邊邊關(guān)系三個(gè)角的關(guān)系三條邊的關(guān)系判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：思路：已知邊角，邊邊關(guān)系消角三個(gè)角的關(guān)系三條邊的關(guān)系判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：思路：三個(gè)角的關(guān)系已知邊角，邊邊關(guān)系消邊消角三條邊的關(guān)系判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：思路：已知邊角，邊邊關(guān)系余弦定理及其推論消邊消角三個(gè)角的關(guān)系三條邊的關(guān)系判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：思路：已知邊角，邊邊關(guān)系余弦定理及其推論消邊消角三個(gè)角的關(guān)系三條邊的關(guān)系判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：解法1：在△ABC中，①

判斷三角形的形狀：解法1：在△ABC中，由余弦定理的推論，得①

判斷三角形的形狀：解法1：在△ABC中，代入①式，得①由余弦定理的推論，得

判斷三角形的形狀：解法1：在△ABC中，代入①式，得①由余弦定理的推論，得

判斷三角形的形狀：解法1：在△ABC中，代入①式，得①由余弦定理的推論，得

判斷三角形的形狀：解法1：在△ABC中，代入①式，得①由余弦定理的推論，得

判斷三角形的形狀：整理得

判斷三角形的形狀：整理得

判斷三角形的形狀：整理得(1)當(dāng)時(shí)，

判斷三角形的形狀：整理得(1)當(dāng)時(shí)，

判斷三角形的形狀：整理得(1)當(dāng)時(shí)，可得

判斷三角形的形狀：整理得(1)當(dāng)時(shí)，可得

判斷三角形的形狀：整理得(1)當(dāng)時(shí)，可得即

判斷三角形的形狀：整理得(1)當(dāng)時(shí)，可得即又由于所以

判斷三角形的形狀：整理得(1)當(dāng)時(shí)，可得即又由于所以又因?yàn)?/p>

判斷三角形的形狀：整理得(1)當(dāng)時(shí)，可得即又由于所以又因?yàn)楣省鰽BC為等腰三角形.

判斷三角形的形狀：整理得(2)當(dāng)時(shí)，

判斷三角形的形狀：整理得(2)當(dāng)時(shí)，即

判斷三角形的形狀：整理得(2)當(dāng)時(shí)，即所以△ABC為直角三角形.

判斷三角形的形狀：整理得(2)當(dāng)時(shí)，即所以△ABC為直角三角形.

綜上，△ABC為等腰三角形或直角三角形.

判斷三角形的形狀：思路：已知邊角，邊邊關(guān)系余弦定理及其推論消邊消角三個(gè)角的關(guān)系三條邊的關(guān)系判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：解法2：在△ABC中，①

判斷三角形的形狀：解法2：在△ABC中，由余弦定理，得：①

判斷三角形的形狀：解法2：在△ABC中，由余弦定理，得：代入①式，得①

判斷三角形的形狀：解法2：在△ABC中，由余弦定理，得：代入①式，得化簡得①

判斷三角形的形狀：(1)當(dāng)時(shí)，

判斷三角形的形狀：(1)當(dāng)時(shí)，

判斷三角形的形狀：(1)當(dāng)時(shí)，可得

判斷三角形的形狀：(1)當(dāng)時(shí)，可得又由于所以由已知所以故△ABC為等腰三角形.

判斷三角形的形狀：(2)當(dāng)時(shí)，

判斷三角形的形狀：(2)當(dāng)時(shí)，

判斷三角形的形狀：(2)當(dāng)時(shí)，所以△ABC為直角三角形.

判斷三角形的形狀：(2)當(dāng)時(shí)，所以△ABC為直角三角形.綜上，△ABC為等腰三角形或直角三角形.

判斷三角形的形狀：(2)當(dāng)時(shí)，所以△ABC為直角三角形.綜上，△ABC為等腰三角形或直角三角形.注：由于和不可能同時(shí)成立，

判斷三角形的形狀：(2)當(dāng)時(shí)，所以△ABC為直角三角形.綜上，△ABC為等腰三角形或直角三角形.注：由于和不可能同時(shí)成立，所以△ABC不可能是等腰直角三角形.

小結(jié)：已知邊角關(guān)系判斷三角形形狀

小結(jié)：已知邊角關(guān)系消角消邊判斷三角形形狀三條邊的關(guān)系三個(gè)角的關(guān)系

小結(jié)：已知邊角關(guān)系余弦定理及其推論消角消邊判斷三角