第二章-矩陣及其運(yùn)算習(xí)題課-吉林大學(xué)課件

線性代數(shù)綜合練習(xí)題（二）2、設(shè)則存在可逆陣

P，使P-1AP=B，其中P=。一、填空題

1、四階方陣A的特征值為1、3、4、5，。；3、已知四階行列式D的第三行元素分別為-1，3，2，0，第二行元素的余子式依次為5，

-2，，4，則

=。解：因?yàn)樾辛惺降谌性嘏c第二行元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和為零，所以有解得則的秩為。4、已知是滿秩方陣，且解：因?yàn)锳為滿秩矩陣，所以A可以寫成有限個(gè)初等矩陣的乘積，用有限個(gè)初等矩陣左乘矩陣B，相當(dāng)于對(duì)矩陣B進(jìn)行了有限次初等行變換，而初等變換不改變矩陣的秩，所以矩陣B的秩等于AB的秩。而AB的秩為1，所以B的秩為1。5、設(shè)1是實(shí)對(duì)稱陣的一個(gè)特征值，且，=則。解：又因?yàn)?是實(shí)對(duì)稱矩陣A的一個(gè)特征值，二、選擇題1、設(shè)線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）；解；設(shè)一組數(shù)

使線性無關(guān)，所以解得令則有一組不全為零的數(shù)使所以選（A）2、設(shè)A是n階矩陣，且A的行列式則A中；（A）必有一列元素為零；（B）必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例；（C）必有一列向量是其余列向量的線性組合；（D）任一列向量是其余列向量的線性組合。解：由可知，A的列向量組是線性相關(guān)的，所以其中至少有一個(gè)列向量可由其余列向量線性表示，因此選（C）。3、設(shè)A,B均是n階正交陣,若則

A+B必為()

(A)、初等陣；(B)、正交陣；

(C)、對(duì)稱陣；

(D)、奇異陣。解：

選（D）4、已知?jiǎng)t=()解：選（C）5、設(shè)β能由線性表示，但不能由線性表示，則()；

(A)、不能由線性表示，但能由β，線性表示；

(D)、能由線性表示，也能由β，

線性表示。

(C)、能由線性表示，但不能由β，

線性表示；

(B)、不能由線性表示，也不能由β，線性表示；與已知矛盾，所以選（A）。即可由線性表示，時(shí)有解：若能由線性表示，因?yàn)槟苡桑€性表示，則能由線性表示，與已知矛盾，所以不能選（C）（D）；即不能由線性表示，

1、解矩陣方程三、計(jì)算題解：由已知得對(duì)矩陣施行初等行變換

2、設(shè)求解：對(duì)矩陣（AE）施行初等行變換

3、驗(yàn)證的一個(gè)基，并求在這組基下的坐標(biāo)。解：為的一個(gè)基令求就是解方程組對(duì)矩陣施行初等行變換所以在這組基下的坐標(biāo)為2，3，-1。

4、設(shè)求矩陣A的秩及

A的列向量組的極大無關(guān)組。解：對(duì)矩陣A施行初等行變換所以矩陣A的秩為3，第一列、第二列、第三列;第一列、第二列、第四列為A的列向量組的極大無關(guān)組。四、證明題的一個(gè)特征值，且≠0。

1、若n階可逆陣A的任意行元素之和都等于，證明：為矩陣A證：由已知所以為矩陣A的一個(gè)特征值。

2、矩陣

A

滿足

A2+6A+8E=0，且A=AT，證明：A+3E是正交陣。證：由所以A+3E為正交矩陣。

3、知向量組是齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，且證明：向量組也是AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。解：為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，故為齊次線性方程組的解，所以只需證線性無關(guān),解得所以線性無關(guān)，所以亦是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。(1)、的值。(2)、求一個(gè)可逆陣，使五、設(shè)已知A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，

=2是的二重特征值，求：解：由題意可知，A可對(duì)角化，必有R（A-2E）=1，于是六、已知(1)、取什么值時(shí)，能由唯一的線性表示，并寫出表達(dá)式；(2)、取什么值時(shí)，不能由線性表示；(3)、取什么值時(shí)，能由多種線性表示，并寫出表達(dá)式。解：對(duì)矩陣施行初等行變換表示式為七、設(shè)A是正定陣，試證存在正定陣B，使得A=B2。證：設(shè)是A的特征值，因A是正定矩陣，且存在正交矩陣P，使其中顯然B為正定陣，且有