第二章-矩陣及其運算習題課-吉林大學課件

線性代數(shù)綜合練習題（二）2、設則存在可逆陣

P，使P-1AP=B，其中P=。一、填空題

1、四階方陣A的特征值為1、3、4、5，。；3、已知四階行列式D的第三行元素分別為-1，3，2，0，第二行元素的余子式依次為5，

-2，，4，則

=。解：因為行列式第三行元素與第二行元素對應的代數(shù)余子式乘積之和為零，所以有解得則的秩為。4、已知是滿秩方陣，且解：因為A為滿秩矩陣，所以A可以寫成有限個初等矩陣的乘積，用有限個初等矩陣左乘矩陣B，相當于對矩陣B進行了有限次初等行變換，而初等變換不改變矩陣的秩，所以矩陣B的秩等于AB的秩。而AB的秩為1，所以B的秩為1。5、設1是實對稱陣的一個特征值，且，=則。解：又因為1是實對稱矩陣A的一個特征值，二、選擇題1、設線性無關，則下列向量組線性相關的是（）；解；設一組數(shù)

使線性無關，所以解得令則有一組不全為零的數(shù)使所以選（A）2、設A是n階矩陣，且A的行列式則A中；（A）必有一列元素為零；（B）必有兩列元素對應成比例；（C）必有一列向量是其余列向量的線性組合；（D）任一列向量是其余列向量的線性組合。解：由可知，A的列向量組是線性相關的，所以其中至少有一個列向量可由其余列向量線性表示，因此選（C）。3、設A,B均是n階正交陣,若則

A+B必為()

(A)、初等陣；(B)、正交陣；

(C)、對稱陣；

(D)、奇異陣。解：

選（D）4、已知則=()解：選（C）5、設β能由線性表示，但不能由線性表示，則()；

(A)、不能由線性表示，但能由β，線性表示；

(D)、能由線性表示，也能由β，

線性表示。

(C)、能由線性表示，但不能由β，

線性表示；

(B)、不能由線性表示，也不能由β，線性表示；與已知矛盾，所以選（A）。即可由線性表示，時有解：若能由線性表示，因為能由，線性表示，則能由線性表示，與已知矛盾，所以不能選（C）（D）；即不能由線性表示，

1、解矩陣方程三、計算題解：由已知得對矩陣施行初等行變換

2、設求解：對矩陣（AE）施行初等行變換

3、驗證的一個基，并求在這組基下的坐標。解：為的一個基令求就是解方程組對矩陣施行初等行變換所以在這組基下的坐標為2，3，-1。

4、設求矩陣A的秩及

A的列向量組的極大無關組。解：對矩陣A施行初等行變換所以矩陣A的秩為3，第一列、第二列、第三列;第一列、第二列、第四列為A的列向量組的極大無關組。四、證明題的一個特征值，且≠0。

1、若n階可逆陣A的任意行元素之和都等于，證明：為矩陣A證：由已知所以為矩陣A的一個特征值。

2、矩陣

A

滿足

A2+6A+8E=0，且A=AT，證明：A+3E是正交陣。證：由所以A+3E為正交矩陣。

3、知向量組是齊次線性方程組AX=0的基礎解系，且證明：向量組也是AX=0的一個基礎解系。解：為齊次線性方程組的基礎解系，故為齊次線性方程組的解，所以只需證線性無關,解得所以線性無關，所以亦是齊次線性方程組的基礎解系。(1)、的值。(2)、求一個可逆陣，使五、設已知A有3個線性無關的特征向量，

=2是的二重特征值，求：解：由題意可知，A可對角化，必有R（A-2E）=1，于是六、已知(1)、取什么值時，能由唯一的線性表示，并寫出表達式；(2)、取什么值時，不能由線性表示；(3)、取什么值時，能由多種線性表示，并寫出表達式。解：對矩陣施行初等行變換表示式為七、設A是正定陣，試證存在正定陣B，使得A=B2。證：設是A的特征值，因A是正定矩陣，且存在正交矩陣P，使其中顯然B為正定陣，且有