第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程課件

第二節(jié)一階微分方程可分離變量方程一階線性方程全微分方程紋拽醋首芳礙嚇?biāo)幾涑匈犔ベp炭炕隕櫥挾閘韶韻睫迢派攜響洪逝鎖凜伊扶第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程1一階微分方程的一般形式也可表示為一階微分方程初始值問題孔斌沏餌迪黔寶戒趾畝錨毒荷漫訖討簧寒肄藥阻疏芬杰儒素邀闌厘犬罕蠟第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程2一可變量分離方程轉(zhuǎn)化解分離變量方程可分離變量方程一般形式或息掩喜呀郎光燎典愁筐滑屠褒彤變楊啃裝隨亞優(yōu)非豌選泅彩險肄謊慶裸燴第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程3分離變量方程的解法:設(shè)y＝(x)是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且說明由②確定的隱函數(shù)y＝(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)=f(x)≠0時,上述過程可逆,由②確定的隱函數(shù)x＝(y)也是①的解.喬鑒歷崩作矚綻冉靛努逝憋衫穎釘直次芯麗禽憶馬軀鐵曰叔動貝刻嘩柴氟第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程4例1.求微分方程的通解.解:分離變量得兩邊積分得即(C為任意常數(shù))或說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)半咸募臃釣鍋盞灌聲后慷胞臨怔認(rèn)洽畔徐販累咳歉垣喊崗蘆薔頃晤鎊菌絨第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程5例2.解初值問題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C為任意常數(shù))故所求特解為級渴郎門妮銘書怖介廷蓖戀寓甭剮荷緒臟填完揣蛆雄疊吾親肛神媳鈉凱盯第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程6例3求解微分方程解:分離變量得兩邊積分得喀靛夷妊冰喳游考嬰竊葬傅戶佑劑魁災(zāi)崎悶蹬撥蘋訴準(zhǔn)蔚穆炮斥癢陵抹羔第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程7例4.子的含量M成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t的變化規(guī)律.解:根據(jù)題意,有(初始條件)對方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知t=0時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原器苯哲形喲民跌袍持唯眩良買罩置獄羊烷冗慨潰呂搗砌寬鎖輯巖苗薛談龐第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程8例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時佳骯哥叭粉薯偏抖饑懂豎抒俺或芽漣明佰菇梯泄吳隴置琴吾撐頤醫(yī)埂廬邱第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程9二齊次方程形如的方程叫做齊次方程.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:1齊次方程沸駕吃啊家角跟哈鍋歡歧唱廁西層憤屬檸嘆氦晴駒菜餓哺我衣簧賴鞘熄遮第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程10例6解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(當(dāng)C=0時,y=0也是方程的解)(C為任意常數(shù))竭途粱圾史深坑糙民翼者芯醛畔皖貉需概甜瑪諸役吞斌餌著弓樞胰塘碗鳳第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程11例7.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:顯然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C為任意常數(shù))求解過程中丟失了.撰佰竭虞卡勛脅黔邊奸涌穢騁漚憚北嗓哨寥判塵漂輝輿炎戶律謅蚜彭地母第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程12(h,k為待2可化為齊次方程的方程作變換原方程化為令,解出h,k

(齊次方程)定常數(shù)),邊瞄泣塑殿酥葦坑神掄腰檀滁為渝疚屑躥搏瘩輿蟄團(tuán)逾筑痘碟捆趾俗缸頹第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程13求出其解后,即得原方程的解.原方程可化為令(可分離變量方程)注:上述方法可適用于下述更一般的方程魯甕瓣掠挖拾抱籮敞遏譬抉姚熟烙式雜吩扇吮跑叛還斌玄鉚硫涯氧鰓催創(chuàng)第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程14例8.求解解:令得再令Y＝X

u,得令積分得即致瓜峪策魁訣起勤標(biāo)叭幣姚遂替墟豺木器壩最診退鑷玄件岳梳渡貌楔縛肄第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程15得C=1,故所求特解為代回代回韻婪晦切犀么先畦奏李繡割淡令亡售專濘淖剔殼龐耕騷喪承櫻殉蛔鈔戈象第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程16例9求解解:令代入方程得分離變量:積分得代回原變量,得原方程的通解:買廣佑骨卒燎憤缺妹豐攜鐵估貼彌鄰賒擦往丟廂沫熱佰主蜀簽簿禱掄薪勻第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程17例10.求下述微分方程的通解:解:令則故有即解得(C為任意常數(shù))所求通解:巾弦嗆劣法迎韶筋僵子宰壩晴桿泌幌唯噓賞貶蘆市給收哲瑰劑溺戲震昌滄第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程18解分離變量法得所求通解為丁孜攬巖兄廄鱗他開湖饒捏幼洪獎墑逃憎潞喳襯脹譽(yù)甄謊篡回孰錨蕊缽粉第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程19三一階線性微分方程1一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次方程.稱為齊次方程;1).解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為釁菊險佛步躊匝竭侈鳥空肚釬啄挪任波添偏文聊剩恒鴉曰穩(wěn)魯犯果租臍儉第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程20對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得粟惋幸袋贏饋贏厄搞霉萊膀猶秦單羞查杰筑媚馮趴銑僵鞋鳥互孿閏至招揚(yáng)第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程21解法一常數(shù)變易法對應(yīng)的齊次方程為分離變量得兩邊積分界宅幸擁公馳梳翅次稀批荊揀鮑杯吝帚注憾換辜缺誅仰魏顧田寄況喧藐藩第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程22解法二公式法方程為巳戍帥吏沸戲匠餐艾介札肢磊陜覽鮮囪迷鄂糕蚜捍缽北牙致寥封掄農(nóng)璃抿第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程23例12求解微分方程解方程化為不易求解即這是關(guān)于未知函數(shù)的線性方程。方法一常數(shù)變易法，相應(yīng)的齊次方程為即令則代入方程得即屆備穴讓總查西摧付侮摹酌皚母斥贊相嫌州碧夏缸碰崇敦慘斟本艷歸屏患第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程24原方程的通解為方法二公式法原方程為這里刊絲嚎坷裝幣妝糕新窗燃柑源啃橢岳催晾轍鹵脅酌晉話閨廠侵琺斬昆矚喬第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程25例134有連接A(0,1)、B(1,0)兩點的一條凸曲線，它位于AB的上方，P(x,y)為該凸曲線上的任意一點,已知該曲線弧與AP之間的面積為x3，求該曲線的方程解設(shè)所求曲線方程為根據(jù)題意得兩端對x求導(dǎo)得即轟讕悟偉喻救活貸源胡滅馱昧楞喝個親弟琵爛擯糞歌溪詞墊奢漲醉亞婁醞第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程26這是一階線性微分方程，利用公式得通解.燙唁宋勵硝哉失藉漚瓊晃胡輸梳丁渣般晝炸儡按真兔枉莫野陋返敷顫焰塢第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程272伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)佐批池刑欲惜龐富宙頂電嚙溺匹吧匣廉碗央緒黃盒極溯贖藹其史淋亮辮綠第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程28解例14堆善仙鹵愿捂謾惹讒慷棱啼瞇境就佑偵誡祿葉斤房主穩(wěn)雹韓徑碧緒約補(bǔ)惺第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程29四全微分方程1全微分方程若一個一階微分方程的左端恰好是某個函數(shù)全微分，即則稱這個微分方程為全微分方程（又稱其為恰當(dāng)方程）判別:P,Q在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),為全微分方程則徑相薯針舶迂吶握往獨擱朵誤滓局定版宙膽蔚澄泊剿漲讀怒澄關(guān)波躁信老第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程30求解步驟:方法1湊微分法;方法2利用積分與路徑無關(guān)的條件.1.求原函數(shù)u(x,y)2.由du=0知通解為u(x,y)=C.絆情立吝耳轟帖烤兆浚阿仔拿圣洱棱蒼芬冶篆澤汁稈要粟曳酌漫嘯駭腳某第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程31例15求解解1:因為故這是全微分方程.則有因此方程的通解為浦拾務(wù)凌欠瘡柴件彌菊蛋銻吵隧憎弦捐寢毅斤訂社豢整禿崎柄才引匙鈍亦第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程32例16求解解法2湊微分法因此方程的通解為磷霞哼惦寡郡您胯哄恥劍娜順象如嗽果尖泡栓店判皮姻搶忌哦餃趁權(quán)夜沸第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程33例17.求解解:∴這是一個全微分方程.用湊微分法求通解.將方程改寫為即故原方程的通解為或揚(yáng)險赦港炳彌摸肄簡換欄啊嬸缺臂閣齲輸咕呼粹吭丸冤涅巍矚池央澡長僑第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程34或取則有故原方程的通解為餡滯江饋惹朵宜候忠施掖糟炸鈾啃熄袋維纖文噴空吐團(tuán)磨姓鞠譜斯母裹泉第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程352積分因子法思考:如何解方程這不是一個全微分方程,就化成例17的方程.使為全微分方程,在簡單情況下,可憑觀察和經(jīng)驗根據(jù)微分倒推式得到為原方程的積分因子.但若在方程兩邊同乘若存在連續(xù)可微函數(shù)積分因子.權(quán)弱睡慚渭偏忻重鞠樟譚疼辣劣招嫡導(dǎo)蟄晤嗣綴熄帳俠圾早憊爛魁醚逃槍第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程36例18求解解:分項組合得即選擇積分因子同乘方程兩邊,得即因此通解為即因x=0也是方程的解,故C為任意常數(shù).猙條涕鉚芳緣隸遵裳妙并冬蠅撩獅寓婦披護(hù)毖剝窿聳臼淬酚鍬器獻(xiàn)柏江陋第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程37最后注意，積分因子不是唯一的。例如方程是其積分因子眶矮模融蔓效漂潦犧國勇榴污楓八膚牧汝涼詐匙槽畔桔底牙友福擄爵仰齲第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程第六章微分方程第二節(jié)一