高數(shù)函數(shù)極限

高數(shù)函數(shù)極限第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月使用數(shù)學(xué)語言進行描述,定義1.6可以寫為：如果在定義1.6,

如果令

則有

設(shè)在點

的某個空心鄰域內(nèi)有定義,A為常數(shù).存在點

的空心鄰域第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月的右極限與左極限.分別稱為f(x)在點由定義1.6,

特別地,我們有下面兩個簡單的極限：第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例1證明不存在.左右極限存在但不相等,證所以,不存在.第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例2用定義驗證:證因所以故而第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例3證明:當證因不妨設(shè)

由

所以

故

第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例4用定義驗證:證因不妨設(shè)

于是故所以第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例5證明其中為常數(shù).證即

當時,結(jié)論顯然成立.令則

于是

所以

先證的情形.當時,令而同樣有

第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2.2

函數(shù)極限的性質(zhì)與運算但所有的結(jié)果都可以平行推廣到一般情況.

定理1.9(唯一性)本節(jié)主要針對的情形討論極限的性質(zhì)與運算,證反證法.若存在,則極限值是唯一的.于是為無窮小,與矛盾.則

都是無窮小.

第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1.10(局部有界性)

若存在,則在x0的某個空心鄰域證設(shè)所以,在該空心鄰域內(nèi)有界.內(nèi)有界.因為在點x0某空心鄰域內(nèi)有界,

第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1.11(局部保號性)

證只需證第一部分.

與A同號.不妨設(shè)1.設(shè)且因所以為無窮小.即于是第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2.3極限的運算法則定理1.12(極限四則運算法則)

則有

證(1)則

設(shè)

第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月推論1如果即:常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2如果所以(1)成立.于是第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月推論1.2(局部保序性)由定理1.11和定理1.12,立即有下面的推論

則在x0的某個空心鄰域內(nèi)有2.若在x0的某個空心鄰域內(nèi)有則則第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月有利用極限的運算法則和上節(jié)的兩個結(jié)果我們可以求解一些簡單的極限問題：

對于的多項式函數(shù)第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例6

求

解由函數(shù)商的極限法則,有第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地,設(shè)

則商的法則不能使用.則當?shù)?7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例7

求

第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解消去零因子法時,分子、分母的極限都是零.例8

求

第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解時,分子、分母的極限都是無窮大,例9

求

分子、分母同時除以

x的最高次冪.第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地,當?shù)?1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解先作恒等變形,使和式的項數(shù)固定,再求極限.和式的項數(shù)隨著n在變化,原式不能用運算法則.方法:例10

求

第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1.13(復(fù)合函數(shù)的極限運算法則)設(shè)且存在推論若則則復(fù)合函數(shù)時的極限也存在,且第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月證例11

證明:如果則由及復(fù)合函數(shù)的極限法則,有

有特別地,如果為多項式函數(shù),且

第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解原式例12

求

第25頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于數(shù)列可以看作特殊的函數(shù),因此復(fù)合函數(shù)的極限法則對數(shù)列同樣適用.抽取無限多項并保持它們在原數(shù)列中的先后次序,

在數(shù)列中任意得到的數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列(簡稱子列).

設(shè)在數(shù)列中,第一次抽取

第二次在后抽取抽取下去得到子數(shù)列

第三次在后抽取注意:

嚴格單調(diào)遞增，顯然有

無休止地第26頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月如果數(shù)列收斂于A,

則它的任意子數(shù)列推論1.3(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)也收斂于A.證設(shè)是的任一子列.令顯然有由定理1.13有第27頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月如果推論1.4(函數(shù)極限與數(shù)列極