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向量到子空間的距離第1頁(yè),課件共14頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月向量間的距離長(zhǎng)度稱(chēng)為向量和的距離,基本性質(zhì)(i)
(ii)并且僅當(dāng)?shù)牡忍?hào)才成立;(iii)(三角形不等式)
一、向量到子空間的距離定義記為第2頁(yè),課件共14頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月2.向量到子空間的距離(1)設(shè)為一固定向量,如果與子空間中每個(gè)向量垂直,
稱(chēng)垂直于子空間記作如果則
注:
第3頁(yè),課件共14頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月(2)向量到子空間中的各向量的距離以垂線為最短.
如圖示意,對(duì)給定,設(shè)是中的滿(mǎn)足的向量,則對(duì)有第4頁(yè),課件共14頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月因是子空間,則由勾股定理證明:故所以第5頁(yè),課件共14頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月二、最小二乘法問(wèn)題提出:實(shí)系數(shù)線性方程組(1)
即任意都可能使
(2)
不等于零.可能無(wú)解,第6頁(yè),課件共14頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月設(shè)法找實(shí)數(shù)組使(2)最小,
這樣的為方程組(1)的最小二乘解,
此問(wèn)題叫最小二乘法問(wèn)題.最小二乘法的表示:設(shè)
(3)
第7頁(yè),課件共14頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月用距離的概念,(2)就是
由(3),
設(shè)則要找使(2)最小,等價(jià)于找子空間
中向量使到它的距離比到
中其它向量的距離都短.
第8頁(yè),課件共14頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月設(shè)這等價(jià)于
(4)
即
這樣(4)等價(jià)于(5)
為此必或這就是最小二乘解所滿(mǎn)足的代數(shù)方程.
第9頁(yè),課件共14頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月已知某種材料在生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率與某種化學(xué)成份有關(guān).下列表中記載了某工廠生產(chǎn)中與相應(yīng)的的幾次數(shù)值:找出對(duì)的一個(gè)近似公式.例題第10頁(yè),課件共14頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月把表中數(shù)值畫(huà)出圖來(lái)看,發(fā)現(xiàn)它的變化趨勢(shì)近于一條直線.因此我們決定選取的一次式
來(lái)表達(dá).當(dāng)然最好能選到適當(dāng)?shù)氖沟孟旅娴牡仁浇猓憾汲闪?第11頁(yè),課件共14頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月實(shí)際上是不可能的.任何代入上面各式都發(fā)生
些誤差.于是想找到使得上面各式的誤差的平方和最小,即找使
最小.易知
第12頁(yè),課件共14頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月最小二乘解所滿(mǎn)足的方程就是
第1
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