向量到子空間的距離

向量到子空間的距離第1頁(yè)，課件共14頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月向量間的距離長(zhǎng)度稱(chēng)為向量和的距離，基本性質(zhì)（i）

（ii）并且僅當(dāng)?shù)牡忍?hào)才成立；（iii）(三角形不等式)

一、向量到子空間的距離定義記為第2頁(yè)，課件共14頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.向量到子空間的距離(1)設(shè)為一固定向量，如果與子空間中每個(gè)向量垂直，

稱(chēng)垂直于子空間記作如果則

注:

第3頁(yè)，課件共14頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)向量到子空間中的各向量的距離以垂線為最短.

如圖示意，對(duì)給定，設(shè)是中的滿(mǎn)足的向量，則對(duì)有第4頁(yè)，課件共14頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因是子空間，則由勾股定理證明：故所以第5頁(yè)，課件共14頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、最小二乘法問(wèn)題提出:實(shí)系數(shù)線性方程組（1）

即任意都可能使

（2）

不等于零．可能無(wú)解，第6頁(yè)，課件共14頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)法找實(shí)數(shù)組使（2）最小,

這樣的為方程組（1）的最小二乘解，

此問(wèn)題叫最小二乘法問(wèn)題.最小二乘法的表示:設(shè)

（3）

第7頁(yè)，課件共14頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用距離的概念，（2）就是

由（3）,

設(shè)則要找使（2）最小，等價(jià)于找子空間

中向量使到它的距離比到

中其它向量的距離都短.

第8頁(yè)，課件共14頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)這等價(jià)于

（4）

即

這樣（4）等價(jià)于（5）

為此必或這就是最小二乘解所滿(mǎn)足的代數(shù)方程.

第9頁(yè)，課件共14頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月已知某種材料在生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率與某種化學(xué)成份有關(guān)．下列表中記載了某工廠生產(chǎn)中與相應(yīng)的的幾次數(shù)值：找出對(duì)的一個(gè)近似公式.例題第10頁(yè)，課件共14頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把表中數(shù)值畫(huà)出圖來(lái)看，發(fā)現(xiàn)它的變化趨勢(shì)近于一條直線．因此我們決定選取的一次式

來(lái)表達(dá)．當(dāng)然最好能選到適當(dāng)?shù)氖沟孟旅娴牡仁浇猓憾汲闪?第11頁(yè)，課件共14頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)際上是不可能的．任何代入上面各式都發(fā)生

些誤差.于是想找到使得上面各式的誤差的平方和最小，即找使

最小.易知

第12頁(yè)，課件共14頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月最小二乘解所滿(mǎn)足的方程就是

第1