第四章-恒定磁場(chǎng)-陳俊課件

第四章恒定磁場(chǎng)4.1安培力定律及磁感應(yīng)定律4.2安培環(huán)路定律4.3真空中磁場(chǎng)基本方程4.4介質(zhì)中磁場(chǎng)基本方程4.5不同介質(zhì)分界面邊界條件SteadyMagneticField

導(dǎo)體中通有直流電流時(shí)，在導(dǎo)體內(nèi)部和它周圍的媒質(zhì)中，不僅有電場(chǎng)還有不隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)，稱為恒定磁場(chǎng)。恒定磁場(chǎng)和靜電場(chǎng)是性質(zhì)完全不同的兩種場(chǎng)，但在分析方法上卻有許多共同之處。學(xué)習(xí)本章時(shí)，注意類比法的應(yīng)用。4.1安培力定律及磁感應(yīng)強(qiáng)度1.安培力定律兩個(gè)載流回路之間的作用力式中，為真空中的磁導(dǎo)率。

I1I2o兩元電流段之間的安培力I1dl1實(shí)驗(yàn)指出在真空中兩個(gè)元電流段和之間的作用力，正比于它們的矢量積，而反比于它們之間距離的平方。實(shí)際上不可能存在孤立的元電流段，我們研究的只能是整個(gè)電流回路。已知磁場(chǎng)表現(xiàn)為對(duì)于運(yùn)動(dòng)電荷有力的作用，因此，可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)電荷或電流元受到的作用力，或者根據(jù)小電流環(huán)在磁場(chǎng)中受到的力矩描述磁場(chǎng)的強(qiáng)弱。

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的作用力不僅與電荷量及運(yùn)動(dòng)速度的大小成正比，而且還與電荷的運(yùn)動(dòng)方向有關(guān)。電荷沿某一方向運(yùn)動(dòng)時(shí)受力最大，而垂直此方向運(yùn)動(dòng)時(shí)受力為零。我們定義，受力為零的方向?yàn)榱憔€方向，如圖所示。2.

磁感應(yīng)強(qiáng)度--比奧莎伐爾定律FBv零線方向設(shè)作用力為f

，沿偏離零線方向

角度運(yùn)動(dòng)時(shí)，受力。作用力F的大小與電荷量q

及速度大小v的乘積成正比。方向上f垂直于速度方向

與零力線構(gòu)成的平面。我們定義一個(gè)矢量B

，令其大小為，其方向?yàn)榱憔€方向，那么矢量B與電荷量q

，運(yùn)動(dòng)速度v以及作用力F的關(guān)系為

矢量B稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位為T（特斯拉）。

值得注意的是，運(yùn)動(dòng)電荷受到的磁場(chǎng)力始終與電荷的運(yùn)動(dòng)方向垂直，因此，磁場(chǎng)力無法改變運(yùn)動(dòng)電荷速度的大小，只能改變其運(yùn)動(dòng)方向，磁場(chǎng)與運(yùn)動(dòng)電荷之間沒有能量交換。

FBv零線方向

電流元是一小段載流導(dǎo)線，以矢量元dl的大小表示電流元的長(zhǎng)度，其方向表示電流I的方向，如左下圖示。FBIdl若電流元的電流為I，則那么，由前式求得電流元在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場(chǎng)中受到的力此式表明，當(dāng)電流元的電流方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度B平行時(shí)，受力為零；當(dāng)電流元的方向與B垂直時(shí)，受力最大。電流元在磁場(chǎng)中的受力方向始終垂直于電流的流動(dòng)方向。

磁感應(yīng)強(qiáng)度B通過某一表面S的通量稱為磁通，以

表示，即磁通的單位為Wb（韋伯）。

可以看出產(chǎn)生的

我們稱上述諸式為畢奧--沙伐定律。由計(jì)算式可知，與產(chǎn)生它的源呈線性比例關(guān)系，在計(jì)算中可運(yùn)用疊加原理。畢奧--沙伐定律的表達(dá)式又稱為真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度的場(chǎng)—源關(guān)系式。

方向由確定。

例由圖計(jì)算載流為I、長(zhǎng)為L(zhǎng)的直導(dǎo)線在真空中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。o在真空中載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)zLP’(ρ,L)Idzρ解：因結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性，載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)應(yīng)是圓柱對(duì)稱的。以導(dǎo)線軸線為z軸，一端為原點(diǎn)，建立圓柱坐標(biāo)系。在導(dǎo)線上任取元電流段產(chǎn)生的磁場(chǎng)：

代入上面的式子，整理得該點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度

產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為當(dāng)時(shí)，成為長(zhǎng)直載流導(dǎo)線，此時(shí)，

例計(jì)算真空中半徑為a，電流為I的圓形載流回路中軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。PzSoI圓形載流回路的磁場(chǎng)計(jì)算圖解：取回路中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立圓柱坐標(biāo)系。在圓形載流回路上取一元電流段

該元電流段產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度

按磁場(chǎng)分布的對(duì)稱性，磁感應(yīng)強(qiáng)度B只具有z方向的分量，所以

在z=0處或者可以先分析磁感強(qiáng)度的分量，而后直接只求z方向的分量。4.2安培環(huán)路定律在真空磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任意閉合回路的線積分，等于真空中的磁導(dǎo)率乘以該回路所限定面積中穿過的自由電流代數(shù)和。其表達(dá)式為

這就是真空中的安培環(huán)路定律。此表達(dá)形式為定律的積分形式，

的正、負(fù)取決于的流向與l回路的循行方向是否符合右手螺旋關(guān)系，相符為正，否則為負(fù)。I3I1lI2I40S圖環(huán)量與激磁電流I間關(guān)系說明圖如圖，有：例無限長(zhǎng)直導(dǎo)線，利用安培環(huán)路定律求解應(yīng)注意的是：定律指出B沿任意閉合回路的線積分，僅與回路所包圍的面積中通過的自由電流的總量相關(guān)，而與其他電流無關(guān)。但是，B本身卻與產(chǎn)生磁場(chǎng)的所有電流都相關(guān)。此式表明，磁場(chǎng)線是以z軸為圓心的一系列的同心圓。顯然，此時(shí)磁場(chǎng)分布以z軸對(duì)稱，且與

無關(guān)。又因線電流為無限長(zhǎng)，因此，場(chǎng)量一定與變量

z

無關(guān)，所以，以線電流為圓心的磁場(chǎng)線上各點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度相等。因此，沿半徑為r的磁場(chǎng)線上磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)量為

根據(jù)安培環(huán)路定律，求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為此式也適用于具有一定截面，電流為I的無限長(zhǎng)的圓柱導(dǎo)線外的恒定磁場(chǎng)。IB例長(zhǎng)直同軸電纜，其橫截面尺寸如圖所示。已知內(nèi)、外導(dǎo)體以及它們之間的媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為，內(nèi)、外導(dǎo)體中流過電流分別為I、-I，試求磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布。解：結(jié)構(gòu)上和場(chǎng)源分布上的對(duì)稱性，決定了磁場(chǎng)呈平行平面場(chǎng)和軸對(duì)稱場(chǎng)分布。取同軸電纜橫截面圖為計(jì)算區(qū)域，建立圓柱坐標(biāo)系。以為半徑，作同心圓為積分路徑，被積函數(shù)為o-I長(zhǎng)直同軸電纜的磁場(chǎng)圖Io-I長(zhǎng)直同軸電纜的磁場(chǎng)圖I4.3真空中的恒定磁場(chǎng)基本方程真空中恒定磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B滿足下列兩個(gè)方程左式稱為安培環(huán)路定律，式中0為真空磁導(dǎo)率，(H/m)，I

為閉合曲線包圍的電流。

安培環(huán)路定律表明，真空中恒定磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任一閉合曲線的環(huán)量等于曲線包圍的電流與真空磁導(dǎo)率的乘積。由此可見，與電流線一樣，磁場(chǎng)線也是處處閉合的，沒有起點(diǎn)與終點(diǎn)，這種特性稱為磁通連續(xù)性原理。右式表明，真空中恒定磁場(chǎng)通過任一閉合面的磁通為零。

由斯托克斯定理獲知再考慮到電流強(qiáng)度I與電流密度J的關(guān)系那么，根據(jù)安培環(huán)路定律求得由于上式對(duì)于任何表面都成立，因此，被積函數(shù)應(yīng)為零，從而求得此式稱為真空中的安培環(huán)路定律的微分形式。它表明，真空中某點(diǎn)恒定磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的旋度等于該點(diǎn)的電流密度與真空磁導(dǎo)率的乘積。

另外，由高斯定理獲知那么，根據(jù)磁通連續(xù)性原理求得(證明板書)由于此式處處成立，因此被積函數(shù)應(yīng)為零，即此式表明，真空中恒定磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度處處為零。綜上所述，求得真空中恒定磁場(chǎng)方程的微分形式為可見，真空中恒定磁場(chǎng)是有旋無散的。

對(duì)于某些恒定磁場(chǎng)，根據(jù)安培環(huán)路定律計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度將十分簡(jiǎn)便。為此，必須找到一條封閉曲線，曲線上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，且方向與曲線的切線方向一致，上式的矢量積分變?yōu)闃?biāo)量積分，且B可以由積分號(hào)移出，那么即可求出B值。至此，我們獲得了真空中恒定磁場(chǎng)方程的積分形式和微分形式。已知電流分布，根據(jù)矢量磁位和磁感應(yīng)強(qiáng)度公式，即可計(jì)算恒定磁場(chǎng)。對(duì)于某些分布特殊的恒定磁場(chǎng)利用安培環(huán)路定律計(jì)算恒定磁場(chǎng)更為簡(jiǎn)便。附矢量磁位已知矢量磁位A與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系為

矢量磁位與電位不同，它沒有任何物理意義，僅是一個(gè)計(jì)算輔助量。已知，那么求得可見，矢量磁位A滿足矢量泊松方程。當(dāng)電流分布未知時(shí)，必須利用邊界條件求解恒定電磁場(chǎng)的方程。為此，需要導(dǎo)出矢量磁位應(yīng)該滿足的微分方程。前述矢量磁位的積分表達(dá)式可以認(rèn)為是該方程的特解——自由空間中的解。在無源區(qū)中，J

=0，則上式變?yōu)橄率鍪噶坷绽狗匠?/p>

已知在直角坐標(biāo)系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解為三個(gè)坐標(biāo)分量的標(biāo)量方程。因此，分離變量法均可用于求解矢量磁位A的各個(gè)直角坐標(biāo)分量所滿足的標(biāo)量泊松方程及拉普拉斯方程。此外，鏡像法也可適用于求解恒定磁場(chǎng)的邊值問題。已知磁通表達(dá)式為，那么再利用斯托克斯定理，得由此可見，利用矢量磁位A計(jì)算磁通十分簡(jiǎn)便。

例計(jì)算半徑為a

，電流為I的小電流環(huán)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。rzyxaRe'xyOae'-exeye'解取球坐標(biāo)系，令坐標(biāo)原點(diǎn)位于電流環(huán)的中心，且電流環(huán)的平面位于xy

平面內(nèi)，如圖示。由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱，場(chǎng)量一定與

無關(guān)。為了計(jì)算方便起見，令所求的場(chǎng)點(diǎn)位于xz平面，即=0平面內(nèi)。xy-JK根據(jù)，求得可見，小電流環(huán)產(chǎn)生的矢量磁位A與距離r

的平方成反比，磁感應(yīng)強(qiáng)度B與距離r

的立方成反比。而且，兩者均與場(chǎng)點(diǎn)所處的方位有關(guān)。

經(jīng)過一系列演算，求得式中為小電流環(huán)的面積。Tips

1.求解磁感應(yīng)強(qiáng)度有幾種方法：比奧沙伐爾定理，安培環(huán)路定理（有條件），矢量磁位。2.恒定磁場(chǎng)的性質(zhì)：有旋無散，基本方程的積分形式，微分形式。3.接著要討論介質(zhì)中的場(chǎng)，邊界條件。1.媒質(zhì)磁化

電子圍繞原子核旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)閉合的環(huán)形電流，這種環(huán)形電流相當(dāng)于一個(gè)磁偶極子。電子及原子核本身自旋也相當(dāng)于形成磁偶極子。媒質(zhì)合成場(chǎng)Ba+Bs磁化二次場(chǎng)Bs外加場(chǎng)Ba當(dāng)外加磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)力的作用下，這些帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化，甚至產(chǎn)生新的電流，導(dǎo)致各個(gè)磁矩重新排列，宏觀的合成磁矩不再為零，這種現(xiàn)象稱為磁化。由于熱運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，這些磁偶極子的排列方向雜亂無章，合成磁矩為零，對(duì)外不顯示磁性。4.4媒質(zhì)中的恒定磁場(chǎng)基本方程

與極化現(xiàn)象不同，磁化結(jié)果使媒質(zhì)中的合成磁場(chǎng)可能減弱或增強(qiáng)，而介質(zhì)極化總是導(dǎo)致合成電場(chǎng)減弱。

磁化結(jié)果產(chǎn)生了磁矩。為了衡量磁化程度，我們定義單位體積中磁矩的矢量和稱為磁化強(qiáng)度，以M表示，即分子電流，物質(zhì)磁性的根源正是這些微觀分子電流引起的。在古典電磁理論中，常把這些微觀分子電流看成一個(gè)很小的電流環(huán)，環(huán)的面積矢為S，環(huán)的電流為i。電流環(huán)的磁性可用其磁矩來表示，的定義是式中為中第i個(gè)磁偶極子具有的磁矩。為物理無限小體積。

在有磁介質(zhì)的磁場(chǎng)中，磁介質(zhì)對(duì)磁場(chǎng)的影響可以歸納為各分子磁矩對(duì)磁場(chǎng)的影響。宏觀分子電流總和（即磁化電流）為閉合路徑l所穿過的分子磁矩的電流環(huán)的電流總和。因此，我們?cè)诖沤橘|(zhì)中沿積分路徑取一小圓柱在表面做長(zhǎng)度為dl，底面積為的圓柱體，環(huán)繞dl的電流為沿閉合回路對(duì)dl的積分，可得與整個(gè)環(huán)路L相交鏈的總電流為：磁化后，媒質(zhì)中形成新的電流，這種電流稱為磁化電流。形成磁化電流的電子仍然被束縛在原子或分子周圍，所以磁化電流又稱為束縛電流。磁化電流密度以J'表示。利用矢量磁位與磁矩的關(guān)系，可以導(dǎo)出矢量磁位與磁化強(qiáng)度M

的關(guān)系為xPzyrdV'OV'r'r-r'S'第一項(xiàng)為體分布的磁化電流產(chǎn)生的矢量磁位，第二項(xiàng)為面分布的磁化電流產(chǎn)生的矢量磁位，因此兩種磁化電流密度與磁化強(qiáng)度的關(guān)系為

總結(jié)以上分析可得：①媒質(zhì)磁化后對(duì)原磁場(chǎng)的影響，可以用按體磁化電流密度和面磁化電流密度。分布的磁化電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)等效地描述；②與自由電流一樣，磁化電流也遵從畢奧--沙伐定律產(chǎn)生恒定磁場(chǎng)；③在有媒質(zhì)存在的區(qū)域，任意一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，應(yīng)是由自由電流和磁化電流在真空中產(chǎn)生的磁場(chǎng)的合成。2.媒質(zhì)中的恒定磁場(chǎng)基本方程

磁化媒質(zhì)內(nèi)部的磁場(chǎng)相當(dāng)于傳導(dǎo)電流

I

及磁化電流

I

在真空中產(chǎn)生的合成磁場(chǎng)。這樣，磁化媒質(zhì)中磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任一閉合曲線的環(huán)量為考慮到，求得令則式中H稱為磁場(chǎng)強(qiáng)度，其單位是A/m。上式稱為媒質(zhì)中安培環(huán)路定律或安培環(huán)路定律一般形式。它表明媒質(zhì)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任一閉合曲線的環(huán)量等于閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流。利用斯托克斯定理，由上式求得該式稱為媒質(zhì)中安培環(huán)路定律的微分形式。它表明媒質(zhì)中某點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度的旋度等于該點(diǎn)傳導(dǎo)電流密度。

磁化電流并不影響磁場(chǎng)線處處閉合的特性，媒質(zhì)中磁感應(yīng)強(qiáng)度通過任一閉合面的通量仍為零，因而磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度仍然處處為零，即磁場(chǎng)強(qiáng)度僅與傳導(dǎo)電流有關(guān)，簡(jiǎn)化了媒質(zhì)中磁場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算，正如使用電通密度可以簡(jiǎn)化介質(zhì)中靜電場(chǎng)的計(jì)算一樣。

對(duì)于大多數(shù)媒質(zhì)，磁化強(qiáng)度M與磁場(chǎng)強(qiáng)度H成正比，即式中比例常數(shù)m

稱為磁化率。磁化率可以是正或負(fù)實(shí)數(shù)。

考慮到，則由上式求得令則式中稱為磁導(dǎo)率。相對(duì)磁導(dǎo)率r定義為但是，無論抗磁性或者順磁性媒質(zhì)，其磁化現(xiàn)象均很微弱，因此，可以認(rèn)為它們的相對(duì)磁導(dǎo)率基本上等于1。鐵磁性媒質(zhì)的磁化現(xiàn)象非常顯著，其磁導(dǎo)率可以達(dá)到很高的數(shù)值?？勾判悦劫|(zhì)磁化后使磁場(chǎng)減弱，因此順磁性媒質(zhì)磁化后使磁場(chǎng)增強(qiáng)，因此媒質(zhì)媒質(zhì)媒質(zhì)金0.9996鋁1.000021

鎳

250銀0.9998鎂1.000012

鐵4000銅0.9999鈦1.000180磁性合金105與介質(zhì)的電性能一樣，媒質(zhì)的磁性能也有均勻與非均勻，線性與非線性、各向同性與各向異性等特點(diǎn)。若媒質(zhì)的磁導(dǎo)率不隨空間變化，則稱為磁性能均勻媒質(zhì)，反之，則稱為磁性能非均勻媒質(zhì)。若磁導(dǎo)率與外加磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小及方向均無關(guān)，磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度成正比，則稱為磁性能各向同性的線性媒質(zhì)。磁性能各向異性的媒質(zhì)，其磁導(dǎo)率具有9個(gè)分量，B與H的關(guān)系為對(duì)于磁性能均勻、線性、各向同性的媒質(zhì)，由于磁導(dǎo)率與空間坐標(biāo)無關(guān)，因此得

同理，也滿足以下這個(gè)微分方程式上述結(jié)果表明，對(duì)于均勻、線性、各向同性媒質(zhì)，只要真空磁導(dǎo)率0換為媒質(zhì)磁導(dǎo)率，各個(gè)方程即可適用。4.5恒定磁場(chǎng)的邊界條件

推導(dǎo)過程與靜電場(chǎng)的情況完全類似。結(jié)果如下：12B2H1B1H2en1.磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量是連續(xù)的，即

對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，由上式求得2.在磁介質(zhì)分界面上，取一跨過分界面兩側(cè)的小矩形回路，如圖所示，這個(gè)小矩形回路的兩邊平行于分界面，且分居于分界面兩側(cè)，另外兩邊h垂直穿過分界面，且h→0。應(yīng)用安培環(huán)路定律可得：若分界面上分布有表面電流，取垂直于小矩形面積的單位矢量為，則穿過小矩形面積的電流為，如圖所式。另外，又可以寫成，于是如果分界面無源電流，則：故有：或：由上可見，邊界兩側(cè)磁場(chǎng)強(qiáng)度及磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及方向均要發(fā)生變化。這種不連續(xù)性是由于邊界上存在的表面磁化電流引起的。考慮到回路方向與回路界定的有向面方向形成右旋關(guān)系，上式又可寫成矢量形式12e