復(fù)變函數(shù)第八章第四章資料課件

解析函數(shù)的級數(shù)表示法第四章§4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)1.復(fù)數(shù)列和復(fù)數(shù)列的極限定義4.1

設(shè)為一復(fù)數(shù)列，其中為一確定的復(fù)數(shù).如果對任意的正數(shù)，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，有

成立，則稱a為復(fù)數(shù)列{an}當(dāng)n時的極限，記作

并稱復(fù)數(shù)列{an}收斂于a.定理4.1

復(fù)數(shù)列{an}收斂于a的充分必要條件是：

證明如果，則對>0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，有從而有所以有同理有反之，如果,對>0

，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，有2.復(fù)級數(shù)設(shè)為一復(fù)數(shù)列，表達式

稱為復(fù)數(shù)域上的無窮級數(shù)，簡稱復(fù)級數(shù)或級數(shù).記該級數(shù)的前n項部分和為{Sn}稱為該級數(shù)的部分和數(shù)列.定義4.2

若級數(shù)對應(yīng)的部分和數(shù)列{Sn}收斂于常數(shù)S，即那么稱為收斂的級數(shù).數(shù)S叫做該級數(shù)的和，記為若不存在，則稱為發(fā)散的級數(shù).定理4.2

復(fù)級數(shù)收斂于S的充要條件是實級數(shù)和分別收斂于和，其中證明：其中它們分別為實級數(shù)和的部分和.

由定義4.2及定理4.1，Sn收斂于S的充要條件是{n}和{n}分別收斂于和，從而定理得證.

定理4.3

復(fù)級數(shù)收斂的必要條件是證明：級數(shù)收斂的充要條件是實級數(shù)和均收斂，其中實級數(shù)收斂的必要條件是其通項的極限為零.從而得到定義4.3

對于復(fù)級數(shù)，若收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；若發(fā)散，而收斂，則稱級數(shù)條件收斂.定理4.4

如果級數(shù)絕對收斂，則也收斂，且不等式成立.證明：記由于和均收斂.于是是收斂的.

故有即推論4.1

設(shè).則級數(shù)絕對收斂的充要條件是級數(shù)和都絕對收斂.例4.1

下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂？解

1)由正項級數(shù)的比值判別法和收斂，故原級數(shù)為絕對收斂.2)發(fā)散.3)因為收斂，也收斂，故原級數(shù)收斂.但為條件收斂，原級數(shù)為條件收斂.§4.2冪級數(shù)1.冪級數(shù)的概念冪級數(shù)，是指形如

的表達式，它的一般項是冪函數(shù),這里和z0是復(fù)常數(shù)，而z為復(fù)變數(shù).給定z的一個確定值z1，則

為復(fù)數(shù)項級數(shù)

若該復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂，則稱冪級數(shù)在z1處收斂，z1稱為冪級數(shù)的一個收斂點，否則則稱為發(fā)散點.

若D為冪級數(shù)所有收斂點的集合，則級數(shù)在D上的和確定一個函數(shù)S(z):稱S(z)為冪級數(shù)的和函數(shù).假定z0=0,冪級數(shù)成為

定理4.5

如果冪級數(shù)在收斂，則對于滿足的z，級數(shù)必絕對收斂；如果在處級數(shù)發(fā)散，則對于的z，級數(shù)必發(fā)散.證明：由于級數(shù)收斂，有因而存在正數(shù)M，使對所有的n成立如果，那么而由于是公比小于1的等比數(shù)列，故收斂.收斂從而級數(shù)是絕對收斂的.2.收斂半徑和收斂圓冪級數(shù)

的收斂情況（1）除z=0外，級數(shù)處處發(fā)散；（2）對于所有z級數(shù)都收斂，級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂；（3）存在一個正實數(shù)R,使級數(shù)在|z|<R中收斂，在|z|>R中發(fā)散該正實數(shù)R稱為級數(shù)的收斂半徑，以原點為中心，半徑為R的圓盤稱為級數(shù)的收斂圓.對冪級數(shù)來說，它的收斂圓是以z0為中心的圓盤.例4.2

論冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解：級數(shù)的部分和為該級數(shù)的收斂半徑為1，收斂圓為|z|<1且在圓周|z|=1上處處發(fā)散.于是3.收斂半徑的求法定理4.6

若的系數(shù)滿足則(1)當(dāng)時，；(2)當(dāng)時，(處處收斂)；(3)當(dāng)時，R=0(僅有一個收斂點z=0).證明：考慮正項級數(shù)若，由正項級數(shù)的比值判別法知，當(dāng)即時，收斂，從而收斂；當(dāng)，即時，故當(dāng)n充分大時，有，所以，當(dāng)，一般項不能趨于零，級數(shù)發(fā)散，故收斂半徑若，則,對任何z，級數(shù)收斂，從而收斂，即收斂半徑.若，對任意，當(dāng)n充分大時，必有，由此得發(fā)散，故收斂半徑R=0.定理4.7

若冪級數(shù)的系數(shù)滿足則(1)當(dāng)時，；

(2)當(dāng)時，；

(3)當(dāng)時，..

4.冪級數(shù)的運算及性質(zhì)性質(zhì)4.1

若冪級數(shù)和的收斂半徑分別為R1和R2，則冪級數(shù)的收斂半徑不小于，且在內(nèi)有：性質(zhì)4.2

若冪級數(shù)和的收斂半徑分別為R1和R2，則冪級數(shù)的收斂半徑不小于，且在內(nèi)有：例4.3

設(shè)有冪級數(shù)與，求的收斂半徑.解

和的收斂半徑都為1的收斂半徑為.成立的范圍仍為|z|<1，當(dāng)時，等式左邊的兩個級數(shù)都不收斂，所以等式?jīng)]有意義.定理4.8

設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為R，那么(1)它的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)是解析函數(shù).(2)的導(dǎo)數(shù)可通過對其冪級數(shù)逐項求導(dǎo)得到，即

.(3)在內(nèi)可以逐項積分，即其中C為內(nèi)的曲線.例4.4

求出下列冪級數(shù)的和函數(shù).1);2).解：1)故收斂半徑為.同樣和的收斂半徑分別為和

當(dāng)時，有2)故收斂半徑為R=1.在|z|<1內(nèi)取一條連接0和z簡單曲線C，由逐項積分性質(zhì)，得§4.3解析函數(shù)的泰勒展開定理4.9

設(shè)K表示以z0為中心，半徑為r的一個圓，在K內(nèi)解析，則可以在K內(nèi)展開成冪級數(shù)，即

并稱它為在z0的泰勒(Taylor)展開式，上式右端的級數(shù)稱為的泰勒級數(shù).證明：任意取定，再取正數(shù)，使，且

根據(jù)柯希積分公式，得其中對給定的z，證明令，則

.由于在K內(nèi)解析，因此在上連續(xù)，于是在上有界，即存在一個正常數(shù)M，使得所以因為令，則有由z的任意性，故上式在K內(nèi)成立.證展開式的唯一性假設(shè)有展開式令，即得，所以有公式定理4.10

f(z)在z0處解析的充要條件是f(z)在z0的領(lǐng)域內(nèi)有泰勒展式.

設(shè)f(z)在z0處解析且f(z0)=0，則稱z0為f(z)的零點.

性質(zhì)4.3

z0為f(z)的零點的充要條件是f(z)在z0的鄰域內(nèi)可以表示為

其中m為某一正整數(shù)，g(z)在z0處解析且g(z0)0.此時稱z0是f(z)的m級零點.性質(zhì)4.4

z0為f(z)的m級零點的充要條件是但有

性質(zhì)4.5

設(shè)z0為f(z)的零點，且f(z)在z0處任意階導(dǎo)數(shù)都為零，即則存在，使f(z)在內(nèi)恒等于零.

一個不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.常用的初等函數(shù)的泰勒展開式例4.5

把函數(shù)展開成的冪級數(shù).解:§4.4解析函數(shù)的羅朗展開考慮級數(shù)

其中z0和為常數(shù)，z為變量.z-z0的正冪級數(shù)z-z0的負(fù)冪級數(shù)如果在z=z1處，z-z0的正冪級數(shù)和z-z0的負(fù)冪級數(shù)都收斂，就稱z1為級數(shù)

的一個收斂點.不是收斂點的點就稱為該級數(shù)的發(fā)散點.z-z0的正冪級數(shù)，它的收斂范圍是圓盤，且時級數(shù)發(fā)散.z-z0的負(fù)冪級數(shù)，它的收斂半徑為，則當(dāng)時收斂，時發(fā)散.記，于是負(fù)冪級數(shù)當(dāng)時收斂，而時發(fā)散.的收斂集合就取決于r和R.(1)若

，此時正冪級數(shù)和負(fù)冪級數(shù)沒有公共的收斂范圍，故級數(shù)在復(fù)平面上處處發(fā)散.(2)若，此時正冪級數(shù)和負(fù)冪級數(shù)的公共收斂范圍是圓環(huán)，所以級數(shù)在這個圓環(huán)內(nèi)收斂，而在其外部發(fā)散.在其邊界和上級數(shù)可能有收斂點，也可能有發(fā)散點.(3)若，此時級數(shù)在以外的點處處發(fā)散，而在上的點無法直接斷定其收斂性，要根據(jù)具體情況而定.定理4.11

級數(shù)

在其收斂圓環(huán)內(nèi)的和函數(shù)是解析的，而且可以逐項求積分和逐項求導(dǎo)數(shù).例4.6

討論級數(shù)的收斂集，并求和函數(shù)，其中a與b為復(fù)常數(shù).解分別討論負(fù)冪級數(shù)和正冪級數(shù).負(fù)冪級數(shù)當(dāng)，即時收斂，且和函數(shù)為.正冪級數(shù)當(dāng)，即時收斂，且和函數(shù)為當(dāng)時，原級數(shù)收斂且收斂圓環(huán)為，和函數(shù)為當(dāng)時，負(fù)冪級數(shù)和正冪級數(shù)的收斂域沒有公共點，故原級數(shù)發(fā)散.在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)可以展開為級數(shù)：定理4.12

設(shè)在圓環(huán)內(nèi)解析，那么

其中

這里C為圓環(huán)內(nèi)任何一條繞z0的正向簡單閉曲線，且表達式是唯一的.稱為函數(shù)在以z0為中心的圓環(huán)內(nèi)的羅朗(Lanrent)展開式.它的右端稱為在此圓環(huán)內(nèi)的羅朗級數(shù).例4.7

求函數(shù)在下列圓環(huán)內(nèi)的羅朗級數(shù).(1);(2);(3);(4);(5).解將函數(shù)表示成部分分式，有(1)在內(nèi)，由于，因此，(2)在內(nèi)，,,(3)在內(nèi)，有,，(4)在內(nèi)，有(5)在內(nèi)，,所謂羅朗展開式的唯一性，是指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)的羅朗展開式是唯一的.§4.5孤立奇點定義4.4若為函數(shù)的一個奇點，且存在一個去心鄰域,在其中處處解析，則稱z0為f(z)的孤立奇點.設(shè)z0為f(z)的一個孤立點，因為在中解析，f(z)可展成z-z0的羅朗級數(shù)，即(1)級數(shù)中不出現(xiàn)負(fù)冪項，此時稱點z0為f(z)的可去奇點；(2)級數(shù)中只含有有限個負(fù)冪項，則點z0稱為f(z)的極點；(3)級數(shù)中含有無窮多個負(fù)冪項，點z0稱為f(z)的本性奇點.1.可去奇點f(z)在內(nèi)的羅朗級數(shù)實際為一個冪級數(shù)這個冪級數(shù)在圓盤內(nèi)是收斂的，其和函數(shù)為

F(z)在內(nèi)解析.所以不論f(z)原來在z0是否有定義，我們用F(z)來f(z)代替，或令，這樣就把奇點除去了.由于這個原因，所以z0稱為可去奇點.2.極點設(shè)z=z0為函數(shù)f(z)的極點.若f(z)在內(nèi)羅朗展開式為則稱z0為f(z)的m級極點.其中(z)在內(nèi)解析且(z0)0.反之，若有在內(nèi)解析且在z0處函數(shù)值不為零的函數(shù)使得羅朗展開式成立，則容易看出z0為f(z)的m級極點.定理4.13如果z0是f(z)的m級極點，那么z0就是的m級零點.反過來也成立.3.本性奇點定理4.14

如果z0為f(z)的本性奇點，那么對于任意給定的復(fù)數(shù)A，總可以找到一個趨于z0的數(shù)列zn

，使得f(z)的孤立奇點z0的領(lǐng)域中，按可去奇點，極點，本性奇點的順次有(1)有限數(shù)；(2)

(3)不存在.4.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì)如果函數(shù)f(z)是在無窮點z=