有限元基礎(chǔ)及ANSYS應(yīng)用講稿

有限元法基礎(chǔ)與ANSYS

通過介紹有限元法的基本概念、理論、方法與軟件，使學(xué)生能夠掌握使用其求解力學(xué)問題的特點(diǎn)、解題過程，熟悉一種有限元軟件，初步具備使用有限元方法解決工程設(shè)計(jì)中實(shí)際問題的分析能力。

本課程講授目的提綱1緒論2有限元法的基本概念與求解方法3有限元法常用單元介紹4ANSYS軟件介紹與基本使用方法問題與討論附錄：平面問題的基本理論緒論1.1有限元法的一般概念1.2有限元法的發(fā)展簡介1.3有限元法與其他課程之間的關(guān)系有限元法是求解數(shù)理方程的一種數(shù)值計(jì)算方法，是解決工程實(shí)際問題的一種有力的數(shù)值計(jì)算工具，最初這種方法被用來研究復(fù)雜的飛機(jī)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力，是將彈性理論，計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)軟件有機(jī)的結(jié)合在一起的一種數(shù)值分析技術(shù)。由于這一方法的靈活，快速和有效性，是齊迅速發(fā)展成為求解各領(lǐng)域的數(shù)理方程的一種通用的近似計(jì)算方法，目前已在許多學(xué)科領(lǐng)域和工程問題中得到廣泛的應(yīng)用。常用數(shù)值分析方法：差分法，有限元法，邊界元法

有限元法的一般概念有限元法的一般概念將一個(gè)連續(xù)的求解域（連續(xù)體）離散化即分割成彼此用節(jié)點(diǎn)（離散點(diǎn)）互相聯(lián)系的有限個(gè)單元，在單元體內(nèi)假設(shè)近似解的模式，用有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上的未知參數(shù)表征單元的特性，然后用適當(dāng)?shù)姆椒?，將各個(gè)單元的關(guān)系式組合成包含這些未知參數(shù)的代數(shù)方程，得出個(gè)結(jié)點(diǎn)的未知參數(shù)，再利用插值函數(shù)求出近似解。是一種有限的單元離散某連續(xù)體然后進(jìn)行求解得一種數(shù)值計(jì)算的近似方法。由于單元可以被分割各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好的適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀，復(fù)雜的材料特性和復(fù)雜的邊界條件，再加上它有成熟的大型軟件系統(tǒng)支持，使它已成為一種非常受歡迎的，應(yīng)用極廣的數(shù)值計(jì)算方法。有限元法的一般概念單元：分割連續(xù)體的小區(qū)域，有線、面或?qū)嶓w等種類。節(jié)點(diǎn)：連接單元的空間點(diǎn)（由空間坐標(biāo)確定），具有一定自由度。自由度：用于描述一個(gè)物理場（位移）的響應(yīng)特性的參量。結(jié)構(gòu)DOFsROTZUYROTYUXROTXUZ載荷載荷節(jié)點(diǎn)單元有限元法的一般概念J節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn)

單元類型變化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZ三維梁單元二維或軸對稱實(shí)體單元UX,UY三維四邊形殼單元UX,UY,UZ,三維實(shí)體熱單元TEMPJPOMNKIL三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ有限元法的一般概念節(jié)點(diǎn)編號(hào)節(jié)點(diǎn)編號(hào)分為局部節(jié)點(diǎn)編號(hào)和總體節(jié)點(diǎn)編號(hào)兩種，如下圖中的矩形，分為５個(gè)節(jié)點(diǎn)，４個(gè)單元，其中１，２，３，４，５為總體節(jié)點(diǎn)編號(hào)。而對于任一單元中，２，５，３為局部節(jié)點(diǎn)編號(hào)，在公式推導(dǎo)中使用i，j，m編號(hào)。單元編號(hào)按從小到大順序依次排列。有限元法的發(fā)展簡介50年代，發(fā)展與萌生，單一功能程序，簡單單元；60年代，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與證明，單一功能程序，多種單元；70年代，單元庫豐富，線性到非線性通用程序，如SAP，NONSAP等；80年代，多種功能擴(kuò)大，大型通用程序如ADINA等；90年代，領(lǐng)域擴(kuò)大，前后處理功能增強(qiáng)，大型商用軟件，如ANSYS、MARC、NASTRAN等；目前，面向工程，與CAD結(jié)合成為CAE（計(jì)算機(jī)輔助工程）軟件。說明：有限元法的發(fā)展與計(jì)算機(jī)學(xué)科的發(fā)展緊密相關(guān)。有限元法的發(fā)展簡介現(xiàn)有有限元軟件的計(jì)算功能與應(yīng)用可求解結(jié)構(gòu)位移場、溫度場、電磁場、流場、耦合場等多種問題。有限元法的發(fā)展簡介現(xiàn)有有限元軟件的計(jì)算功能與應(yīng)用可求解結(jié)構(gòu)位移場、溫度場、電磁場、流場、耦合場等多種問題。有限元法與其他課程的關(guān)系有限元法與其他課程的關(guān)系材料力學(xué)：研究桿狀構(gòu)件在拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)作用下的應(yīng)力和位移。其中引入了構(gòu)件形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假設(shè)。結(jié)構(gòu)力學(xué)：在材料力學(xué)基礎(chǔ)上研究桿狀構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)（桿件系統(tǒng)），例如行架等的應(yīng)力與位移。彈性力學(xué)：針對非桿狀結(jié)構(gòu)（如板和水壩等實(shí)體結(jié)構(gòu)）以及對桿狀構(gòu)件作進(jìn)一步較精確的分析。以微元體為研究對象，通過建立應(yīng)力、形變與位移間的關(guān)系進(jìn)行求解。計(jì)算力學(xué)：是結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)學(xué)的結(jié)合，提供近似的數(shù)值計(jì)算方法解決問題。有限元法是其中的一種方法。上述各種方法最終目標(biāo)是確立研究對象的應(yīng)力、形變和位移，用以校核其是否有所需要的強(qiáng)度和剛度。有限元法的基本概念與求解方法2.1結(jié)構(gòu)離散化與剛度矩陣2.2位移函數(shù)與形函數(shù)2.3單元?jiǎng)偠确匠?.4載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷2.5結(jié)構(gòu)剛度方程2.6位移邊界條件的處理2.7應(yīng)力計(jì)算2.8有限元法的普遍公式2.9有限元方程組的解法結(jié)構(gòu)離散化與剛度矩陣結(jié)構(gòu)離散化：

1）網(wǎng)格劃分將結(jié)構(gòu)劃分為有限個(gè)單元；

2）載荷移置將作用在結(jié)構(gòu)上的非節(jié)點(diǎn)載荷等效地移置為節(jié)點(diǎn)載荷；

3）簡化約束把結(jié)構(gòu)邊界上的約束，用適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)約束代替。結(jié)構(gòu)離散化與剛度矩陣有限元網(wǎng)格劃分原則有限元中單元的網(wǎng)格剖分原則１）各節(jié)點(diǎn)必須相連。如圖所示中（a）是正確的，而（b）是錯(cuò)誤的。結(jié)構(gòu)離散化與剛度矩陣有限元網(wǎng)格劃分原則

信息是通過單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞

.....AB...1node...AB...2nodes結(jié)構(gòu)離散化與剛度矩陣有限元網(wǎng)格劃分原則２）單元不能奇異，也就是單元中的邊長不能相差太大，或者有過大的鈍角或過小的銳角，如圖示：結(jié)構(gòu)離散化與剛度矩陣有限元網(wǎng)格劃分原則３）單元的大小、數(shù)目取決于計(jì)算精度要求和計(jì)算容量限制分網(wǎng)時(shí)首先滿足計(jì)算精度的要求，同時(shí)可利用結(jié)構(gòu)的對稱性、循環(huán)對稱性的特點(diǎn)，從厚結(jié)構(gòu)中取出一部分進(jìn)行分析，或者對有應(yīng)力集中的構(gòu)件，采用疏密不同的網(wǎng)格剖分。也可以采用子結(jié)構(gòu)法。４）同一單元內(nèi)的結(jié)構(gòu)，幾何特性與材料特性相同，也就是不要把厚度不同或材料不同的區(qū)域劃分在同一個(gè)單元里。結(jié)構(gòu)離散化與剛度矩陣網(wǎng)格劃分示例結(jié)構(gòu)離散化與剛度矩陣結(jié)構(gòu)離散化與剛度矩陣剛度矩陣描述單元特性的矩陣，表示了單元抵抗變形的能力。它由剛度系數(shù)組成，由單元節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)和自由數(shù)決定規(guī)模。如圖平面三角形三節(jié)點(diǎn)單元中，有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有2個(gè)自由度，故剛陣中的元素個(gè)數(shù)為36個(gè)。剛度系數(shù)Kij

相當(dāng)于一維彈簧的剛度K的含義。即產(chǎn)生單位位移時(shí)需要的作用力的大小。

結(jié)構(gòu)離散化與剛度矩陣位移函數(shù)結(jié)構(gòu)離散化后，要對單元進(jìn)行力學(xué)特性分析，也就是確定單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，這時(shí)就需要把單元內(nèi)的任一點(diǎn)的位移分量表示成坐標(biāo)的某種函數(shù)。這種函數(shù)就叫位移函數(shù)。位移函數(shù)與形函數(shù)位移函數(shù)的一般介紹１.定義：把單元中任一點(diǎn)的位移分量與坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系叫位移函數(shù)或叫位移模式。２.選擇位移函數(shù)的原因（１）決定了單元的力學(xué)特性。（意義）（２）反映了單元的位移形態(tài)。（物理意義）（３）它是利用位移法求解問題的開始。（基礎(chǔ)）３.位移函數(shù)必須具備的條件（１）在節(jié)點(diǎn)上的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)的位移（２）所采用的函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解位移函數(shù)與形函數(shù)位移函數(shù)的一般形式位移函數(shù)一般為多項(xiàng)式形式，這樣處理是從兩方面出發(fā)的（１）進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算（如微分，積分）較簡單（２）任意階次的多項(xiàng)式可以近似地表示精確解，其一般形式為：

u=u(x,y)=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+…+myn

v=

v(x,y)=m+1+m+2x+…+2myn

（２-１）式中:,其中1…２m為待定系數(shù)。式中的也稱為廣義坐標(biāo)，這種描述方式又稱為廣義坐標(biāo)形式。（一維形式多項(xiàng)式u(x)=1+2x+３x2+…+n＋１xn）位移函數(shù)與形函數(shù)位移函數(shù)的一般形式（２-１）式也可以參照帕斯卡三角形來確定位移函數(shù)與形函數(shù)三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)１.位移函數(shù)形式就是最簡單的情況而言，可以選取位移為坐標(biāo)的線性函數(shù)形式，也就是：

u(x,y)=1+2x+3y

v(x,y)=4+5x+6y（２-２）對于圖中的三角形單元，為了確定（２-２）式中的待定系數(shù)16，可以將節(jié)點(diǎn)i，j，m的位移值及坐標(biāo)值代入上式，得到方程組：

ui=1+2xi+3yi

vi=4+5xi+6yi

（i=i，j，m）（２-３）式中ui，vi——節(jié)點(diǎn)位移xi，yi——節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

位移函數(shù)與形函數(shù)三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)這是一個(gè)一階線性方程組，可使用克來姆法則求解。位移函數(shù)與形函數(shù)三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)２.克來姆法則設(shè)有一線性方程組：

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…………

an1x1+an2x2+…+annxn=bn

（a11ann系數(shù)）當(dāng)其系數(shù)行列式不等于零時(shí)

上述的方程組有唯一解：（j＝１，２…n）

其中是將Ａ中第j列元素替換為右端項(xiàng)而得到的行列式位移函數(shù)與形函數(shù)三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)３.待定系數(shù)1…６的求解如果用節(jié)點(diǎn)位移（ui,vi）,（uj,vj）,（um,vm）及節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)（xi,yi）,（xi,yi）,（xi,yi）代入（2-3）式可以得到：

ui=1+2xi+3yiuj=1+2xj+3yjum=1+2xm+3ym

vi=4+5xi+6yivj=4+5xj+6yjvm=4+5xm+6ym位移函數(shù)與形函數(shù)三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)由克來姆法則可知：當(dāng)20，上述方程有唯一解：位移函數(shù)與形函數(shù)三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)為了描述方便，引入系數(shù)

ai=xjym-xmyjbi=yj

-ymci=-xj

+xmaj=xmyi-xiymbj=ym

-yicj=-xm

+xiam=xiyj-xjyjbm=yi

-yjcm=-xi

+xj位移函數(shù)與形函數(shù)三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)代入上式后可以得到位移函數(shù)與形函數(shù)三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)４.位移函數(shù)的插值函數(shù)形式假設(shè)這樣一個(gè)函數(shù)：

(i=i,j,m)代入（２-３）式后可得

u=Ｎiui+Ｎjuj+Ｎmum

v=Ｎivi+Ｎjvj+Ｎmvm式中：Ｎi，Ｎj，Ｎm被稱為單元的形狀函數(shù)，簡稱形函數(shù)或插值函數(shù)。位移函數(shù)與形函數(shù)三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)把（２-６）式寫成矩陣形式：簡寫為：f=Ne

（２-８）位移函數(shù)與形函數(shù)三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)式中的矩陣Ｎ反映了單元的位移形態(tài)，又是坐標(biāo)的函數(shù)，我們稱之為形函數(shù)矩陣，這種描述方式稱為位移函數(shù)的插值函數(shù)形式。通過上面的推導(dǎo)，我們得到了兩種形式的位移函數(shù)，（２-８）式與（２-２）式后一種描述更簡單，更直觀，通常采用。這樣我們就建立了單元中任一點(diǎn)的位移和單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。位移函數(shù)與形函數(shù)位移函數(shù)及其性質(zhì)當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移一定時(shí)，單元形態(tài)完全決定于Ｎi，Ｎj

，Ｎm這時(shí)形函數(shù)就具有如下的性質(zhì)：１.形函數(shù)Ｎi在節(jié)點(diǎn)i處的值為１，而在其他兩個(gè)節(jié)點(diǎn)（j，m）處的值為零。即：Ｎi

（xi

，yi

）=1而Ｎi

（xj

，yj

）=Ｎi

（xm

，ym

）=0同樣的Ｎj

（xi

，yi

）=0Ｎj

（xj，yj

）=1Ｎi

（xm

，ym

）=0Ｎm

（xi

，yi

）=0Ｎm

（xj，yj

）=0Ｎm

（xm

，ym

）=1

位移函數(shù)與形函數(shù)位移函數(shù)及其性質(zhì)２.在單元任一節(jié)點(diǎn)處，三個(gè)形函數(shù)之和等于１。證明如下：Ｎi（x，y）+Ｎj（x，y）+Ｎm（x，y）

=（ai+bix+ciy+aj+bjx+cjy+am+bmx+cmy）／（２）

=[（ai+aj+

am）+（bi+bj+

bm）x+（ci+cj+

cm）y]／（２）

=（２+0+0）/（２）

=1此外，形函數(shù)與位移函數(shù)是同樣類型的函數(shù)。如：位移函數(shù)u=1+2x+3y

形函數(shù)Ｎi=（ai+bix

+

ciy）／（２）

位移函數(shù)與形函數(shù)位移函數(shù)與解的收斂性選擇位移函數(shù)時(shí)，為保證有限元法的收斂性，必須滿足以下４個(gè)條件：１.位移函數(shù)必須包含單元的常量應(yīng)變２.位移函數(shù)必須包含單元的剛體位移３.位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須是連續(xù)函數(shù)（連續(xù)性要求）４.位移函數(shù)應(yīng)使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（保續(xù)性要求）上述四個(gè)條件中，若全部滿足，這樣的位移函數(shù)構(gòu)成的單元稱為協(xié)調(diào)單元，若只滿足前三條，則稱為非協(xié)調(diào)單元位移函數(shù)與形函數(shù)位移函數(shù)與解的收斂性下面我們用以下四個(gè)條件來考察三角形常應(yīng)變單元的位移函數(shù)（１）由=[x,y,xy]T=[2,6,5+

3]T因2,6,5+

3都是常數(shù)，與某坐標(biāo)無關(guān)，因此含有常應(yīng)變項(xiàng)（２）將位移函數(shù)可改寫成位移函數(shù)與形函數(shù)位移函數(shù)與解的收斂性當(dāng)發(fā)生剛體位移時(shí)：x=x=xy=0也就是2=

6=5+

3=0這時(shí)：其中u0

,v0為平動(dòng)位移分量。

0為單元繞垂直于x，y平面的軸線作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角位移，它表示了剛體位移。位移函數(shù)與形函數(shù)位移函數(shù)與解的收斂性（３）位移函數(shù)（２-２）或是x，y的單值連續(xù)函數(shù)，故滿足連續(xù)性要求。（４）位移函數(shù)（２-２）式是線性函數(shù)，由于相鄰單元在公共節(jié)點(diǎn)處的位移值相等，而通過兩個(gè)節(jié)點(diǎn)可以連成一直線，其連線上的位移相同，因此邊界上各點(diǎn)的位移是連續(xù)的，不會(huì)出現(xiàn)：綜上所述，三角形常應(yīng)變單元屬于協(xié)調(diào)元位移函數(shù)與形函數(shù)面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)是利用三角形的面積關(guān)系表示三角形單元任一點(diǎn)位置的一種方法。優(yōu)點(diǎn)：簡明，方便。位移函數(shù)與形函數(shù)面積坐標(biāo)對于圖中三角形單元任一點(diǎn)P（x,y）可用下三個(gè)比值來確定：Li,Lj,Lm

稱為P點(diǎn)的面積坐標(biāo)，顯然面積坐標(biāo)具有以下性質(zhì)：性質(zhì)１.

Li+Lj+Lm=1（i+j+m=）性質(zhì)２.平行于三角形jm邊的直線上所有點(diǎn)其Li相同

AB變化時(shí)，hi’不變,故i不變，Li

不變位移函數(shù)與形函數(shù)面積坐標(biāo)性質(zhì)３.

Li=1

Lj=0

Lm=0（i）

Li=0

Lj=1

Lm=0（j）

Li=0

Lj=0

Lm=1（m）性質(zhì)４.

Li=Lj=Lm=1/3在三角形形心處面積坐標(biāo)與形函數(shù)的關(guān)系：位移函數(shù)與形函數(shù)面積坐標(biāo)同理：Lj=Nj

，Lm=Nm

所以，面積坐標(biāo)與形函數(shù)相同（量值）但意義不同位移函數(shù)與形函數(shù)單元?jiǎng)偠确匠虒卧M(jìn)行力學(xué)特性分析目的在于確定單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，并稱之為單元?jiǎng)偠确匠蹋海薳e=Ｆe式中：Fe，e——單元節(jié)點(diǎn)力及節(jié)點(diǎn)位移列陣

Ｋe——單元?jiǎng)偠染仃嚮痉椒▎卧獎(jiǎng)偠确匠袒痉椒ń⑸鲜龇匠虝r(shí)可采用的方法（１）直接剛度法（２）虛位移原理或最小勢能原理——位移型有限元（３）余虛功原理或最小余能原理——力型有限元（４）變分法（非結(jié)構(gòu)問題）單元?jiǎng)偠确匠袒痉椒▎卧匦苑治龅牟襟E（１）假設(shè)位移函數(shù) （２）建立應(yīng)力，應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系（３）由能量原理，建立單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系（４）得到單元?jiǎng)傟噯卧獎(jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ǎ保┥瞎?jié)的知識(shí)可以知道位移函數(shù)為：

u=Ｎiui+Ｎjuj+Ｎmum

v=Ｎivi+Ｎjvj+Ｎmvm式中Ｎi=（ai+bix

+

ciy）／（２）（i=i,j,m）（２）應(yīng)力應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系對三節(jié)點(diǎn)三角形單元，節(jié)點(diǎn)位移e=[ui,vi,uj,vj,um,vm]T

Fe=[Fix,Fiy,Fjx,Fjy,Fmx,Fmy]T

單元?jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃囉蓮椓χR(shí)可知，幾何方程為：單元?jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚵睿海?[Bi,Bj,Bm]且（i=i,j,m）方程可簡寫為：=Ｂe單元?jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃囄覀兎QＢ——單元的幾何矩陣，其物理意義反映了單元任一點(diǎn)的應(yīng)變與單元位移之間的關(guān)系。對于一個(gè)給定的單元，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)一定，系數(shù)bi，ci也隨之確定，

也為常數(shù)，所以幾何矩陣為常量矩陣，這也證明３節(jié)點(diǎn)三角形單元是一種常應(yīng)變單元。由彈性理論中關(guān)于平面問題的物理方程可知，當(dāng)不考慮變溫影響時(shí)，單元中任一點(diǎn)的應(yīng)力為:

=D式中Ｄ為彈性矩陣，反映了單元材料方面的特性。單元?jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃囉缮厦鎽?yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系代入后可得=D=DBe若令S=DB則=Se式中，S——稱為單元的應(yīng)力矩陣物理意義：反映了單元中任一點(diǎn)的應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，對于３節(jié)點(diǎn)三角形單元D，B為常量矩陣，S也為常量矩陣，這種常應(yīng)變單元，也是一種常應(yīng)力單元，回顧一下，平面應(yīng)力問題：單元?jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚩鴮τ谄矫鎽?yīng)變問題如果采用：代入單元?jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃噧煞N問題具有相同的描述形式，只是對材料的彈性模量與泊松比進(jìn)行相應(yīng)的代換，則在計(jì)算中可以采用同樣形式的彈性矩陣。（３）單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系在位移型有限元法中，對單元的力學(xué)特性分析，最終是需要建立節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系，也就是確定單元的剛度矩陣。應(yīng)用虛位移原理來建立這種關(guān)系式。設(shè)某單元發(fā)生一虛位移，則該單元各節(jié)點(diǎn)上的虛位移為＊e，相應(yīng)地單元內(nèi)任一點(diǎn)處的虛應(yīng)變?yōu)椋海?。根?jù)與間的關(guān)系有：＊=B＊e單元?jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃囘@時(shí)單元體在節(jié)點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)，根據(jù)虛位移原理，當(dāng)虛位移發(fā)生時(shí)節(jié)點(diǎn)力在虛位移上所做的功等于單元的虛應(yīng)變能，即：式中：Ｖe為單元的體積，上式稱為單元的虛功方程。把=DBe和＊=B＊e代入上式得由于節(jié)點(diǎn)位移e及節(jié)點(diǎn)虛位移＊e均為常量，提出積分外，有：單元?jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃囘M(jìn)一步可得：令：則上式可寫為求得了我們所要的形式的方程，稱之為單元?jiǎng)偠确匠?，式中的Ｋe稱為單元的剛度矩陣，反映了節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。同樣，可采用最小勢能原理來建立單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。我們得到的單元?jiǎng)偠染仃嚕薳是普遍公式，適用于各種類型的單元，對于三角形常應(yīng)變單元的具體表達(dá)式見下。單元?jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ǎ矗┤切纬?yīng)變單元?jiǎng)偠染仃嚨娘@式：由于普遍公式中，Ｂ，Ｄ均為常量矩陣，可以提出積分符號(hào)，而dＶ是單元的微元體體積且dＶ=tdxdy式中t為單元的厚度，同一單元，厚度t為常數(shù)，故單元體積（為單元的面積）普遍公式就可寫為：為了便于計(jì)算利用B=[BiBjBm]將上式展開

單元?jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠确匠淌街凶觿傟嚍椋篕rs

=tBrTDBs

（r,s=i,j,m）三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

Krs是一個(gè)２２階矩陣，因此三角形常應(yīng)變單元的剛度方程為６６的方程，也就是單剛階數(shù)＝單元的自由度數(shù)。對與平面應(yīng)力問題：

將：B=[BiBjBm]及代入單元?jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

（r,s=i,j,m）單元?jiǎng)偠确匠倘切纹矫鎲卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚭唽憺椋合鄳?yīng)的：單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)（１）單元?jiǎng)偠染仃囀菍ΨQ矩陣（２）單元?jiǎng)偠染仃嚨闹鲗窃睾銥檎担ǎ常﹩蝿倿槠娈愱嚕ǎ矗﹩卧獎(jiǎng)偠葍H與單元的幾何特性（Ｂ）及材料特性有關(guān)（Ｄ）而與外力無關(guān)。上述四條性質(zhì)，與桿系的單剛性質(zhì)相同單元?jiǎng)偠确匠蹋?由于在進(jìn)行有限元分析中，單元和單元之間僅通過節(jié)點(diǎn)相互聯(lián)系當(dāng)外載不是直接作用在節(jié)點(diǎn)上，那么需要將非節(jié)點(diǎn)載荷向節(jié)點(diǎn)移置，也就是真實(shí)外載（理想化）節(jié)點(diǎn)上的集中載荷移置后的載荷稱之為等效節(jié)點(diǎn)載荷。非節(jié)點(diǎn)載荷移置載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷非節(jié)點(diǎn)載荷移置２.結(jié)構(gòu)的非節(jié)點(diǎn)載荷移置將各單元所受的非節(jié)點(diǎn)外載荷分別移置到各單元的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上，在公共節(jié)點(diǎn)處應(yīng)用載荷疊加原理，就可以得出３.載荷移置的原則——能量等效的原則單元的實(shí)際載荷與移置后的等效節(jié)點(diǎn)載荷在相應(yīng)的虛位移上所做的虛功相等。４.單元載荷移置的方法（１）直接法：利用能量等效原則，直接進(jìn)行單元載荷移置＊只適用于線性位移函數(shù)的單元載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷非節(jié)點(diǎn)載荷移置（２）普遍公式法：根據(jù)能量等效原則，推導(dǎo)出普遍公式＊適用于各種類型的單元說明：由圣維南原理可知，載荷移置后，只會(huì)在結(jié)構(gòu)的局部產(chǎn)生誤差。對整個(gè)結(jié)構(gòu)的變形或應(yīng)力狀態(tài)的影響不大，由于有限元分析中，單元一般都很小，移置的結(jié)果不會(huì)帶來很大的誤差。載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷載荷移置的普遍公式１.集中力Ｐ的移置公式：設(shè)（１）單元i,j,m中任意一點(diǎn)（x，y）作用集中載荷P=[Px，Px]Ｔ

（２）各節(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)載荷向量為：

Re=[Rix,Riy,Rjx,Rjy,Rmx,Rmy]Ｔ（３）發(fā)生微小位移時(shí)，集中力作用點(diǎn)相應(yīng)的虛位移為：

f*=[u,v]Ｔ（４）各節(jié)點(diǎn)相應(yīng)的虛位移為：*e=[ui*,vi*,

uj*,

vj*,

um*,vm*]載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷載荷移置的普遍公式推導(dǎo)：（１）根據(jù)單元內(nèi)位移與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系f=[u,v]Ｔ=Nef*=N*eP（２）根據(jù)能量等效原則：*eＴRe=f*ＴP*eＴRe=(N*e)

ＴP=*eＴNＴPRe=NＴP這就是集中力Ｐ的移置公式，式中Ｎ為單元的形函數(shù)矩陣。載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷載荷移置的普遍公式２.體力g的移置公式設(shè)：單元ijm上作用有體力g=[gx,gy

]Ｔ推導(dǎo)（１）將單元體tdxdy上的體積力gdxdy當(dāng)作集中力，應(yīng)用集中力的移置公式Re=NＴP有微元體上

dRe=NＴgtdxdy

（２）積分在整個(gè)單元上有

Re=

NＴgtdxdy=

t

NＴgdxdy載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷載荷移置的普遍公式3.表面力q的移置公式設(shè)單元ijm的jm邊上作用有表面力q=[qx，qy]Ｔ可將微元面積上tds上的面力qtds當(dāng)作集中力則Re=

sjmdRe

=

sjm

qtds=

tsjm

qds上述公式適用于任何單元及任意坐標(biāo)方向。載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷載荷移置舉例以單元自重（或作用在單元形心處的集中力）為例。設(shè)一個(gè)均質(zhì)等厚的三角形單元ijm，其厚度為t，面積為，材料比重為，則單元的自重為：W=t,且其作用在單元形心c處載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷載荷移置舉例思路：（１）欲求哪個(gè)節(jié)點(diǎn)在哪個(gè)方向上的載荷分量，就在該方向加一單位虛位移，其他自由度為０。（２）利用線性位移函數(shù)的特點(diǎn)導(dǎo)出幾何關(guān)系。（３）根據(jù)能量等效原則列出虛功相等，解出節(jié)點(diǎn)載荷分量載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷載荷移置舉例１.直接法求解先求，i在y方向的等效節(jié)點(diǎn)載荷設(shè)

vi*=1

而ui*=uj*=

vj*=

um*=vm*=0相當(dāng)于上圖由于，單元具有線性位移函數(shù)，當(dāng)vi*=1時(shí)變形情況見上圖

jm邊不動(dòng)，點(diǎn)b亦不動(dòng)，由幾何關(guān)系可知：

載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷載荷移置舉例又根據(jù)能量等效原則：

式中“－”號(hào)表示與y軸方向相反

同理可得：載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷載荷移置舉例類似可以得出：各節(jié)點(diǎn)沿x方向的等效節(jié)點(diǎn)載荷Rix=Rjx=Rmx=0

Re=[Rix,Riy,Rjx,Rjy,Rmx,Rmy]T=-t[010101]T/3上式也表明對三角形單元（均厚，等厚）所受重力，只需將自重平均的移置到３節(jié)點(diǎn)上，方向與重力方向相同。載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷載荷移置舉例２.普遍公式法求解對于此處為集中力P=[0-W]T作用在形心c處由Re=NTP 可知載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷載荷移置舉例可以證明：在三角形形心c處，有Ni=Nj=Nm=1/3代入上式可得

Re=-W[010101]T/3=-t[010101]T/3可見采用上述兩種方法移置的結(jié)果相同說明：單元具有線性位移函數(shù)時(shí)，采用直接法移置較簡單單元具有非線性位移函數(shù)時(shí)，只能采用普遍公式法進(jìn)行。載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷結(jié)構(gòu)剛度方程通過單元特性分析，可建立單元?jiǎng)偠染仃嘖e同時(shí)得到單元?jiǎng)偠确匠蘇ee=Fe

通過單元載荷移置，可建立節(jié)點(diǎn)載荷列陣Re

集合成結(jié)構(gòu)剛度方程的三個(gè)方面的內(nèi)容是：（１）單元的節(jié)點(diǎn)位移e結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移列陣（２）單元的節(jié)點(diǎn)載荷列陣Re結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣R

（３）單元的單剛Ke結(jié)構(gòu)的總剛K

得到K=R（2-45）結(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程

上為結(jié)構(gòu)剛度方程，表示了節(jié)點(diǎn)載荷與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系，是一個(gè)以節(jié)點(diǎn)位移為未知量的線形代數(shù)方程組，可求得，進(jìn)一步求出應(yīng)變，應(yīng)力。結(jié)構(gòu)剛度方程集合的基本原則（１）在相互連接的公共節(jié)點(diǎn)處，各單元的節(jié)點(diǎn)位移必須相等，即必須滿足變形協(xié)調(diào)條件。i=i

=i

=i

所以，節(jié)點(diǎn)位移不須按單元來區(qū)分。結(jié)構(gòu)剛度方程集合的基本原則（２）公共節(jié)點(diǎn)處，各單元對節(jié)點(diǎn)的作用力，與作用在該節(jié)點(diǎn)上的外載荷Ri之間，必須滿足靜力平衡條件。

Ri=Fi+Fi

+Fi

+Fi所以，若Ri=0，則有Fi+Fi

+Fi

+Fi=0結(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程的建立例：1.結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移列陣根據(jù)公共節(jié)點(diǎn)處的變形協(xié)調(diào)條件，不同單元在公共節(jié)點(diǎn)處的位移相等，則有節(jié)點(diǎn)位移列陣]=[1

234]T=[u1

v1

u2

v2

u3

v3

u4

v4]T

（按總體節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序?qū)懗觯┙Y(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程的建立2.結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣：（1）若存在非節(jié)點(diǎn)載荷，須進(jìn)行單元載荷移置，并按移置后的等效節(jié)點(diǎn)載荷進(jìn)行疊加即：Ri=[Rix

Riy]T=Ri++

+……

（2）不考慮約束反力的作用（3）與節(jié)點(diǎn)位移相對應(yīng)，結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣R亦按總體節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序排列那么，對于上例

R=[R1

R2R3R4]T=[000.5P00.5P000]T結(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程的建立

式中約束反力R1=R4=[0

0

00]T3.結(jié)構(gòu)剛度方程

3節(jié)點(diǎn)三角形單元的自由度數(shù)為6，單剛Ke為66階矩陣。

總體K由單剛Ke組合而成總剛K的階數(shù)=結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)對于圖示的例子，4個(gè)節(jié)點(diǎn)，共8個(gè)自由度，結(jié)構(gòu)剛度矩陣為88的方陣。把圖中的兩個(gè)單元離散開為：結(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程的建立

圖中，數(shù)字為總體節(jié)點(diǎn)編號(hào)1，2，3，4字母i,j,m為局部節(jié)點(diǎn)編號(hào)。結(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程的建立對應(yīng)關(guān)系，單元i,j,m1，2，3

單元i,j,m1，3，4則單元的節(jié)點(diǎn)力列陣為：F

=[F1xF1yF2x

F2y

F3x

F3y

]T

=[F1F2

F3]T單元節(jié)點(diǎn)力列陣為：F

=[F1

F3

F4

]T由節(jié)點(diǎn)i處的靜力平衡條件可知R1=F1+F1

R2=F2

R3=F3+F3

R4=F4（2-49）結(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程的建立上式中：Ri=[Rix

Riy]T

，F(xiàn)i=[Fix

Fiy]T

（i=1,2,3,4）又Fe=Kee對于單元有：F1=K11

1

+K12

2+K13

3

F2=K21

1

+K22

2+K23

3

F3=K31

1

+K32

2+K33

3

對于單元有：F1

=K11

1

+K13

3+K14

4

F2

=K31

1

+K33

3+K344

F3

=K41

1

+K43

3+K444結(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程的建立代入2-49式

R1=F1+F1

=（K11

+K11）1

+K12

2+（K13

+K13）3

+K144R2=F2=K21

1

+K22

2+K23

3

R3=F3+F3=（K31

+K31）1

+K32

2+（K33

+K33）3

+K344R4=F4=

K411

+K433

+K444

可把上式寫成矩陣形式，并進(jìn)一步簡寫為：K

=R稱為結(jié)構(gòu)剛度方程。表示了結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷R與節(jié)點(diǎn)位移列陣之間的關(guān)系。

K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣或總體剛度矩陣，簡稱總剛。

結(jié)構(gòu)剛度方程形成總剛的常用方法

上面是通過節(jié)點(diǎn)的平衡關(guān)系導(dǎo)出結(jié)構(gòu)剛度方程的，這種做法優(yōu)點(diǎn)在于力學(xué)概念明確。缺點(diǎn)：繁瑣不便于程序?qū)崿F(xiàn)。所以通常采用下面的兩種方法：

1.按單元形成總剛做法：A.先將總剛充0，階數(shù)為44，按節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)剛度方程形成總剛的常用方法B.從單元開始，計(jì)算單剛Ke，送入總剛相應(yīng)位置，然后進(jìn)行下一個(gè)單元。結(jié)構(gòu)剛度方程形成總剛的常用方法2.按節(jié)點(diǎn)形成總剛A.方法同前，總剛充零。B.從節(jié)點(diǎn)1開始，檢查該節(jié)點(diǎn)與哪幾個(gè)節(jié)點(diǎn)相鄰確定總剛的元素Krs。并與哪幾個(gè)單元相聯(lián)系確定元素Krs由幾個(gè)單元相加,Krs+C.重復(fù)上述工作，直到最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)。即同樣就得到了總剛，即結(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程總剛的性質(zhì)及其應(yīng)用1.總剛為對稱方陣單剛對稱陣疊加后總剛也必然對稱應(yīng)用：在程序設(shè)計(jì)中只需存儲(chǔ)上三角或下三角的元素2.總剛是奇異矩陣物理：沒有約束，存在剛體位移數(shù)學(xué)：不存在逆矩陣

只有引入位移邊界條件后，消去奇異性成為正定矩陣才能求解。結(jié)構(gòu)剛度方程總剛的性質(zhì)及其應(yīng)用3.總剛是稀疏矩陣

每個(gè)節(jié)點(diǎn)只與少數(shù)幾個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)

存在大量的元素

是有大量0元素的稀疏矩陣結(jié)構(gòu)剛度方程總剛的性質(zhì)及其應(yīng)用

兩種結(jié)構(gòu)的總體節(jié)點(diǎn)編號(hào)方式，使總剛元素的排列方式不同，計(jì)算表明用帶狀稀疏矩陣，可節(jié)省計(jì)算存儲(chǔ)量，提高計(jì)算效率。

在編號(hào)時(shí)，應(yīng)使同一單元節(jié)點(diǎn)號(hào)比較接近，最大節(jié)點(diǎn)號(hào)差盡可能小結(jié)構(gòu)剛度方程總剛的性質(zhì)及其應(yīng)用4.總剛僅與結(jié)構(gòu)的尺寸，幾何形狀及材料性能有關(guān)，與外載無關(guān)。利用這一性質(zhì)，可先計(jì)算總剛，再考慮外載的作用結(jié)構(gòu)剛度方程位移邊界條件的處理對于結(jié)構(gòu)剛度方程：K=RK為奇異陣的解不唯一因此，就必須引入位移邊界條件，以消除K的奇異性數(shù)學(xué)：唯一解的必要條件物理：限制剛體位移下面介紹常用的幾種方法位移邊界條件的處理總剛的奇異性對于結(jié)構(gòu)而言，其結(jié)構(gòu)剛度方程為：位移邊界條件的處理總剛的奇異性位移邊界條件的處理總剛的奇異性由于結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，所以：將（2-51）式中代入上式：并將兩式相加：位移邊界條件的處理總剛的奇異性

對任意的vi，ui上式恒等于0，因此其系數(shù)分別等于0

即：由對稱性可知：上式表示了總剛中各行元素之和均為零，即K對應(yīng)的行列式的各行線性相關(guān)，根據(jù)行列式的性質(zhì)：“若行列式的各行線性相關(guān)，或某一行是其余各行的線性組合，則行列式=0”

有：總剛是奇異矩陣位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法

由于K和R中的各元素均已按照一定的順序分別存儲(chǔ)在相應(yīng)的數(shù)組中，在對K及R處理時(shí)，應(yīng)盡量不打亂原有的存儲(chǔ)順序，并希望處理的元素越少越好。常用的方法有3種。1.降階法：降低結(jié)構(gòu)剛度方程階次的方法若結(jié)構(gòu)剛度方程為：K=R

在節(jié)點(diǎn)位移中，令A(yù)——未知位移，B已知位移，利用矩陣分塊：位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法式中RB為未知載荷，并按第一行展開：

KAAA+KABB=RA

令則：（階次比K=RA低）若B為零位移，則上式變?yōu)椋荷鲜较喈?dāng)于在原結(jié)構(gòu)剛度方程中，將與零位移約束對應(yīng)的行與列劃去得到，由該式可以解出未知位移A

采用計(jì)算機(jī)解題時(shí)，降階會(huì)打亂原K及R的存儲(chǔ)順序，且需重新安排KAA，RA及A在程序設(shè)計(jì)中一般不采用位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法2.對角置一法：對結(jié)構(gòu)剛度方程位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法已知位移邊界條件：，將其引入剛度方程。為了不改變列數(shù)，處理第i列諸元素。位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法為了改變行數(shù)，對第i行處理，使其體現(xiàn)位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法

對于平面問題，只要進(jìn)行三次即可使k成為非奇異陣，故可求出待解位移。位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法3.對角元乘大數(shù)法若：對第i行的主對角元Kii乘以一個(gè)大數(shù)，如1020，并將對應(yīng)的Ri改為：其它各行元素均保持不變。這樣將第i行展開得到：同除1020得：位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法若則在Kii處乘以大數(shù)，Ri處置零即可這種方法應(yīng)用的最為普遍。位移邊界條件的處理基本公式

由結(jié)構(gòu)剛度方程解出后可得到用e單元內(nèi)應(yīng)變、應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系。就可得出單元中任一點(diǎn)處的應(yīng)變與應(yīng)力：當(dāng)不考慮溫度影響時(shí)：或者=Be

（B幾何矩陣）應(yīng)力計(jì)算

由彈性力學(xué)可知：

代入上式根據(jù)上式就可得出單元中任一點(diǎn)的應(yīng)力?；竟綉?yīng)力計(jì)算1.變溫等效節(jié)點(diǎn)載荷：設(shè)彈性體溫度由T1升至T2，則彈性體的變溫為T=T2-T1

變溫T為x,y的函數(shù)。 若彈性體內(nèi)不受任何約束，存在變溫T時(shí)正應(yīng)力為T。為線膨脹系數(shù)。變溫應(yīng)力的計(jì)算應(yīng)力計(jì)算

因此在平面應(yīng)力狀態(tài)下：若三角形帶應(yīng)變單元，3個(gè)節(jié)點(diǎn)處的變溫為Ti、Tj

、Tm則變溫T可由：

T=NiTi+NjTj+NmTm

為簡單起見T=（Ti+Tj+Tm）/3

那么當(dāng)考慮溫度變化時(shí)的平面問題物理方程為：

式中：為單元任一點(diǎn)的總應(yīng)變。o為該點(diǎn)的初應(yīng)變（或自由熱應(yīng)變）。應(yīng)用單元的虛功方程：得：變溫應(yīng)力的計(jì)算應(yīng)力計(jì)算

進(jìn)一步得若令Rte

為節(jié)點(diǎn)的變溫等效節(jié)點(diǎn)載荷 上式成為：即：2、結(jié)構(gòu)剛度方程：

Rt——變溫等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣變溫應(yīng)力的計(jì)算應(yīng)力計(jì)算

由式求出后由： 對于平面應(yīng)力問題： 對于平面應(yīng)變問題：

代入后，同平面應(yīng)力公式。

在上面的計(jì)算中，應(yīng)力計(jì)算均應(yīng)按單元進(jìn)行，同樣應(yīng)變亦應(yīng)按單元進(jìn)行。變溫應(yīng)力的計(jì)算應(yīng)力計(jì)算

計(jì)算得到的是單元的應(yīng)力與應(yīng)變，由其表示節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力值的兩種常用方法：

1.繞節(jié)點(diǎn)平均法： 將環(huán)繞某一節(jié)點(diǎn)的各單元加以平均以平均值表示該節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力。

若i節(jié)點(diǎn)周圍有n個(gè)單元，則i點(diǎn)應(yīng)力為：應(yīng)力的表示方法應(yīng)力計(jì)算2.按單元面積的加權(quán)平均法： 以交集于節(jié)點(diǎn)i的各單元的面積作為加權(quán)系數(shù)來計(jì)算i接點(diǎn)處的應(yīng)力對于一般情況。

這種方法要精確一些。應(yīng)力的表示方法應(yīng)力計(jì)算

根據(jù)材料力學(xué)公式，可以求出平面問題中節(jié)點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向和當(dāng)量應(yīng)力，如下式：

當(dāng)s逆時(shí)針轉(zhuǎn)至1時(shí)，為正值。

主應(yīng)力和主方向應(yīng)力計(jì)算位移型有限元法求解線彈性問題的普遍公式將三角形常應(yīng)變單元求解平面問題的公式推廣為下列矩陣形式的普遍公式。1.單元中任一點(diǎn)處的位移、應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系：

有限元法的普遍公式有限元法的普遍公式2.單元?jiǎng)偠确匠蹋瑔蝿偧捌渥觿傟囉邢拊ǖ钠毡楣接邢拊ǖ钠毡楣?.單元載荷移置公式 集中力 體積力 表面力 變溫等效節(jié)點(diǎn)載荷4.結(jié)構(gòu)剛度方程

上述公式適用于各種類型的單元及各種類型的問題，稱之為位移型有限元法求解線彈性靜力問題的普遍公式。有限元法的普遍公式有限元法的普遍公式六節(jié)點(diǎn)三角形單元 1.位移函數(shù)

2.形函數(shù)

補(bǔ)充位移函數(shù)的一般形式（２-１）式也可以參照帕斯卡三角形來確定位移函數(shù)與形函數(shù)六節(jié)點(diǎn)三角形單元

其中為其形函數(shù)補(bǔ)充六節(jié)點(diǎn)三角形單元3.幾何矩陣

代入后以得到幾何矩陣B

不同之處：4.應(yīng)力矩陣

S=DB5.單元?jiǎng)偠?其中：

補(bǔ)充六節(jié)點(diǎn)三角形單元6.等效節(jié)點(diǎn)載荷 應(yīng)用普遍公式即可，其中形函數(shù)矩陣7.形成總體剛度方程：8.引入約束，求解：補(bǔ)充*小結(jié)：離散、單剛、總剛、載荷列陣 解題步驟引入約束解方程，計(jì)算單元應(yīng)力節(jié)點(diǎn)應(yīng)力 應(yīng)力、應(yīng)變與位移關(guān)系 普遍公式單剛及子剛 載荷移置，結(jié)構(gòu)剛度方程

補(bǔ)充有限元方程的解法

用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析時(shí)的解題步驟

對計(jì)算對象的結(jié)構(gòu)形狀進(jìn)行簡化

力學(xué)模型的建立（承載狀況，邊界條件）

結(jié)構(gòu)離散化，確定單元的各種信息（節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)及編號(hào)等）

計(jì)算程序流程圖，先計(jì)算單剛，形成總剛等。求解及有限元方程的解法計(jì)算機(jī)流程有限元方程的解法有限元方程的解法

有限元分析的效率很大程度上取決于求解這個(gè)龐大的線性代數(shù)方程組且解方程組時(shí)在整個(gè)解題時(shí)間中占有很大比重。 求解先性代數(shù)方程組的方法：

直接法 是通過有限個(gè)算術(shù)運(yùn)算來求出方程組的解。當(dāng)方程組的階數(shù)不太高時(shí)，采用高斯消去法、三角分解法階數(shù)再高的話，可采用以這兩種方法為基礎(chǔ)的波前法、塊追趕法和子結(jié)構(gòu)法。而當(dāng)方程階數(shù)過高時(shí)，由于計(jì)算機(jī)有效位數(shù)的限制，直接法中的舍入誤差，消元中的有效位數(shù)的限制，會(huì)影響求解的精度，這時(shí)可采用迭代法。迭代法：迭代法是用某極限過程去逐步逼近真實(shí)解，如塞得爾法和超極限法。有限元方程的解法高斯消去法

高斯消去法的基本思想是逐步逐次消去一個(gè)未知數(shù)，最后將原方程變成一個(gè)的等價(jià)的三角形方程，再逐個(gè)回代，單元能解出全部的未知數(shù)。 設(shè)剛度方程為：有限元方程的解法高斯消去法

將上式改寫成：

由于有限元法中，由于剛度矩陣為正定矩陣，即：

有限元方程的解法高斯消去法因此可采用高斯消去法求解：用K11除第1式

則：故：有限元方程的解法高斯消去法

將上式代回2n式中有：

有限元方程的解法高斯消去法

原方程成為：有限元方程的解法高斯消去法

寫成矩陣形式：

有限元方程的解法高斯消去法

可以將上式改寫成：有限元方程的解法高斯消去法

上式中右上標(biāo)表示第一次消元，這樣K陣成為第一列元素，除對角為1外其余均化為零。 第二次消元時(shí)：對降過一階的矩陣進(jìn)行同樣的化簡。 此時(shí)：

這樣做n次后，就可使矩陣K成為對角線元素均為1的三角陣。這個(gè)過程叫消元過程，其具體公式用下列公式表達(dá)：

有限元方程的解法高斯消去法第一次消元：第一行元素：（j=1,2,…n）其他各行元素為： （i=2,3,…n，j=1,2,…n）有限元方程的解法高斯消去法第二次消元時(shí)：第二行元素（j=2,3,…n）

其他各行元素為（i=3,4,…n，j=2,3,…n）有限元方程的解法高斯消去法第l次消元時(shí)：第l行元素為：（j=l,l+1,…n）其他各行元素為：（i=l+1,l+2,…n，j=l,l+1,…n）有限元方程的解法高斯消去法第n次消元時(shí)：第n行元素為：有限元方程的解法高斯消去法至此消元過程全部結(jié)束得：有限元方程的解法高斯消去法將上式展開后有：將上式代入上一行中，就可解出，再以代入更上一行，又可以得出。依此類推，便可自下而上求出全部節(jié)點(diǎn)未知量。這個(gè)過程稱為回代過程。有限元方程的解法高斯消去法

因此高斯消去法求解方程時(shí)分 消元對角元為1的上三角陣回代對角元為1的單位陣，求節(jié)點(diǎn)未知量 回代過程可歸納為如下公式：

有限元方程的解法三角分解法

利用三角分解，將剛陣化為三角陣K=LU的一種做法。與高斯法相比，運(yùn)算量基本相同，而耗時(shí)少（程序?qū)崿F(xiàn)）。三角分解后，一個(gè)成為上三角陣，另一個(gè)成為下三角陣，需要兩次回代即可求得方程組的解。有限元方程的解法波前法

以高斯消去法為基礎(chǔ)，而發(fā)展起來的解決計(jì)算容量不足的一種新方法。實(shí)施中，將生成的單元?jiǎng)傟囋胤峙腿胗?jì)算機(jī)內(nèi)存，檢查有無迭加完畢的自由度，若有則對其進(jìn)行消元，并送出內(nèi)存，同時(shí)緊湊內(nèi)存中的其他元素，送入下一批單元?jiǎng)傟囋兀恋阶詈笠粋€(gè)元素被消元，此時(shí)消元結(jié)束。回代時(shí)按相反順序從外存讀入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。與高斯消去法的最大差別是：高斯消去法按自由度編號(hào)順序消元與回代。而波前法則不是，是按自由度完畢迭加的先后順序消元與回代，同時(shí)使用計(jì)算機(jī)外存。有限元方程的解法塊追趕法

特殊結(jié)構(gòu)適合于用此類方法，如平板葉片，縱橫網(wǎng)格均勻時(shí)。有限元方程的解法子結(jié)構(gòu)法

由于求解復(fù)雜類型結(jié)構(gòu)時(shí)，求借總剛矩陣階數(shù)高，要求計(jì)算內(nèi)存量大等，則可采用子結(jié)構(gòu)法。迭代法

它不是方程組的真實(shí)解，而是用某一近似值代入，逐步迭代。使近似值逐漸逼近，達(dá)到規(guī)定誤差時(shí)，取其為方程組的解。類似于牛頓迭代法。有限元方程的解法有限元法常用單元介紹3.1常用結(jié)構(gòu)分析有限元單元簡介3.2等參元的概念3.3二維等參元（PLANE42）3.4三維等參元（SOLID45）3.5殼元（SHELL63）3.6示例常用結(jié)構(gòu)分析有限元單元簡介以ANSYS軟件為例，常用結(jié)構(gòu)分析有限元單元有如下幾種：質(zhì)點(diǎn)元（MASS）桿單元（LINK）梁單元（BEAM）實(shí)體元（SOLID）殼元（SHELL）接觸元（CONTACT）連接元（COMBINATION）常用結(jié)構(gòu)分析有限元單元簡介常用結(jié)構(gòu)分析有限元單元簡介常用結(jié)構(gòu)分析有限元單元簡介.....線(彈簧，梁，桿，間隙)體(三維實(shí)體)線性...點(diǎn)(質(zhì)量)面(薄殼,二維實(shí)體,軸對稱實(shí)體)線性二次..............................二次常用結(jié)構(gòu)分析有限元單元簡介常用結(jié)構(gòu)分析有限元單元簡介等參元的概念等參元的概念現(xiàn)考查平面的任意凸四邊形單元與一邊長為2的正方形單元：等參元的概念等參元的概念

假如在局部坐標(biāo)（，）下，單元是一個(gè)正方形，不難看出其位移函數(shù)為：

上式表示的位移函數(shù)為局部坐標(biāo)（，）的表達(dá)式，在有限元分析時(shí)，需要計(jì)算位移u，v對總體坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)（等）因此，采用上述做法時(shí)就必須找出總體坐標(biāo)（x,y）對局部坐標(biāo)（，）之間的變換式。如果采用與上式相同的形式對總體坐標(biāo)變量插值：即

等參元的概念等參元的概念

式中Ni（，）與上式位移函數(shù)相同，就能保證在兩種坐標(biāo)下，單元上各點(diǎn)一一對應(yīng)在局部坐標(biāo)下平行于的直邊43變到總體坐標(biāo)（x,y）平面上正好是斜線43。我們稱之為坐標(biāo)變換式。 這樣，我們可以看到位移函數(shù)式和坐標(biāo)變換式具有完全相同的構(gòu)造。它們用同樣數(shù)目的相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)值作為參數(shù)，并具有完全相同的形函數(shù)Ni（，）這樣構(gòu)造的單元稱坐等參數(shù)單元，簡稱等參元。對于等參元進(jìn)行分析時(shí)，由于在局部坐標(biāo)（，）中進(jìn)行，這時(shí)單元形狀是正方形，位移函數(shù)簡單，計(jì)算較為方便。等參元的概念等參元的概念母單元實(shí)際單元一一對應(yīng)的實(shí)現(xiàn)方法等參元的概念等參元的概念

在第1式中，形函數(shù)Ni（，）可以是二次或更高次的，這時(shí)單元在局部坐標(biāo)（，）平面上的矩形直邊變換到總體總體坐標(biāo)時(shí)為曲邊形狀，正好適應(yīng)曲邊單元的要求。 另外，描述單元位移的節(jié)點(diǎn)數(shù)n以及其形函數(shù)Ni（，）的階次，也可以坐標(biāo)變換式的節(jié)點(diǎn)數(shù)n’

及其插值函數(shù)Ni’（，）的階數(shù)取得不等。若N（，）階次N’（，）的階次（nn’）則稱為超參元，反之為次參元。等參元中插值函數(shù)（形函數(shù)）

在有限元分析中，恰當(dāng)?shù)倪x擇位移函數(shù)是整個(gè)方法中最重要的部分。位移函數(shù)的描述通常可用兩種方式，其中一種是采用含有若干待定系數(shù)i（也稱為廣義坐標(biāo)）的簡單多項(xiàng)式，其二是可以采用形函數(shù)（插值函數(shù)）直接描述，形函數(shù)通常是用插值多項(xiàng)式表示，對于二維位移場來說，可以寫成： 式中Ni（x,y）由具體單元和節(jié)點(diǎn)確定。其中的形函數(shù)選擇中非常關(guān)鍵的，對于等參元而言，其形函數(shù)的選擇是借助于拉格朗日插值函數(shù)進(jìn)行的。等參元的概念等參元中插值函數(shù)（形函數(shù)）

對于一些常用的單元，可以利用某些位置的插值函數(shù)，直接寫出其形函數(shù)。在一維情況下，拉格朗日插值函數(shù)的一般形式為：

式中：x0，x1，……xn為n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的x坐標(biāo)值，這是一個(gè)n次多項(xiàng)式，共有n個(gè)因子組成。當(dāng)x=xi時(shí)，分子分母相等，多項(xiàng)式值為一。當(dāng)x=xm時(shí)，多項(xiàng)式值為零。利用這種插值函數(shù)，只要（x）在x0，x1，……xn處的值0，1…n已知，就能用下列n次多項(xiàng)式近似的表示（x）

等參元的概念等參元中插值函數(shù)（形函數(shù)）

即： 顯而易見，Lin（x）具有如下性質(zhì)。

這與形函數(shù)的定義是一致的，這樣我們可以將拉格朗日插值函數(shù)使用于二維或三維情況。二維問題的位移函數(shù)可寫成：

式中，n、m分別為在x和y方向的分段數(shù)。等參元的概念等參元中插值函數(shù)（形函數(shù)）

為了便于推導(dǎo)，在推導(dǎo)各類單元的形函數(shù)時(shí)，采用的是局部坐標(biāo)系，它在單元內(nèi)部的變化范圍是從-1到+1。這對有限元中推導(dǎo)形函數(shù)及進(jìn)行數(shù)值積分都是方便的。 一維情況下，無量綱的拉格朗日多項(xiàng)式：=-1=0=1等參元的概念等參元中插值函數(shù)（形函數(shù)）構(gòu)造的方法： 直接法： 同理可得二次：

=-1=0=1等參元的概念等參元中插值函數(shù)（形函數(shù)）

三次形式：=-1=-1/3=1/3=1等參元的概念四節(jié)點(diǎn)等參元的形函數(shù)

這里首先介紹四邊形線性插值單元的形函數(shù)，如圖4.2（a）所示。現(xiàn)在根據(jù)一維線性拉格朗日插值多項(xiàng)式的乘積用局部坐標(biāo)構(gòu)造這種單元的形函數(shù)，即：等參元的概念四節(jié)點(diǎn)等參元的形函數(shù)

由上圖可見 在i節(jié)點(diǎn)：由線性拉格朗日多項(xiàng)式

ij邊jk邊

等參元的概念四節(jié)點(diǎn)等參元的形函數(shù)

在j節(jié)點(diǎn)：

ij邊jk邊

同理：對節(jié)點(diǎn)k，l有：

等參元的概念四節(jié)點(diǎn)等參元的形函數(shù)

把上述公式寫成統(tǒng)一表達(dá)式時(shí)則有： 式中i

，i是節(jié)點(diǎn)i的局部坐標(biāo)。等參元的概念

對于任意四節(jié)點(diǎn)四邊形，如果在總體坐標(biāo)系下選擇雙線性形函數(shù)表示位移函數(shù)，即：則在單元的邊界上一般不能滿足相容性條件。在不平行于x（或y）軸的任一邊上（如43邊）這條邊的直線方程為：y=ax+b（a0）把它代入到位移函數(shù)式中，則位移為x的二次函數(shù)即：u=Ax2+Bx+C

這樣表明在這條邊上u不再是線性變化的（v亦如此），因此這條邊上的位移就不能由兩個(gè)節(jié)點(diǎn)值的插值函數(shù)所唯一確定，從而在相鄰兩個(gè)單元的公共邊上將不能保證位移是連續(xù)的。因此，4節(jié)點(diǎn)斜四邊形單元不能采用直角坐標(biāo)系下雙線性函數(shù)為形函數(shù)。為此，需要引入局部坐標(biāo)系，使得斜四邊形單元能夠變換到相應(yīng)的矩形單元上去，這也是等參數(shù)單元的一個(gè)重要特點(diǎn)。四節(jié)點(diǎn)等參元的形函數(shù)等參元的概念八節(jié)點(diǎn)等參元的形函數(shù)

二次單元（8節(jié)點(diǎn)）

這種單元共有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，沿每條邊有3個(gè)節(jié)點(diǎn)。位移函數(shù)在每條邊上呈二次曲線變化，根據(jù)拉格朗日插值函數(shù)可求出其形函數(shù)。

等參元的概念八節(jié)點(diǎn)等參元的形函數(shù)形函數(shù)階次的選擇同樣可以參照帕斯卡三角形來確定：等參元的概念八節(jié)點(diǎn)等參元的形函數(shù)

由上圖并利用一維拉格朗日二次插值函數(shù)，寫節(jié)點(diǎn)2的形函數(shù)為： 對于i=0（節(jié)點(diǎn)2，6）邊中點(diǎn)其形函數(shù)的表達(dá)式為： 同理對于 （節(jié)點(diǎn)4，8）其形函數(shù)為： 以上推