人教版必修五數(shù)學(xué)課件1 1 2余弦定理一

第一章 §

1.1

正弦定理和余弦定理1.1.2

余弦定理(一)掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測自查自糾知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一 余弦定理及其證明1.余弦定理的表示及其推論答案文字語言三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍平方的和減去符號(hào)語言a2＝

b2＋c2－2bccos

A

，b2＝

a2＋c2－2accos

B

，c2＝a2＋b2－2abcos

C推論，，cos

C＝答案cos

A＝

b2＋c2－a22bccos

B＝

a2＋c2－b2

2ac

a2＋b2－c22ab答案2.余弦定理的證明∴c2＝a2＋b2－2abcos

C.(1)課本上采用的證明方法：如圖，設(shè)a＝

→，b＝

→，c＝→，則c＝

b－a

，CB

CA

BA∴|c|2＝c·c＝(b－a)2＝a2－＝2a·b＋b2，a2－2abcos

C＋b2(2)利用坐標(biāo)法證明答案如圖，建立直角坐標(biāo)系，則A

(0,0、)B(ccos、AC，csin(寫A)出三點(diǎn)(b的,0)坐標(biāo)).∴a＝BC＝

ccos

A－b2＋csinA－0＝2c2－2bccos

A＋b2

，∴a2＝b2＋c2－2bccos

A.解析答案b2＋c2－a22bcbc

1＝－2bc＝－2，解析

由題意知，cos

A＝又A∈(0，π)，∴A＝2π3

.2π思考1

在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，則A＝

3

.答案思考2

勾股定理和余弦定理的聯(lián)系與區(qū)別？答案二者都反映了三角形三邊之間的平方關(guān)系，其中余弦定理反映了任一三角形中三邊平方間的關(guān)系，勾股定理反映了直角三角形中三邊平方間的關(guān)系，是余弦定理的特例.知識(shí)點(diǎn)二用余弦定理解三角形的問題利用余弦定理可以解決以下兩類問題：

(1)已知兩邊及夾角解三角形；(2)已知三邊解三角形.思考

已知三角形的兩邊及一邊的對(duì)角解三角形，有幾種方法？答案返回答案

不妨設(shè)已知a、b、A，a

bsin

A

sin

B＝

可求得sin

B，進(jìn)而得B，角C，最后得方法一

由正弦定理邊c.方法二由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos

A得邊c，而后由余弦或正弦定理求得B、C.題型探究重點(diǎn)突破題型一 已知兩邊及夾角解三角形解析答案反思與感悟例

1

在△ABC

中，已知

a＝2，b＝2值(cos

15°＝2，sin

15°＝6＋

6－4

42，C＝15°，求角A，B

和邊c

的2).解

由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos

C反思與感悟＝4＋8－2×2×2

2×6＋42＝8－4

3，∴c＝

8－4

3＝

6－22＝

6－

2.由正弦定理得sin

A＝asin

C＝asin

15°c

c2×6－

26－

24

1＝

＝2，∵b>a，∴B>A，∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝135°，∴c＝

6－

2，A＝30°，B＝135°.已知三角形的兩邊及其夾角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對(duì)角)求解.用正弦定理求解時(shí)，需對(duì)角的取值根據(jù)“大邊對(duì)大角”進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這些問題(因?yàn)樵?0，π)上，余弦值對(duì)應(yīng)的角是唯一的)，故用余弦定理求解較好.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝3，A.43B.

15

C.3

D.

17解析答案3解析

由三角形內(nèi)角和定理可知

cos

C＝－cos(A＋B)＝－1，又由余弦定3理得

c2＝a2＋b2－2abcos

C＝9＋4－2×3×2×(－1)＝17，所以

c＝

17.b＝2，cos(A＋B)＝1，則c等于(

D

)題型二 已知三邊(或三邊的關(guān)系)解析答案反思與感悟例

2

在△ABC

中，已知

a＝2

6，b＝6＋2

3，c＝4

3，求A、B、C.反思與感悟解

根據(jù)余弦定理，cos

A＝b2＋c2－a22bc＝6＋2

32＋4

32－2

6226＋2

34

33＝

2

.6∵A∈(0，π)，∴A＝π，cos

C＝2ab＝a2＋b2－c2

2

62＋6＋232－4

322×2

6×6＋2

32＝

2

，4∵C∈(0，π)，∴C＝π.6

4

12∴B＝π－A－C＝π－π－π＝

7

π，∴A＝π，B＝

7

π，C＝π.6

12

4已知三邊(或三邊的關(guān)系)解三角形的方法及注意事項(xiàng)利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為0，角為直角；值為負(fù)，角為鈍角.方法1：兩次運(yùn)用余弦定理的推論求出兩個(gè)內(nèi)角的余弦值，確定兩個(gè)角，并確定第三個(gè)角.方法2：由余弦定理的推論求一個(gè)內(nèi)角的余弦值，確定角的大??；由正弦定理求第二個(gè)角的正弦值，結(jié)合“大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊”法則確定角的大小，最后由三角形內(nèi)角和為180°確定第三個(gè)角的大小.若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解.反思與感悟解析答案6∶(6＋2

3)∶4

3”，跟蹤訓(xùn)練

2

將例

2

中的條件改為“a∶b∶c＝2求A、B、C.解

∵a∶b∶c＝2

6∶(6＋2

3)∶4

3，即

a

＝b2

6

6＋2

3

4

3＝

c

，a不妨設(shè)2

6＝k，則

a＝2

6k，b＝(6＋2

3)k，c＝4

3k，下同例題解法.題型三 已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形解析答案反思與感悟例

3

在△ABC

中，已知角

A，B，C

所對(duì)的邊分別為

a，b，c，若

a＝2

3，b＝

6，A＝45°，求邊c.解

方法一 在△ABC中，根據(jù)余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos

A，即

c2－2

3c－6＝0，所以

c＝

3±3.又c>0，所以

c＝

3＋3.方法二 在△ABC中，由正弦定理得asin

B＝bsinA＝26×2

322

＝1，解析答案反思與感悟反思與感悟因?yàn)閎<a，所以B<A，又B∈(0°，180°)，所以B＝30°，所以C＝180°－A－B＝105°，所以

sin

C＝sin

105°＝sin(45°＋60°)＝sin

45°cos

60°＋cos

45°sin

60°＝6＋

2，4故asin

Cc＝

sin

A

＝2

3×6＋

2422＝

3＋3.已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形的方法可根據(jù)余弦定理列一元二次方程求出第三邊(注意邊的取舍)，再利用正弦定理求其他的兩個(gè)角；也可以由正弦定理求出第二個(gè)角(注意角的取舍)，再利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，最后利用正弦定理求出第三邊.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3已知在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，解此三角形.解析答案返回解

方法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos

B得解析答案b3( 3)2＝a2＋32－2×a×3×cos

30°，∴a2－3

3a＋6＝0，∴a＝

3或

a＝2

3.當(dāng)

a＝

3時(shí)，a＝b，∴A＝30°，∴C＝120°；當(dāng)

a＝2 3時(shí)，由正弦定理得sin

A＝asinB＝2 3sin30°＝1，又∵A∈(0°，180°)，∴A＝90°，C＝60°.∴C＝60°，A＝90°，a＝2

3或

C＝120°，A＝30°，a＝

3.方法二 由b<c，B＝30°，b>csin

30°知本題有兩解.由正弦定理，得sin

Cb＝csinB＝3×1322＝

3，b2＋c2＝2

3∴C＝60°或120°.當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝90°，由勾股定理得a＝當(dāng)

C＝120°時(shí)，A＝30°＝B，∴a＝

3.∴C＝60°，A＝90°，a＝2

3或

C＝120°，A＝30°，a＝

3.返回當(dāng)堂檢測1

2

3

4

5D.cosC＝a2＋b2＋c2解析答案2ab解析

由余弦定理及其推論知只有A正確.1.在△ABC中，符合余弦定理的是(

A

)A.c2＝a2＋b2－2abcos

CB.c2＝a2－b2－2bccos

AC.b2＝a2－c2－2bccos

A1

2

3

4

5解析答案A.8

B.2

17

C.6

2

D.2

19解析

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos

C2＝42＋62－2×4×6×(－1)＝76，∴c＝2

19.2.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，則邊c的值是(

D

)1

2

3

4

5解析答案3.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若C＝120°，c＝B.a<bD.a與b的大小關(guān)系不確定解析

cos

120°＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－2a22ab1＝－2，∴b＝5－12a<a.2a，則(

A

)A.a>bC.a＝b1

2

3

4

5解析答案解析

cos

C＝a2＋b2－c