第2章測量誤差理論及數據處理-課件

2章．測量誤差理論與數據處理

2.1測量誤差的基本概念2.2測量誤差的估計和處理2.3測量誤差的合成與分配2.4測量數據處理2.1測量誤差的基本概念測量的目的:獲得被測量的真值。真值:在一定的時間和空間環(huán)境條件下，被測量本身所具有的真實數值。測量誤差:出現(xiàn)測量結果與實際值（真值）有差異，這種差異稱為測量誤差所有測量結果都帶有誤差測量誤差的來源（1）儀器誤差：由于測量儀器及其附件的設計、制造、檢定等不完善，以及儀器使用過程中老化、磨損、疲勞等因素而使儀器帶有的誤差。（2）影響誤差：由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、振動、電源電壓、電磁場等）與測量要求的條件不一致而引起的誤差。（3）理論誤差和方法誤差：由于測量原理、近似公式、測量方法不合理而造成的誤差。（4）人身誤差：由于測量人員感官的分辨能力、反應速度、視覺疲勞、固有習慣、缺乏責任心等原因，而在測量中使用操作不當、現(xiàn)象判斷出錯或數據讀取疏失等而引起的誤差。（5）測量對象變化誤差：測量過程中由于測量對象變化而使得測量值不準確，如引起動態(tài)誤差等。控制測量誤差的意義對很多測量來說，測量工作的價值完全取決于測量的準確程度。研究誤差理論的目的2.1.1測量誤差的定義測量誤差——測量結果與被測量真值的差別。2.1.2測量誤差的分類

測量誤差按表示方法分類有絕對誤差、相對誤差。1．絕對誤差

絕對誤差又叫絕對真誤差，它可以表示為

Δx=x–x0

(2-1)

一、測量誤差按表示方法分類

式中給出值：在測量中通常就是被測量的測得值。包括儀器的示值，量具或元件的標稱值（又叫名義值），近似計算的近似值等等。真值得給出：

①可由理論給出或由計量學作出規(guī)定；②用實際值代替。③用已修正過的多次測量的算術平均值來代替真值

滿足規(guī)定準確度要求，用來代替真值使用的量值。在實際測量中，常把用高一等級的計量標準所測得的量值作為實際值修正值：與絕對誤差Δx大小相等但符號剛好相反的量，稱為修正值，一般用C表示。

C=-Δx=x0–x(2-2)

式中在某些較準確的儀器中，常常以表格、曲線或公式的形式給出修正值。修正值通常是在校準儀器時給出。當測量時得到給出值x及修正值C以后，由式(2-2)就可以求出被測量的實際值【例如2-1】某電壓表的量程為10V，通過檢定而得出其修正值為-0.02V。如用這只電壓表測電路中的電壓，其示值為7.5V，于是得被測量電壓的實際值為解：x0=C+x=（-0.02）+7.5=7.48V絕對誤差及修正值是與給出值具有相同的量綱的量。絕對誤差的大小和符號分別表示了給出值偏離真值的程度和方向。

2．

相對誤差

實際測量過程中，常用相對誤差來表示儀器測量的準確程度。（1）相對真誤差（相對誤差）用絕對誤差Δx與被測量的真值的百分比值來表示。用r

表示，r

=×100%(2-3)相對誤差是一個只有大小和符號，而沒有量綱的量。示值相對誤差（又叫標稱相對誤差）：用絕對誤差Δx與被測量的給出值的百分比值來表示；只有在誤差較小時用。有時一個儀器的準確程度，可以用誤差的絕對形式和相對形式共同表示。⑵分貝誤差——相對誤差的對數表示在電子學和聲學中常用分貝來表示相對誤差，叫分貝誤差。例如：測量一個有源或無源網絡，它的電壓或電流傳遞函數為A0,測得值為A,絕對誤差為△A，則由A0[dB]=20lgA0dB及A[dB]=A0[dB]+,推導出分貝誤差為：相對誤差是一個只有大小和符號，而沒有量綱的量。示值相對誤差（又叫標稱相對誤差）：用絕對誤差Δx與被測量的給出值的百分比值來表示；只有在誤差較小時用。有時一個儀器的準確程度，可以用誤差的絕對形式和相對形式共同表示。是一個只與相對誤差有關的量；并且是有符號的。（3）滿度相對誤差

⑵分貝誤差——相對誤差的對數表示在電子學和聲學中常用分貝來表示相對誤差，叫分貝誤差。例如：測量一個有源或無源網絡，它的電壓或電流傳遞函數為A0,測得值為A,絕對誤差為△A，則由A0[dB]=20lgA0dB及A[dB]=A0[dB]+,推導出分貝誤差為：⑵分貝誤差——相對誤差的對數表示在電子學和聲學中常用分貝來表示相對誤差，叫分貝誤差。例如：測量一個有源或無源網絡，它的電壓或電流傳遞函數為A0,測得值為A,絕對誤差為△A，則由A0[dB]=20lgA0dB及A[dB]=A0[dB]+,推導出分貝誤差為：(2-5)

為了計算和劃分電表準確度等級的方便，在用（2-3）式求相對誤差時，改為取電表量程，即滿刻度值作為分母，這就引出了滿度相對誤差（又叫引用相對誤差）的概念：用絕對誤差Δx與儀器的滿刻度值xm比值來表示的誤差稱為滿度相對誤差。用r

n表示，(2-6)式中電子儀器正是按rn之值來進行分級的，例如，0.5級的電子儀器，就表明其rn≤±0.5%，即表示它的引用相對誤差所不超過的百分比，并在其面板上標有0.5的符號。如果該儀器同時有幾個量程，則所有量程有rn≤±0.5%。我國生產的電子儀器精度一般分有七級：±0.1、±

0.2、±

0.5、±

1.0、±

1.5、±

2.5、±

5.0。

用絕對誤差Δx與儀器的滿刻度值xm比值來表示的誤差稱為滿度相對誤差。用r

n表示，(2-6)用絕對誤差Δx與儀器的滿刻度值xm比值來表示的誤差稱為滿度相對誤差。用r

n表示，若某儀表的等級是s級，它的滿刻度值為，被測量的真值為

，那么測量的絕對誤差(2-7)若某儀表的等級是s級，它的滿刻度值為，被測量的真值為

，那么測量的絕對誤差測量的相對誤差(2-8)由式（2-7）、（2-8）可見，我們在用這類儀表測量時，所選儀表的滿刻度值不應比實測量大得太多；在一般情況下應使被測量的數值盡可能在儀表滿刻度的三分之二以上。由P16例3可見，在測量中我們不能片面追求儀表的級別，而應該根據被測量的大小，兼顧儀表的滿刻度值和級別，合理的選擇儀表。二、測量誤差按性質和特點分類

根據測量誤差的性質和特點，測量誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差三類。（一）.系統(tǒng)誤差定義：在同一測量條件下，多次測量同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。系統(tǒng)誤差一般可以歸結為若干個因素的函數。產生的主要原因是①測量設備的缺陷、測量儀器不準、測量儀表的安裝、放置或使用方法不正確；

②環(huán)境因素（溫度、濕度、電源、周圍電磁場等）影響；③測量時使用的方法不完善，所依據的理論不嚴密或測量原理中使用近似計算公式（常稱為理論誤差或方法誤差）；④測量人員不良的讀數習慣等。⒈定義、根源和特點定義:在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術和測量儀器都相同的條件下），多次重復測量同一量值時，每次測量誤差的絕對值和符號都

以不可預知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。隨機誤差主要由那些對測量值影響較微小，又互不相關的多種因素共同造成的。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的各種無規(guī)律的微小變化等。（二）.隨機誤差一次測量的隨機誤差沒有規(guī)律、不可預定、不能控制也不能用實驗的方法加以消除。

但是，對于大量的測量，從統(tǒng)計的觀點來看，隨機誤差表現(xiàn)了它的規(guī)律性，即隨機誤差在多次測量的總體上服從統(tǒng)計規(guī)律。可通過數理統(tǒng)計的方法來處理,即求算術平均值，通過多次測量取平均值的辦法來削弱隨機誤差對測量結果的影響。隨機誤差變化的特點是：①有界性；②對稱性；③抵償性。很多測量結果的隨機誤差的分布形式接近于正態(tài)分布，也有部分測量結果的隨機誤差屬于均勻分布或其他分布。在測量中，隨機誤差是不可避免的。在進行測量之前，我們不能預言測量值肯定為多少，只能對它的變化范圍進行估計，因而測量值是一個隨機變量。多次測量，測量值和隨機誤差服從概率統(tǒng)計規(guī)律。可用數理統(tǒng)計的方法，處理測量數據，從而減少隨機誤差對測量結果的影響。測量值的取值可以是連續(xù)的，也可以是離散的。⑴測量值為離散值時的數學期望和方差①測量值為離散值時的數學期望⒉測量數據的數學期望和方差若測量值X可能的取值數m為有限個或無窮可數個離散值時：

當測量次數n→∞時，可以用某取值發(fā)生的頻率ni／n代替事件發(fā)生的概率Pi(i=1～m),這時，測量值X的數學期望為：式中若每個測量值只得到一次，或者每次測量結果單獨統(tǒng)計，認為n次測量得到n個測量值，而不考慮這些結果中有無相同的情況時：當測量次數n→∞時，可以用測量值出現(xiàn)的頻率1／n代替事件發(fā)生的概率Pi(i=1～m),這時，則得到測量值X的數學期望為：

測量值的數學期望就是當測量次數n→∞時，它的各次測量值的算術平均值測量值的數學期望只反映測量值平均的情況

測量值的數學期望就是當測量次數n→∞時，它的各次測量值的算術平均值測量值的數學期望只反映測量值平均的情況②測量值為離散值時的方差若測量值X可能的取值數m為有限個或無窮可數個離散值時：當測量次數n→∞時，可以用事件發(fā)生的頻率ni／n代替第i種取值的概率Pi(i=1～m),這時，測量值X的方差為：若每個測量值只得到一次，或者每次測量結果單獨統(tǒng)計，認為n次測量得到n個測量值，而不考慮這些結果中有無相同的情況時：當測量次數n→∞時，可以用測量值出現(xiàn)的頻率1／n代替概率Pi(i=1～m),這時，則得到測量值X的方差：若測量值X可能的取值數m為有限個或無窮可數個離散值時：當測量次數n→∞時，可以用事件發(fā)生的頻率ni／n代替第i種取值的概率Pi(i=1～m),這時，測量值X的方差為：若每個測量值只得到一次，或者每次測量結果單獨統(tǒng)計，認為n次測量得到n個測量值，而不考慮這些結果中有無相同的情況時：當測量次數n→∞時，可以用測量值出現(xiàn)的頻率1／n代替概率Pi(i=1～m),這時，則得到測量值X的方差：

測量值的方差是用來描述測量值的離散程度或者說隨機誤差對測量值的影響的。在式（2-11）中，不采用[xi-M(X)]來進行平均，而取它的平方來平均。標準偏差：方差的算術平方根標準偏差同樣用來描述測量值的離散程度，越小，測量值越集中。

測量值的方差是用來描述測量值的離散程度或者說隨機誤差對測量值的影響的。在式（2-11）中，不采用[xi-M(X)]來進行平均，而取它的平方來平均。標準偏差：方差的算術平方根標準偏差同樣用來描述測量值的離散程度，越小，測量值越集中。⑵測量值為連續(xù)值時的數學期望和方差設測量值X落在區(qū)間內的概率為之比的極限存在當趨于零時，若就把它稱為測量值X在x點的概率密度，記為則測量值X的數學期望為：則測量值X的方差為：（2-13）（2-14）（三）.粗大誤差定義：超出規(guī)定條件下預期的誤差。也就是說在一定的測量條件下，測量結果明顯地偏離了真值。產生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未達到預定的要求而匆忙實驗等。②測量方法不當或錯誤

③測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值；粗大誤差明顯地歪曲了測量結果，在數據處理時，應剔除掉。（四）測量誤差對測量結果的影響及測量的正確度、精密度和準確度⒈系差和隨差的表達式對于一個測量誤差，在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機誤差，而一般說來，在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差都是同時存在的。那么各次測得值的絕對誤差就等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數和。即在確定條件下，對被測量x的第i次測量的誤差可表示為式中系統(tǒng)誤差在測量條件相同時是不變的，當測量次數n→∞時，若對n次測量的絕對誤差取平均值，則的平均值等于零，由此可得：由于隨機誤差的抵償性，當n→∞時(2-15a)(2-15b)式(2-15a)說明，對于同時存在系統(tǒng)誤差和隨機誤差的測量數據，只要測量次數足夠多（理論上n→∞），各次測量絕對誤差的算術平均值就等于測量的系統(tǒng)誤差。取平均值后，隨機誤差的影響可以消除。式(2-15b)說明系統(tǒng)誤差使測量值的數學期望偏離被測量的真值；當不存在系統(tǒng)誤差時，測量值的數學期望就等于被測量的真值，即(2-16)⑴系差的表達式⑵隨差的表達式由于第i次測量的隨機誤差由于第i次測量的隨機誤差將及式（2-15b）代入上式，可得及式（2-15b）代入上式，可得將及式（2-15b）代入上式，可得(2-17a)式(2-17a)說明，某次測量的隨機誤差等于這次測量的測量值與測量值的數學期望之差。當不存在或修正了系統(tǒng)誤差以后，由式（2-16）可將上式變?yōu)?2-17b)⒉測量誤差對測量數據的影響（a）（b）（b）（c）（c）3.測量的正確度、精密度和準確度正確度：表示測量結果中系統(tǒng)誤差大小的程度。系統(tǒng)誤差越小，則正確度越高，就有可能使測量結果越正確，即測量值的數學期望與真值符合的程度越高。所以就可以用系統(tǒng)誤差來作為衡量測量是否正確的尺度。精密度：表示測量結果中隨機誤差大小的程度，也可以簡稱為精度。精密度越高，表示隨機誤差越小。隨機誤差的大小可以用測量值的標準偏差來衡量。越小，測量值越集中；反之，越大，測量值越分散，測量的精度越低。相同的測量叫等精密度測量。隨機因素使測量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。如圖2-4所示準確度：用來反映測量結果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合影響。表示測量結果與真值的一致程度。準確度越高，表示正確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。在一定的測量條件下，總是力求測量結果盡量接近真值，即力求準確度高。圖2-4隨機誤差不同的兩組測量數據：（a）隨機誤差較?。╞）隨機誤差較大（a）（b）測量結果的正確度、精密度和準確度的涵義可用圖2-5說明：圖2-5（c）（a）（b）4.系差、隨差和粗大誤差之間在一定條件下是可以相互轉化在對三種誤差進行判別時，也會發(fā)現(xiàn)它們之間沒有不可逾越的鴻溝，即三種測量誤差的劃分也不是絕對嚴格的，而是具有一定的相對性；但是，這種相對的劃分還是必要的，根據這種劃分人們對三種誤差的處理方法是不同的：①對于含有粗大誤差的測量值予以剔除；②對于隨機誤差的影響用統(tǒng)計平均的方法來消除或減弱；③對系統(tǒng)誤差則主要靠在測量過程中采用一定的技術措施來削弱或對測量值進行必要的修正來減弱系統(tǒng)誤差的影響⒌誤差的其他多種分類2.2測量誤差的估計和處理2.2.1隨機誤差的影響及統(tǒng)計處理隨機誤差是在實際相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號均發(fā)生變化，而且這種變化沒有確定的規(guī)律也不能事先確定的誤差。隨機誤差使測量數據產生分散，即偏離它的數學期望。對某一次測量來說，隨機誤差使測量數據偏離數學期望的大小和方向是沒有規(guī)律的，但多次測量就會發(fā)現(xiàn)隨機誤差使測量數據的分布服從一定的概率統(tǒng)計規(guī)律?？捎脭道斫y(tǒng)計的方法研究隨機誤差對測量數據的影響，并用統(tǒng)計平均的方法來克服或處理這種誤差。。測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布。為什么測量數據和隨機誤差大多接近正態(tài)分布？(一)中心極限定理在誤差分析中的應用——測量數據的正態(tài)分布隨機誤差的概率密度函數為：測量數據X的概率密度函數為：

隨機誤差的數學期望和方差為：同樣測量數據的數學期望M(X)，方差D(X)＝（2-18）（2-19）隨機誤差和測量數據的正態(tài)分布時概率密度曲線

隨機誤差和測量數據的分布形狀相同，因而它們的標準偏差相同，只是橫坐標相差標準偏差意義標準偏差是代表測量數據和測量誤差分布離散程度的特征數。標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數據越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數據越分散。求被測量的數字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進行有限次測量，怎么辦？⒈有限次測量值的算術平均值及其分布對于某被測量進行一系列獨立的等精度的測量，從統(tǒng)計的觀點來看，這一系列測量值的分布形狀完全是確定的，也就是說只要測量系統(tǒng)、測量條件和被測量不變，那么這一系列測量就具有相同的數學期望和標準偏差，即：（二）用有限次測量數據估計測量值的數學期望和標準偏差

那么根據概率論中相關的定理就可以求出n次測量值的算術平均值的數學期望和方差：

*（2-22）（2-23b）（2-23a）※算術平均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小倍。原因是隨機誤差的抵償性?！裘總€平均值均由n個標準偏差為σ（X）的數據平均而成，則n越大，平均值的離散程度越小，這是采用統(tǒng)計平均的方法減弱隨機誤差的影響的理論根據。根據中心極限定理，可以得到一個重要結論：無論被測量總體的分布是什么形狀，隨著測量次數的增加，測量值算術平均值的分布都越來越趨近于正態(tài)分布。⒉用有限次測量數據估計測量值的數學期望用n次測量值的算術平均值作為數學期望的估計值，并作為最后的測量結果。即：算術平均值是數學期望的無偏估計值、一致估計值，即式（2-24a、b、c）稱為貝塞爾公式3.用有限次測量數據估計測量值的方差和標準偏差式中：稱為殘差（2-24a）（2-24b）（2-24c）算術平均值的標準偏差估計值：注意：【例2.5】用溫度計重復測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差估計值。解：①平均值

②用公式計算各測量值殘差列于上表中③標準偏差的估計值：④標準偏差的估計值：㈢測量結果的置信問題﹖問題的提出：當我們知道了某被測量在一定條件下測量值的分布曲線后，①希望知道尚未測得的數據x可能處于區(qū)間內的概率有多大，，這里c是指定的系數；②而當我們測得一個測量值x后,又希望估計被測量的數學期望M（X）可能處于x附近某確定區(qū)間內的概率是多少。即想知道測量的可信度——測量結果的置信問題。⒈置信概率與置信區(qū)間對應的兩種概率是相等的★置信概率：置信區(qū)間包含估計值的概率稱為置信概率。

★置信區(qū)間：估計值以多大的概率包含在某一數值區(qū)間，該數值區(qū)間就稱為置信區(qū)間。

是完全等價的且★與對應的兩種概率是相等的★對應的兩種概率是相等的★與對應的兩種概率是相等的★與對應的兩種概率是相等的★是完全等價的且與對應的兩種概率是相等的★⒉服從正態(tài)分布的測量值在對稱區(qū)間的置信概率若某測量值X服從正態(tài)分布，它的概率密度為：則測量值處于M（X）對稱區(qū)間內的置信概率為：則測量值處于M（X）對稱區(qū)間內的置信概率為：則測量值處于M（X）對稱區(qū)間令（2-27）令（2-27）令于是可以把積分變量換為Z,即（2-28）根據系數c或者說根據置信區(qū)間就可以從表（附錄1）中查得相應的置信概率由P44頁例6可知，對于正態(tài)分布的誤差或測量值，不超過的置信概率為99.73%,因而可以認為實際測量值均處于由P44頁例6可知，對于正態(tài)分布的誤差或測量值，不超過的置信概率為99.73%,因而可以認為實際測量值均處于由P44頁例6可知，對于正態(tài)分布的誤差或測量值，不超過由P44頁例6可知，對于正態(tài)分布的誤差或測量值，不超過的置信概率為99.73%,因而可以認為實際測量值均處于由P44頁例6可知，對于正態(tài)分布的誤差或測量值，不超過的置信概率為99.73%,因而可以認為實際測量值均處于由P44頁例6可知，對于正態(tài)分布的誤差或測量值，不超過的置信概率為99.73%,因而可以認為實際測量值均處于由P44頁例6可知，對于正態(tài)分布的誤差或測量值，不超過置信因子c置信概率P10.68320.95530.997根據系數c或者說根據置信區(qū)間就可以從表（附錄1）中查得相應的置信概率根據系數c或者說根據置信區(qū)間就可以從表（附錄1）中查得相應的置信概率區(qū)間越寬，置信概率越大⒊有限次測量情況下的置信問題——由正態(tài)分布到t分布（2-29a）設隨機變量它的概率密度為：（2-30）式中稱為伽馬函數；k=n-1,稱為自由度t分布的圖形關于t=0對稱，類似于標準正態(tài)分布的圖形。但它不僅和隨機變量t有關，而且和自由度k有關。當n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布

(當n→∞時，t分布與正態(tài)分布完全相同)內的置信概率為：則M（X）處于附近對稱區(qū)間對于確定的測量次數n，給定了置信概率就可以根據附錄Ⅱ找到相應的系數ta,即找到對應的置信區(qū)間；或者反過來。當測量次數不同時，對于同樣的置信概率，置信區(qū)間是不同的。對于同樣的置信概率，當樣本不同時，由于平均值和平均值的標準偏差估計值不同，得到的置信區(qū)間也不同。㈣測量誤差的非正態(tài)分布在測量實踐中，除正態(tài)分布外，常見的非正態(tài)分布是均勻分布。服從于均勻分布情況：儀器中的刻度盤回差；最小分辨力引起的誤差；“四舍五入”的截尾誤差；當只能估計誤差在某一范圍內，而不知其分布時，一般也可假定均勻分布等。均勻分布的特點：在其分布范圍內，測量值或測量誤差出現(xiàn)的概率密度相等，其概率密度為：

概率密度:數學期望:標準偏差:方差:概率密度:方差:標準偏差:2.2.2用統(tǒng)計學方法剔除異常數據大誤差出現(xiàn)的概率很小對于誤差絕對值較大的測量數據，可以列為可疑數據。根據觀察分析得到的物理原因或技術上的原因決定可疑數據的取舍。⒈產生原因以及防止與消除的方法可疑數據產生原因

①隨機誤差造成的正常分散性；②測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄；③客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。②③是產生粗大誤差的原因采取各種措施，防止產生粗大誤差。統(tǒng)計學的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的數據就認為是異常數據（含有粗大誤差），并予以剔除。置信區(qū)間的確定：在實際測量中常用算術平均值代替真值，用標準偏差估計值代替標準偏差，則測量值xi在區(qū)間以外的，就將數據xi剔除不用。2.統(tǒng)計學的方法處理可疑數據一個可疑數據是否被剔除，與我們給定的置信概率的大小或者說對應的系數c的大小有關，當置信概率給定得過小時，有可能把正常測量值當成異常值剔除；當置信概率給定得過大時，又有可能異常值判別不出。在測量中設法提高測量的精密度，即設法減小測量值的標準偏差，將有利于對可疑數據的判別。如圖P53頁2-11所示：萊特準則：在測量數據為正態(tài)分布且測量次數足夠多時，習慣上取3倍作為判別異常數據的界限。萊特準則的優(yōu)點：方法簡單，使用方便；萊特準則的缺點：它不適用于測量數據為非正態(tài)分布和測量次數較少的情況。實際上用統(tǒng)計學方法剔除異常數據，就必然包含著圖2-11（a）、（b）中的兩種誤差。只不過隨著置信區(qū)間的選擇不同，每種誤差的輕重程度不同而已。所以應根據具體情況確定剔除異常數據的置信區(qū)間。均勻分布可采用1.73作為判據。肖維納準則和格拉布斯準則

小結：當系統(tǒng)誤差的影響可以忽略或已經對其進行了修正的情況下，測量數據的處理可用統(tǒng)計學方法。為了削弱隨機誤差的影響，提高測量結果的可靠性，可增加測量次數。為此可借助于微機來處理數據。見P56頁通用數據處理程序。①

若有多個可疑數據同時超過檢驗所定置信區(qū)間，應逐個剔除，重新計算，再行判別。若有兩個相同數據超出范圍時，應逐個剔除。②

在一組測量數據中，可疑數據應很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。

注意：2.2.3處理系統(tǒng)誤差的一般方法

系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。多次測量求平均不能減少系差。

對系統(tǒng)誤差的處理，一般總是涉及以下幾個方面。設法檢驗系統(tǒng)誤差是否存在；分析可能造成系統(tǒng)誤差的原因，并在測量之前盡力消除之；在測量過程中采取某些技術措施，來盡力消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響；設法估計出殘存的系統(tǒng)誤差的數值或范圍。

㈠系統(tǒng)誤差的判別

⒈不變的系統(tǒng)誤差（恒值系差）

可用前面講的系統(tǒng)誤差的公式來發(fā)現(xiàn)恒值誤差的存在與否

⒉變化的系統(tǒng)誤差（變值系差）①

殘差觀察法：適用于系統(tǒng)誤差比隨機誤差明顯大的情況

存在線性變化的變值誤差周情性變值系差將所測數據及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數據的殘差值的大小和符號的變化，從而判斷是否存在系統(tǒng)誤差及其規(guī)律。

當隨機誤差較大時，可采用如下方法：

②馬利科夫判據：常用于判別累進性系統(tǒng)誤差當n為偶數時，當n為奇數時，

若有累進性系統(tǒng)誤差，M值應明顯異于零。通常M的絕對值不小于最大的殘差絕對值時，則可認為有累進性系統(tǒng)誤差。③阿卑－赫梅特判據：檢驗周期性系差的存在。若則可認為測量中存在變值系差

存在變值系差的測量數據原則上應舍棄不用。㈡測量前盡力消除產生系統(tǒng)誤差的來源

①

要從測量原理和測量方法上盡力做到正確、嚴格。②

測量儀器定期檢定和校準，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大，可采取恒溫、散熱、空氣調節(jié)等措施。④盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應提高測量人員業(yè)務技術水平和工作責任心，改進設備。在開始測量以前應盡量發(fā)現(xiàn)并消除系統(tǒng)誤差來源或設法防止測量受誤差來源的影響，這是消除或減弱系差最好的方法。㈢消除或減弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術

在測量中我們使被測量對指示儀表的作用與某已知的標準量對它的作用相互平衡，這時被測量就等于已知的標準量，這種方法叫做零示法。這種方法主要是為了消除指示儀表不準而造成的誤差例如在作戴維寧定理的實驗中用零示法測開路電壓⒈零示法⒉代替法代替法：是在測量條件不變的情況下，用一個標準已知量去代替被測量，并調整標準量使儀器的示值不變，在這種情況下，

被測量就等于標準量的數值。例如P64頁用代替法測未知電阻⒊交換法（對照法）當估計由于某些因素可能使測量結果產上生單一方向的系統(tǒng)誤差時，我們可以進行兩次測量。交換法：就是利用交換被測量在誤差測量系統(tǒng)中的位置或測量方向等辦法，設法使兩次測量中誤差源對被測量的作用相反。對照兩次測量值，可以檢查出系統(tǒng)誤差的存在，對兩次測量值取平均值，將大大削弱系統(tǒng)誤差的影響。⒋微差法基本思想：當在實際測量中標準量不是連續(xù)可調時，這時只要標準量與被測量的差別較小時，那么它們的作用相互抵消的結果也會使指示儀表的誤差對測量的影響大大減弱。用數學公式說明微差法：設被測量為x,和它相近的標準量為B,被測量與標準量之微差為A,A的數值可由指示儀表讀出。則可推導出：（2-37）由式（2-37）

可見，在采用微差法進行測量時，測量誤差△x/x由兩部分組成：①△B/B為標準量的相對誤差，它一般是很小的；②是指示儀表的相對誤差△A/A與相對微差A/x的積。由于相對微差遠小于1，因此指示儀表誤差對測量的影響被大大地削弱了。微差法可用于標準量不是連續(xù)可調時的情況；同時還有可能在指示儀表上直接讀出被測量的數值（x=A+B），這就使微差法得到了廣泛的應用。㈣系統(tǒng)誤差的修正和系差范圍的估計實際值＝測量值＋修正值應盡力找出系統(tǒng)誤差的大體范圍，即找到系差的上限及下限，然后采取相應措施。在測量中通常可用系統(tǒng)誤差及隨機誤差的標準偏差來反映測量結果的正確和精密程度。問題：在實際測量中，誤差常常來源于許多方面。例如，用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？引出總誤差和分項誤差的概念總誤差和分項誤差：不管某項誤差是由若干因素產生的還是由于間接測量產生的，只要某項誤差與若干分項有關，這項誤差就叫總誤差，各分項的誤差都叫分項誤差或部分誤差。2.3測量誤差的合成與分配在測量工作中，常常需要從下面正反兩個方面考慮總誤差和分項誤差的關系：⑴誤差合成問題：如何根據各分項誤差來確定總誤差？⑵誤差分配問題：當技術上對某量的總誤差限定一定范圍以后，如何確定各分項誤差的數值？㈠測量誤差傳遞公式設某量y由兩個分項x1，x2合成，即，若在一、測量誤差的合成附近各階偏導數存在，則可把y按泰勒級數展開，并且略去高階項，可得：式中同理，當總合y由m個分項合成時，可得：（2-38）式（2-38）及式（2-39）稱為誤差傳播或誤差傳遞公式式（2-38）是求總合絕對誤差的公式對式（2-38）作一變換就可以得到求總合相對誤差的公式：（2-39）看P69-60頁例12、13在實際計算誤差總合時，常常是知道各分項的絕對誤差和相對誤差，求總合的絕對誤差和相對誤差作為一個技巧性問題，若y=f（x1，x2，…xm）的函數關系為和、差關系時，常先求總合的絕對誤差，若函數關系為乘、商或乘方、開方關系時，常先求總合的相對誤差（例14）㈡系統(tǒng)誤差的合成由誤差傳遞公式，很容易求得確定性系統(tǒng)誤差的合成值。即把代入式（2-38）中，并且若測量誤差中各隨機誤差可以忽略，即可得到：（2-41）若為確定性系統(tǒng)誤差，則可由上式直接求出總合的系統(tǒng)誤差由誤差傳遞公式，很容易求得確定性系統(tǒng)誤差的合成值。即把代入式（2-38）中，并且若測量誤差中各隨機誤差可以由誤差傳遞公式，很容易求得確定性系統(tǒng)誤差的合成值。即把代入式（2-38）中，并且若測量誤差中各隨機誤差可以忽略，即可得到：由誤差傳遞公式，很容易求得確定性系統(tǒng)誤差的合成值。即把代入式（2-38）中，并且若測量誤差中各隨機誤差可以忽略，即可得到：由誤差傳遞公式，很容易求得確定性系統(tǒng)誤差的合成值。即把代入式（2-38）中，并且若測量誤差中各隨機誤差可以（2-41）忽略，即可得到：由誤差傳遞公式，很容易求得確定性系統(tǒng)誤差的合成值。即把代入式（2-38）中，并且若測量誤差中各隨機誤差可以若為確定性系統(tǒng)誤差，則可由上式直接求出總合的若系統(tǒng)誤差為確定性系統(tǒng)誤差，則可由上式直接求出總合的若㈢隨機誤差的合成（2-41）同理，若各分項的系統(tǒng)誤差為零，則可求得總合的隨機誤差若x1，x2,…xm為相互獨立的量，并當測量次數n→∞時，可推導出如下公式：（2-42a）上式為各分項方差求總合方差的公式。比較式（2-41）及式（2-42a）可見，確定性誤差是按代數形式總合起來的，而隨機誤差是按幾何形式總合起來的。㈣不確定度的合成不確定度的概念

系統(tǒng)不確定度：指不能確切掌握的系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度。用符號Φ表示。

隨機不確定度：指隨機誤差隨機變化的最大幅度。總誤差的不確定度：由系統(tǒng)誤差和隨機誤差構成的測量總誤差的變化的最大幅度。所謂誤差的變化的最大幅度也不是絕對不能超過的，而是就一定的置信概率而言的。⑴絕對值合成法⒈系統(tǒng)不確定度的合成

認為在m個分項中各分項的不確定度有可能同時取正值或同時取負值，則總合的不確定度為各分項不確定度絕對值的合成，即（2-43a）（2-43b）由例題可知，這種用絕對值合成法求總合不確定度的方法雖然比較安全，但卻偏于保守。因為在分項數目較多時，各分項取同號的概率很小。所以絕對值合成法通常僅用于估計分項數目較少時的總合不確定度。⑵均方根合成法當系統(tǒng)誤差的大小和方向都不能確切掌握時，可以仿照處理隨機誤差的方法來處理系統(tǒng)誤差。如果能知道每個分項的誤差分布形狀和不確定度Φj，對系統(tǒng)誤差定義一個類似與標準偏差的表征項：（2-44a）式中Kj與誤差的分布有關：P78頁表2-1

表征項u（xj）可以用來描述一切并非由相同條件下多次重復測量時用統(tǒng)計學方法計算的不確定度的分散性。

①A類標準不確定度：用統(tǒng)計方法得到的不確定度。②B類標準不確定度：用非統(tǒng)計方法得到的不確定度。

。對于隨機誤差，標準偏差或者說數據的分散性，可以通過多次測量取平均值來減??；而對于系統(tǒng)誤差造成的數據分散性，則不能因多次測量取平均值而減小。

。對于隨機誤差，標準偏差或者說數據的分散性，可以通過多次測量取平均值來減??；而對于系統(tǒng)誤差造成的數據分散性，則不能因多次測量取平均值而減小。

。

除此之外，完全可以按照處理σ（x）同樣的方法來處理u(xj),由此可得總誤差的：：（2-42b）最后根據總合的分布形狀求出總合的不確定度：（2-44b）上面的綜合方法從理論上說雖然比較嚴格，但在實際上卻有一定的困難。下面介紹兩種常用的估計總合不確定度的方法

第一種方法：用幾何方法估計總合的不確定度。（2-45）

由于ky常?？赡艽笥趉j，因此此方法估計總合的不確定度可能偏小。

第二種方法：對于不能確切掌握分布形狀的分項誤差均認為是均勻分布，即取kj=√3，而總合的分布介于均勻分布與正態(tài)分布之間，即取ky

=（√3—3），這樣可得:（2-46）如果系統(tǒng)不確定度雖由若干項組成，但只有一個分項起主要作用，其它項的影響很小，這時亦可不進行合成，而認為總合不確定度只由起主要作用的那個分項決定。⒉同時含有系統(tǒng)誤差和隨機誤差時不確定度的合成當誤差總合中同時含有系統(tǒng)誤差和隨機誤差時，首先應將系統(tǒng)誤差中確定部分和不確定部分離開來，確定部分按式（2-41）進行總合。對于同時包含不確定的系統(tǒng)誤差和隨機誤差的情況，可以完全用類似于處理系統(tǒng)不確定度的方法來估計總合不確定度，即（2-47a）（2-47b）式中式（2-47）稱為廣義均方根法公式。式（2-47a）的一個特例：當只測量一個量x時，求得總不確定度為：（2-47c）式中同時考慮確定性系統(tǒng)誤差：同理，在總合不確定度合成時，若只有一個分項起主要作用，其它項的影響很小，這時亦可不進行合成，而認為總合不確定度只由起主要作用的那個分項決定。特別是對于式（2-47c）這種一個量的系統(tǒng)不確定度與隨機誤差影響的合成情況，當這時就可以用系統(tǒng)誤差不確定度來近似表示測量結果的總不確定度。來近似表示測量結果的總不確定度。這時就可以用系統(tǒng)誤差不確定度來近似表示測量結果的總不確定度。這時就可以用系統(tǒng)誤差不確定度㈤微小誤差準則⒈代數合成中的微小誤差對于確定性系統(tǒng)誤差，可由式（2-41）進行代數合成，若其中第k項為微小誤差，可以將其略去，則應滿足：對于確定性系統(tǒng)誤差，可由式當合成值保留一位有效數字時，當合成值保留一位有效數字時，當合成值保留兩位有效數字時，（2-48a）（2-48b）⒉幾何合成中的微小誤差對于隨機誤差或項數較多的未定系統(tǒng)誤差均采用幾何合成。對隨機誤差，由式若其中第k項為微小誤差，可以將其略去，則應滿足：進行幾何合成，當合成值保留一位有效數字時，當合成值保留兩位有效數字時，（2-48a）（2-48b）（2-49a）（2-49b）上面分析的是代數合成或幾何合成中略去第k項微小誤差的準則，也適用于某幾項誤差的總合可以略去的情況。二、測量誤差的分配給定總誤差后，如何將這個總誤差分配給各分項？㈠等準確度分配：是指分配給各分項的誤差彼此相同，即則由式（2-41）及式（2-42）可以得到分配給各分項的誤差為：（2-50）（2-51）㈡等作用分配：是指分配給各分項的誤差在數值上雖然不一定相同，但它們對測量誤差總合的作用或者說對總合的影響是相同的,即則由式（2-41）及式（2-42）可以得到分配給各分項的誤差為：（2-52）（2-53）㈢抓住主要誤差項進行分配：是指當各分項誤差中第k項誤差特別大時，按照微小誤差準則，若其它項對總合的影響可以忽略，這時就不考慮次要分項的誤差分配問題，只要保證主要項的誤差小于總合誤差即可，既當時，就可以只考慮主要項的影響，即（2-54）（2-55）所謂測量的最佳方案，從誤差角度看就是要做到：三、最佳測量方案的選擇選擇目的：使測量結果的準確度越高即誤差的總合越小越好。（2-56）（2-57）2.4測量數據處理

數據處理：就是對實際測量取得的測量數據進行計算、分析、整理，有時還要把數據歸納成一定的表達式或畫成表格、曲線等等。數據處理是建立在誤差分析的基礎上的。一、有效數字及數字的舍入規(guī)則㈠有效數字對于誤差不大于末位單位數字一半的近似數，則從該近似數左邊第一個非零數字到最末一位數為止的全部數字，稱之為有效數字。例如：3.142 四位有效數字，誤差≤0.00058.700 四位有效數字，誤差≤0.00058.7×103 二位有效數字，誤差≤0.05×103

開頭的零不是有效數字。數字中間的0和末尾的0都是有效數字，不能隨意添加。尤其注意的是：最右邊的一個零也是有效數字，它對應著測量的準確程度。例如：

3.860,不能任意把它改寫為3.86（對應的誤差≤0.005）或3.8600（對應的誤差≤0.00005）

測量數據的絕對值比較大（或比較?。?，而有效數字又比較少的測量數據，應采用科學計數法，即a×10n，a的位數由有效數字的位數所決定。㈡數字的舍入規(guī)則（1）當保留n位有效數字，若后面的數字小于第n位單位數字的0.5就舍掉；（2）當保留n位有效數字，若后面的數字大于第n位單位數字的0.5，則第n位數字進1；（3）當保留n位有效數字，若后面的數字恰為于第n位單位數字的0.5，則第n位數字為偶數或零就舍掉后面的數字，若第n位數字為奇數，則第n位數字加1。小于5舍去——末位不變。大于5進1——在末位增1。等于5時，取偶數例：將下列數據舍入到小數第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入應一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結果為0.69，錯誤做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數規(guī)則，是為了在比較多的數據舍入處理中，使產生正負誤差的概率近似相等。首先，對于測量的誤差值，一般只需取一位到兩位數字；其次，測量結果可用被測量的量值和它的不確定度共同表示。被測量的量值最低位應與誤差最低位對齊。例如：說某電壓為4.32±0.05又如某物理量的量值為63.44，且該量的測量不確定度為0.4，測量結果表示為63.4±0.4。㈢測量結果的表示方法可見，被測量的量值本身低位數字比誤差低位還低時，這時應把多余的位數按舍入規(guī)則處理掉，即從與不確定度對齊處截斷。有效位數應由該測量的不確定度來確定。在有些情況下希望把測量結果用一個數表達，而不要帶著不確定度。這時常在有效數字后面多給出1—2位數字，這樣表示的測量結果的數值稱為有效安全數字。具體作法如下：⑴由誤差或不確定度的大小定出測量值有效數字最低位的位置；⑵從有效數字最低位向右多取1—2位安全數字；⑶根據舍入規(guī)則處理掉其余位數。當一個數據是多個數據運算結果時，一般用如下的一些辦法來根據這多個誤差情況定出它們運算結果：⑴按照誤差合成公式進行誤差合成；

⑵

對于簡單的四則運算，可以通過分析誤差所在的最高位的位置，考慮運算結果的誤差情況；保留的位數原則上取決于各數中準確度最差的那一項。①加法運算 以小數點后位數最少的為準（各項無小數點則以有效位數最少者為準），其余各數可多取一位。例如：

②減法運算：當兩數相差甚遠時，原則同加法運算；當兩數很接近時，有可能造成很大的相對誤差，因此，第一要盡量避免導致相近兩數相減的測量方法，第二在運算中多一些有效數字。

③乘除法運算以有效數字位數最少的數為準，其余參與運算的數字及結果中的有效數字位數與之相等。例如：

→也可以比有效數字位數最少者多保留一位有效數字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結果為35.5。④乘方、開方運算：運算結果比原數多保留一位有效數字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×104另外，當指數的底遠大于1或遠小于1時，指數的誤差對結果的影響較大，對于這種情況，指數應盡可能多保留幾位有效數字。等精度測量：在測量條件完全相同時進行的測量，測量結果的精密度相同，即在相同地點、相同的測量方法和相同測量設備、相同測量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時間內進行的重復測量。不等精度測量：在測量條件不相同時進行的測量，測量結果的精密度將不相同。最常見的不等精度測量還包括在上述相同條件下，每組測量次數不同時，取每組平均值作為測量結果的情況。原因是：二、非等精度測量與加權平均權值與標準偏差的平方成反比：㈠測量結果的權“權”的引出：假設測量的系統(tǒng)誤差為零，那么對非等精度的測量結果來說，精密度高的測量結果是比較可靠的，顯然應該給于更大的重視；反之，精密度低的測量結果重視的程度應該小一些。為此用數值ωj表示第j個測量結果受到重視的程度，稱數值ωj為第j次測量值的“權”。（2-58）式中λ為任意常數——可以看成是單位權的方差。若對某量X進行了m次非等精度測量，得到了m個數據x1、x2、…xm,它們對應的權分別為ω1、ω2、…ωm,那么

如何根據這些數據估計X的數值呢？㈡加權平均可以用一種將非等精度測量等效為等精度測量的方法：它的基本思想是：將每個權為ωj的測量值xj都看成ωj次等精度測量的平均值。

例如：x1、x2、x3的權分別為3、5、2

,則可把它等效為共有（3+5+2）=10次等精度的測量，x1、x2、x3分別為其中3、5、2次測量的平均值。這種等效關系是可逆的，即不同次數等精度測量的平均值也可以等效于不同權的非等精度測量。下面就用上述方法討論X的估計值：首先把m次非等精度測量等效為次等精度測量，各測量值xj等效為ωj次等精度測量的平均值。

非等精度測量值與其權乘積的和等效于n次等精度測量值之和 這樣X的估計值即為：（2-59）式中：等效于ωj次等精度測量值的和，等效于全部等精度測量值的和，等效于全部等精度測量的次數，等效于等精度測量的算術平均值，叫加權平均值㈢加權平均值的方差仍采用上面介紹的將非等精度測量等效為等精度測量的方法來求加權平均值的方差：將m次非等精度測量等效為次等精度測量，每次等精度測量的方差即為單位權的方差，即則加權平均值的方差為：（2-60a）（2-60b）由式可見，在知道了各非等精度測量值的方差以后，可以直接求出加權平均值的方差。設被測量X的概率分布密度為三、最小二乘法與回歸分析㈠最大似然估計其中αβ…為需要估計的參數。若對X有n個獨立測量數據x1、x2、…xn,其中xi的概率分布密度為則n次測量值恰為（x1、x2、…xn）的概率分布密度，若n次測量值恰為（x1、x2、…xn）的概率密度最大，即L最大，這時的αβ…等值可作為它的估計值。這種估計方法叫最大似然估計㈡最小二乘法原理

式中常數參量α、β等有時并不知道，而需要根據測量值來確定。即若上式中有n個未知參數，同時假設測量中不包含誤差，則只要對應n個不同的xi值，測量出n個不同的yi值，就可以用聯(lián)立方程解出這n個未知參數α、β…。但在實際測量中，總存在一定的誤差。這就使y的實測值與由函數關系求出的數值之間含有一定的隨機誤差，即

對于于是就不能再用n個聯(lián)立方程解出這n個未知參數α、β…。但可以用最大似然法來對未知參數進行估計：設δj服從正態(tài)分布，則m次測量值的隨機誤差恰為（δ1、δ1、…δm）的概率密度為上式兩端取對數可得：根據最大似然估計原理，上式中的各δj值應使L或lnL達到最大，此時的α、β等即為估計值。這時就要求從而可得如用殘差代替隨機誤差，則可得（2-61）（2-62a）若上述m次測量為等精度測量，則可設則式（2-62a）變?yōu)椋海?-62b）那么用式（2-62）確定估計值的方法稱為最小二乘法。㈢曲線擬合和回歸分析曲線擬合:當很多量之間并沒有嚴格的函數關系，而只是存在一種不完全確定的相關關系時，針對具體情況，這種相關關系可以用曲線或一個表達式來近似的描述。那么應該用一條什么樣的曲線或者說用一個什么表達式來描述變量y與x之間

的關系才合適呢？這就是曲線的擬合問題。通常在要求不太高的情況下，人們常根據實測數據畫一條平滑曲線，使測量數據大體在這條平滑曲線兩側均勻分布。但這種辦法也有誤差，而且也不容易給出所畫曲線的數學表達式，而后者對計算機處理數據往往是非常必要的。回歸分析：基本思想：如果能對應每個xj測足夠多（理論上為無窮多）個yj，并求出當x=xj時它的數學期望M(yj),則可消除隨機誤差的影響；選用不同的xj，求出對應的M(yj)，用xj與M(yj)的關系畫出的曲線或找出的關系式是比較理想的。這樣作出的曲線稱為y對x的回歸曲線；描述該曲線的方程叫回歸方程。當對應每個xj只測一次或有限次yj的情況下，隨機誤差就不可避免了。這時應該用最小二乘法原理來估計回歸方程中的參數：

即代入所估計的參數后，回歸方程應使殘差的加權平方和最小，在等精度測量中應使殘差的平方和最小?；貧w分析的具體作法是：

⑴確定數學表達式即回歸方程的類型；⑵確定回歸方程中的常參數及常數項α、β等的數值?；貧w方程的類型通常要根據專業(yè)知識來選擇；當從理論上不能確定函數曲線應屬于哪種類型時，可參閱圖2-21幾種常見的函數形式選擇與實測結果相近的形式。在選定了回歸方程的形式以后，式中常系數及常數的估計值應根據最小二乘法原理來確定：對于等精度測量，應滿足因此，解下面的聯(lián)立方程就可以求出α、β等估計值（2-63）式（2-63）的方程式稱為正規(guī)方程。用正規(guī)方程求待定參數的一個特例就是回歸方程為線性