2022-2023學(xué)年寧夏吳忠市兩地聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.下列關(guān)于幾何體特征的判斷正確的是()

A.一個(gè)斜棱柱的側(cè)面不可能是矩形

B.底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐

C.有一個(gè)面是邊形的棱錐一定是棱錐

D.平行六面體的三組對(duì)面中，必有一組是全等的矩形

3.若是夾角為的單位向量，則與的夾角為()

A.B.C.D.

4.在中，，若，則()

A.B.C.D.

5.已知向量，則在上的投影向量為()

A.B.C.D.

6.用平行于正四棱錐底面的平面去截該棱錐，把底面和截面之間的那部分多面體叫做正四棱臺(tái)，經(jīng)過正四棱臺(tái)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做該正四棱臺(tái)的對(duì)角面若正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為，，對(duì)角面面積為，則該棱臺(tái)的體積為()

A.B.C.D.

7.已知直線，與平面，，，則的充分條件可以是()

A.，，B.，，

C.，D.，

8.若線段上的點(diǎn)滿足，則稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)對(duì)于頂角的等腰，若角的平分線交于點(diǎn)，則恰為的一個(gè)黃金分割點(diǎn)利用上述結(jié)論，可以求出()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.設(shè)復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是()

A.“”是“”的必要條件

B.若，則的最大值為

C.若，，則

D.，，關(guān)于的方程在中最多可以有個(gè)解

10.如圖，某八角鏤空窗的邊框呈正八邊形已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，，為正八邊形內(nèi)的點(diǎn)含邊界，在上的投影向量為，則下列結(jié)論正確的是()

A.B.

C.的最大值為D.

11.直三棱柱頂點(diǎn)都在球的表面上，，，側(cè)面?zhèn)让妫瑒t()

A.四棱錐的體積為

B.三棱錐的體積為

C.球的表面積為

D.平面截該三棱柱所得截面的面積為

12.某數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)小組在開展主題為“空中不可到達(dá)兩點(diǎn)的測(cè)距問題”的探究活動(dòng)中，抽象并構(gòu)建了如圖所示的幾何模型，該模型中，均與水平面垂直在已測(cè)得可直接到達(dá)的兩點(diǎn)間距離，的情況下，四名同學(xué)用測(cè)角儀各自測(cè)得下列四組角中的一組角的度數(shù)，其中一定能唯一確定，之間的距離的有()

A.，，B.，，

C.，，D.，，

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，為滿足的點(diǎn)的集合所對(duì)應(yīng)的圖形，則的面積為______．

14.已知，若非零向量與的夾角等于與的夾角，則的坐標(biāo)可以是______寫出一個(gè)滿足題意要求的向量的坐標(biāo)即可

15.已知圓錐的母線長(zhǎng)為，軸截面過圓錐的軸的平面截圓錐所得截面等腰三角形的頂角記為，是底面圓的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)若側(cè)面展開圖中，為直角三角形，則______，該圓錐中過兩條母線的最大截面的面積為______．

16.在三棱錐中，，平面，，，則與所成的角的余弦值為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

等腰梯形中，，，，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

設(shè)，試用表示和；

求與夾角的余弦值．

18.本小題分

在中，，是的中點(diǎn)．

求的內(nèi)角的余弦值；

設(shè)在直線上，試確定滿足的點(diǎn)的具體位置．

19.本小題分

在平面四邊形中，點(diǎn)，在直線的兩側(cè)，，，四個(gè)內(nèi)角分別用，，，表示，．

求；

求與的面積之和的最大值．

20.本小題分

四棱錐中，，，．

求證：平面平面；

當(dāng)平面時(shí)，求直線與平面所成的角的正切值．

21.本小題分

如圖，在中，點(diǎn)是的內(nèi)心，過點(diǎn)且平行于的直線與，分別相交于點(diǎn)，，，的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別記為，，．

求的值；

若，求的取值范圍．

22.本小題分

如圖，在正三棱柱中，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在直線上，對(duì)于線段上異于兩端點(diǎn)的任一點(diǎn)，恒有平面．

求證：平面平面；

當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：復(fù)數(shù)

，

的共軛復(fù)數(shù)為，

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第三象限．

故選：．

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求得的共軛復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到所求象限．

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，所以棱柱的側(cè)面可能是矩形，只要相鄰的兩個(gè)側(cè)面不都為矩形即可，所以一個(gè)斜棱柱的側(cè)面可以是矩形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B，正棱錐的定義：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心．所以底面是正多邊形的棱錐不一定是正棱錐，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C，一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．底面為邊形則稱為棱錐，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體．如圖所示的平行六面體的三組對(duì)面都為平行四邊形，

所以平行六面體的三組對(duì)面中不一定有一組全等的矩形，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選：．

由空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及定義逐一判斷各選項(xiàng)即可．

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：是夾角為的單位向量，

，

，

，

，

，

，．

故選：．

由平面向量的數(shù)量積與夾角公式計(jì)算即可．

本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：在中，由正弦定理得：，

，

，．

故選：．

由正弦定理直接計(jì)算可得．

本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：，

，，

在上的投影向量為．

故選：．

利用投影向量的定義求解．

本題主要考查了投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：如圖，

正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為，，，，

設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則，得．

正四棱臺(tái)上底面面積為，下底面面積為，

則該棱臺(tái)的體積為．

故選：．

由題意畫出圖形，求出正四棱臺(tái)的高，再由棱臺(tái)體積公式求解．

本題考查棱臺(tái)體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：由，，，可得或與相交，相交也不一定垂直，故A錯(cuò)誤；

由，，，不一定有，也可能是相交不垂直，故B錯(cuò)誤；

由，，可得或與相交，相交也不一定垂直，故C錯(cuò)誤；

由，，可得，即，是的充分條件，故D正確．

故選：．

由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系結(jié)合充分條件的判定逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系與充分條件的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：如圖，設(shè)，，則，

是的黃金分割點(diǎn)，則，

，即，

解得或舍，

，

又因?yàn)槠椒?，可得?/p>

為等腰三角形，

取的中點(diǎn)，則，

在中，．

故選：．

由條件是的黃金分割點(diǎn)可求得，再解三角形即可．

本題考查平面幾何中的計(jì)算問題，還考查了邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對(duì)于：若““，則，，

所以，

所以““是““是必要條件，故A正確；

對(duì)于：因?yàn)椋?/p>

所以，即，

所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，

，

所以，

表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，最大距離為，

所以的最大值為，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于：若，，則，

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于：對(duì)于方程，，

所以，

所以，

所以，

若，則有，

，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，此時(shí)復(fù)數(shù)有個(gè)，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，此時(shí)復(fù)數(shù)有個(gè)，

當(dāng)時(shí)，無根，此時(shí)復(fù)數(shù)不存在，

若，則有，

，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，此時(shí)復(fù)數(shù)有個(gè)，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，此時(shí)復(fù)數(shù)有個(gè)，

當(dāng)時(shí)，無根，此時(shí)復(fù)數(shù)不存在，

綜上所述，復(fù)數(shù)最多有個(gè)，故D正確．

故選：．

對(duì)于：若““，則，，則，由充要條件的定義，即可判斷是否正確；

對(duì)于：根據(jù)題意可得，即，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，，則，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大，即可判斷是否正確；

對(duì)于：若，，則，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，即可判斷是否正確；

對(duì)于：根據(jù)題意可得，若，則有，若，則有，判斷方程根的個(gè)數(shù)，即可判斷是否正確．

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，解題中需要理清思路，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：對(duì)于，，A正確；

對(duì)于，，B正確；

對(duì)于，由幾何關(guān)系，當(dāng)為或向量時(shí)，在上的投影最大，投影向量為

，即，C錯(cuò)誤；

對(duì)于，根據(jù)幾何關(guān)系，當(dāng)位于點(diǎn)，在上的投影量最小，取得最小值為，

當(dāng)位于點(diǎn)，在上的投影量最大，取得最大值為，D正確．

故選：．

用八邊形的邊向量表示其他向量，而后求向量的數(shù)量積．

本題主要考查平面向量的數(shù)量積，結(jié)合幾何關(guān)系對(duì)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題．

11.【答案】

【解析】解：如圖，

在直三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让妫茫?/p>

，，得，又，可得．

，

由等體積法可得：，

得四棱錐的體積為，三棱錐的體積為，故AB正確；

由分割補(bǔ)形法可得直三棱柱的外接球的半徑．

球的表面積為，故C正確；

平面截該三棱柱所得截面為三角形，其中，，，

則，，

截面面積，故D錯(cuò)誤．

故選：．

由題意畫出圖形，可得，求出棱柱的體積，由等體積法判斷；由分割補(bǔ)形法求出球的半徑，得到外接球的表面積判斷；求出截面面積判斷．

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

12.【答案】

【解析】解：記，，，，，

，，，，，，

，．

先從選項(xiàng)入手：已知，，，，，在中，

由，可確定；同理，在中，可確定；

在中，由，，及余弦定理，可確定，故C正確．

再考察選項(xiàng)：已知，，，，，在中，由，，及余弦定理，

可確定；在中，由，可確定；

同理，在中，可確定；

由，可確定，故D正確．

選項(xiàng)：已知，，，，，同選項(xiàng)，可確定，；

在中，已知，，，解三角形知可能有兩解．

例如：若，，，解得或，

代入使也有兩個(gè)值，故A錯(cuò)誤．

選項(xiàng)：已知，，，，，同，選項(xiàng)，可確定，，；

在中，由勾股定理，得，

在中，由余弦定理，得，

聯(lián)立，得，

解此關(guān)于，的二元方程組，可得，

但此二元二次方程組可能有兩解，

例如若，，，，

得，解得或，故B錯(cuò)誤．

故選：．

先設(shè)長(zhǎng)度，角度，利用兩個(gè)直角三角形，中的邊角關(guān)系，并且利用三角形中的正余弦定理，可判斷各個(gè)選項(xiàng)，是否滿足唯一確定，之間的距離．

本題考查正余弦定理，考查解直角三角形，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：滿足條件的集合是以原點(diǎn)為圓心，以及為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，包括內(nèi)邊界，但不包括外邊界，

故的面積為．

故答案為：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：設(shè)，

，

，

非零向量與的夾角等于與的夾角，

，即，

，

可取．

故答案為：，答案不唯一．

設(shè)，再求出向量與的夾角和與的夾角，由非零向量與的夾角等于與的夾角得到，的方程即可求得．

本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)圓錐的底面半徑為，

因?yàn)?，且為直角三角形，則，

又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，

可得為等邊三角形，即展開圖中，

故側(cè)面展開圖的圓心角為，

則有，解可得，

在軸截面等腰三角形，有，

易得：，其中，

故該圓錐中過兩條母線的最大截面為，其面積．

故答案為：；．

根據(jù)題意，設(shè)圓錐的底面半徑為，由側(cè)面展開圖中，為直角三角形，分析可得側(cè)面展開圖的圓心角，由此求出的值，在軸截面三角形中，分析可得答案．

本題考查圓錐的幾何結(jié)構(gòu)，涉及圓錐的側(cè)面展開圖，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：分別過，作，的平行線交于點(diǎn)，連接，

或其補(bǔ)角為與所成的角，

，平面，，

，

，，

，，

，

在中，由余弦定理可得

，，，

在中，，

與所成的角的余弦值為．

故答案為：．

分別過，作，的平行線交于點(diǎn)，連接，可得或其補(bǔ)角為與所成的角，利用余弦定理可求與所成的角的余弦值．

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題．

17.【答案】解：如圖所示，作，，垂足分別為，，

在中，，，

，同理，，

，

；

因?yàn)榕c夾角的余弦值也就是與夾角的余弦值，

所以只需求與夾角的余弦值即可．

先求出，

．

【解析】由平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算可得；

由平面向量數(shù)量積與夾角公式直接計(jì)算即可求得．

本題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積與夾角，屬于中檔題．

18.【答案】解：在中，由題意及余弦定理可得：；

則，設(shè)，則，

設(shè)，，，由題意可得，

法設(shè)，則，即，

可得，，

因?yàn)?，所以?/p>

即，

由可得，，

即，

設(shè)，即，則，

即為線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)．

法因?yàn)橹本€的方程為，

，由題意可得直線的斜率，

所以直線的方程為：，，

聯(lián)立可得，，因?yàn)椋?/p>

所以為的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)．

【解析】由題意及余弦定理可得的值；

法由可得的值，設(shè)的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得的長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)，，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的坐標(biāo)，設(shè)的坐標(biāo)，由在直線時(shí)，可得的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，求出，的坐標(biāo)，由題意可得，可得的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，兩式聯(lián)立，可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得在直線的位置；

法由可得的值，設(shè)的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得的長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)，，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的坐標(biāo)，求出直線的方程，再求直線的斜率，由題意可得的斜率，進(jìn)而求出直線的方程，再由在直線時(shí)，兩式聯(lián)立，可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得在直線的位置．

本題考查直線與直線的解得的求法，點(diǎn)的位置的確定方法，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．

19.【答案】解：在中，由余弦定理，得，

，，，

，即，

，

；

設(shè)，，

，，

，，，四點(diǎn)共圓，且為該圓的直徑，

，，

，，

在中，，，

，

因?yàn)?，?/p>

，，，

當(dāng)即時(shí)，，

與的面積和的最大值為．

【解析】在中，由余弦定理可求得，再由勾股定理的逆定理即可求得；

設(shè)，，根據(jù)題中條件和圓的相關(guān)性質(zhì)將和用表示出來，再由三角恒等變換知識(shí)化簡(jiǎn)后求三角函數(shù)的值域即可．

本題考查正余弦定理和三角恒等變換，三角函數(shù)值域的綜合，屬于中檔題．

20.【答案】解：證明：取中點(diǎn)，

因?yàn)椋?/p>

所以，

因?yàn)?，，?/p>

所以四邊形是正方形，

所以，，

所以，

，

，

在中，，

所以，

在中，，

所以，

又，

所以面，

又面，

所以平面平面．

如圖建立空間直角坐標(biāo)，

所以，，，，，

，

設(shè)平面的法向量，

，即，

所以，

令，則，，

所以，

設(shè)直線與平面所成的角為，

，，

，

．

【解析】取中點(diǎn)，根據(jù)題意可得四邊形是正方形，解得，，，進(jìn)而推出，，由線面垂直的判定定理可得面，由面面垂直的判定定理，即可得