概率與數(shù)理統(tǒng)計第二章2課件

第二章事件的概率第二節(jié)事件的概率歷史上概率的三次定義③公理化定義②統(tǒng)計定義①古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出1設(shè)在n

次試驗中，事件A

發(fā)生了m

次，

頻率則稱為事件A發(fā)生的頻率2頻率的性質(zhì)

事件A,B互斥，則可推廣到有限個兩兩互斥事件的和事件非負(fù)性歸一性可加性穩(wěn)定性某一定數(shù)

3投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù)

n=4040,nH

=2048,fn(H)=0.5069

n=12000,nH

=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH

=12012,fn(H)=0.5005頻率穩(wěn)定性的實例

蒲豐(Buffon

)投幣

皮爾森(Pearson)投幣4例

DeweyG.統(tǒng)計了約438023個英語單詞中各字母出現(xiàn)的頻率,發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.00065頻率的應(yīng)用第七章指出:當(dāng)試驗次數(shù)較大時有事件發(fā)生的概率事件發(fā)生的頻率根據(jù)如下百年統(tǒng)計資料可得世界每年發(fā)生大地震的概率6近百年世界重大地震1905.04.04克什米爾地區(qū)8.088萬1906.08.17智利瓦爾帕萊索港地區(qū)

8.4

2

1917.01.20印度尼西亞巴厘島1.5萬1920.12.16中國甘肅8.610萬1923.09.01日本關(guān)東地區(qū)7.914.2萬1935.05.30巴基斯坦基達地區(qū)7.55萬

時間地點級別死亡“重大”的標(biāo)準(zhǔn)①震級7級左右②

死亡5000人以上7

時間地點級別死亡1948.06.28日本福井地區(qū)7.30.51萬1970.01.05中國云南7.71萬1976.07.28中國河北省唐山7.824.21978.09.16伊朗塔巴斯鎮(zhèn)地區(qū)7.9

1.5

1995.01.17日本阪神工業(yè)區(qū)7.20.6萬1999.08.17土耳其伊茲米特市7.41.7萬2003.12.26伊朗克爾曼省6.83萬2004.12.26印尼蘇門答臘島附近海域

9.015萬世界每年發(fā)生大地震概率約為14%8

概率的統(tǒng)計定義第一節(jié)概率的概念在相同條件下重復(fù)進行的n

次試驗中,事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動,

且隨n越大擺動幅度越小,則稱p為事件A

的概率,記作P(A).對本定義的評價優(yōu)點：直觀易懂缺點：粗糙模糊不便使用9概率滿足:10設(shè)隨機試驗E

具有下列特點：

基本事件的個數(shù)有限每個基本事件等可能性發(fā)生則稱

E

為

古典(等可能)概型古典概型中概率的計算：記

則第二節(jié)古典（等可能）概型

概率的古典定義第二節(jié)古典概型11

例1一批產(chǎn)品由90件正品和10件次品組成，從中任取一件，問取得正品的概率多大？

解設(shè)“取得一件產(chǎn)品是正品”這一事件為A，則因為每一件產(chǎn)品都有可能被抽出來，總的抽取方法有（90+10）種，而取得正品的取法有90種，按古典概率的定義，所求概率為P(A)==0.9排列組合是計算古典概率的重要工具。12

例2一批產(chǎn)品由95件正品和5件次品組成，連續(xù)從中抽取兩件，第一次取出后不再放回，問第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？解用A表示事件“第一次取得正品且第二次取得次品”，由于是無放回地抽取，應(yīng)用乘法原理可知總的抽取方法有：100×99種，而第一次抽正品的方法有95種，第二次取次品的方法有5種，則A中包含的抽取方法13例3在例2中，若仍是不放回抽取兩件產(chǎn)品，要求計算“抽得一件為正品，一件為次品”，的概率。共95×5種，所求概率為：解

設(shè)A表示“第一次抽得正品且第二次抽得次品”，B表示“第一次抽得次品且第二次抽得正品”，顯然A與B是互斥事件，（A+B）14表示事件“一次取得正品，一次取得次品”，從而所求概率為：15例4

袋中有a

只白球，b

只紅球，從袋中按不放回與放回兩種方式取m個球（),求其中恰有k

個（）白球的概率解

（1）不放回情形例416E1:球編號,一次取m

個球,記下顏色1:記事件A

為m個球中有k個白球，則因此稱超幾何分布17（2）放回情形E2:球編號,任取一球,記下顏色,放回去,重復(fù)

m

次2:記B

為取出的m個球中有k個白球,則稱二項分布18設(shè)有k

個不同的球,每個球等可能地落入N

個盒子中（）,設(shè)每個盒子容球數(shù)無限,求下列事件的概率:（1）某指定的k

個盒子中各有一球；（4）恰有k

個盒子中各有一球；（3）某指定的一個盒子沒有球；（2）某指定的一個盒子恰有m

個球()（5）至少有兩個球在同一盒子中；（6）每個盒子至多有一個球.例5

（分房模型）例519解設(shè)(1)~(6)的各事件分別為則20例5的“分房模型”可應(yīng)用于很多類似場合“球”可視為人“盒子”相應(yīng)視為房子信封信鑰匙門鎖女舞伴生日人男舞伴21解例6

在0,1,2,3,,9中不重復(fù)地任取四個數(shù)，求它們能排成首位非零的四位偶數(shù)的概率.設(shè)A為“能排成首位非零的四位偶數(shù)”四位偶數(shù)的末位為偶數(shù),故有種可能而前三位數(shù)有種取法,由于首位為零的四位數(shù)有種取法,所以有利于A發(fā)生的取法共有種.例6221o

明確所作的試驗是等可能概型,有時需設(shè)計符合問題要求的隨機試驗,使其成為等可能概型.3o計算古典概率時須注意應(yīng)用概率計算的有關(guān)公式,將復(fù)雜問題簡單化.2o同一題的樣本空間的基本事件總數(shù)隨試驗設(shè)計的不同而不同,如例3不放回試驗的兩種不同設(shè)計.一般越小越好.計算古典概率注意事項23若P(A)0.01,則稱A為小概率事件.小概率事件

一次試驗中小概率事件一般是不會發(fā)生的.若在一次試驗中居然發(fā)生了,則可懷疑該事件并非小概率事件.小概率原理————小概率原理(即實際推斷原理)24例7

區(qū)長辦公室某一周內(nèi)曾接待過9次來訪,這些來訪都是周三或周日進行的,是否可以斷定接待時間是有規(guī)定的？解

假定辦公室每天都接待，則P(9次來訪都在周三、日)==0.0000127這是小概率事件,一般在一次試驗中不會發(fā)發(fā)生.現(xiàn)居然發(fā)生了,故可認(rèn)為假定不成立,從而推斷接待時間是有規(guī)定的.

例725例8(抽獎問題)設(shè)某超市有獎銷售,投放n張獎券,只有一張有獎.每位顧客可抽一張.求第k位顧客中獎的概率。（1≤k≤n）

解依問題的實際情況，抽獎券是不放回抽樣。記A為欲求概率的事件，到第k個顧客為止試驗的樣本點總數(shù)為n*(n-1)*…*(n-k+1)，有利于A的樣本點必須是：前k-1個顧客未中獎，而第k個顧客中獎。因而有利A的樣本點數(shù)為（n-1）*…(n-k+1)，于是

26此結(jié)果表明，抽獎活動與抽獎先后無關(guān)，對所有參與者都是公平的。27引例

某人的表停了，他打開收音機聽電臺報時，已知電臺是整點報時的，問他等待報時的時間短于十分鐘的概率9點10點10分鐘第三節(jié)幾何概型(等可能概型的推廣)第三節(jié)幾何概型例528幾何概型

設(shè)樣本空間為有限區(qū)域,若樣本點落入內(nèi)任何區(qū)域G

中的概率與區(qū)域G

的測度成正比,則樣本點落入G內(nèi)的概率為29例9

兩船欲停同一碼頭,兩船在一晝夜內(nèi)獨立隨機地到達碼頭.若兩船到達后需在碼頭停留的時間分別是1小時與2小時，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達時，需要等待空出碼頭的概率.解設(shè)船1到達碼頭的瞬時為x,0x<24

船2到達碼頭的瞬時為y,0y<24設(shè)事件A

表示任一船到達碼頭時需要等待空出碼頭例930xy2424y=xy=x+1y=x-231

設(shè)

是隨機試驗E的樣本空間，若能找到一個法則，使得對于E

的每一事件

A賦于一個實數(shù)，記為P(A),稱之為事件A的概率，這種賦值滿足下面的三條公理：非負(fù)性：規(guī)范性：完全可加性：其中為兩兩互斥事件，概率的公理化理論由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立.

第四節(jié)

概率的公理化定義第四節(jié)公理化定義32概率的性質(zhì)

有限可加性:設(shè)

兩兩互斥

若33

對任意兩個事件A,B,有

BAB=AB+(B–A)P(B)=P(AB)+P(B–AB)

B-ABAB34

加法公式：對任意兩個事件A,B,有

推廣：35一般：右端共有項.36例10

小王參加“智力大沖浪”游戲,他能答出甲、乙二類問題的概率分別為0.7和0.2,兩類問題都能答出的概率為0.1.求小王解事件A,B分別表示“能答出甲,乙類問題”(1)(1)答出甲類而答不出乙類問題的概率(2)至少有一類問題能答出的概率(3)兩類問題都答不出的概率(2)(3)例1037

例11已知某城市中有50%的用戶訂日報，65%的用戶訂晚，85%用戶至少報中的一種，問同時訂兩種報的用戶占百分之幾？

解設(shè)“用戶訂日報”事件為A,”用戶訂晚報”事件為B，則“訂兩種報中的一種”為由已知，則所求概率為即同時訂兩種報的用戶占30%38例12“分房模型”的應(yīng)用計科系二年級有n

個人，求至少有兩人生日相同（設(shè)為事件A)的概率.解為n

個人的生日均不相同,這相當(dāng)于本問題中的人可被視為“球”，365天為365只“盒子”若n=

64，每個盒子至多有一個球.由例4（6）39作業(yè)P15習(xí)題二

2,4,6,9,10,1140完全可加性隨機地向區(qū)間(0,1]投擲一個質(zhì)點，令事件

A

為該質(zhì)點落入?yún)^(qū)間

事件

Ak

為該質(zhì)點落入?yún)^(qū)間01（]A](0](]((](]](附錄4142排列組合有關(guān)知識復(fù)習(xí)加法原理：完成一件事情有n

類方法，第i

類方法中有mi

種具體的方法，則完成這件事情共有種不同的方法乘法原理：完成一件事情有n

個步驟，第i

個步驟中有mi

種具體的方法，則完成這件事情共有種不同的方法43排列

從n個不同的元素中取出m

個(不放回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有全排列可重復(fù)排列

從n

個不同的元素中可重復(fù)地取出m

個排成一排,不同的排法有種44不盡相異元素的全排列

n

個元素中有m

類，第

i類中有

個相同的元素，將這n

個元素按一定的次序排成一排，種不同的排法共有45，不同的分法共有多組組合把n

個元素分成

m

個不同的組（組編號），各組分別有個元素，種組合從n個不同的元素中取出m

個(不放回地）組成一組，不同的分法共有46將15名同學(xué)(含3名女同學(xué)),平均分成三組.求(1)每組有1名女同學(xué)(設(shè)為事件A)的概率；(2)3名女同學(xué)同組(設(shè)為事件B)的概率解（1）（2）例13

47例14

把標(biāo)有1,2,3,4的4個球隨機地放入標(biāo)有1,2,3,4的4個盒子中，每盒放一球，求至少有一個盒子的號碼與放入的球的號碼一致的概率解

設(shè)A

為所求的事件設(shè)Ai

表示i號球入

i號盒，

i=1,2,3,4則48由廣義加法公式49補充作業(yè)

設(shè)事件A,B,C

同時發(fā)生必導(dǎo)致事件D發(fā)生，則50

柯爾莫哥洛夫

(A.H.Колмогоров1903-1987)

1939年任蘇聯(lián)科學(xué)院院士.先后當(dāng)選美,法,意,荷,英,德等國的外籍院士及皇家學(xué)會會員.為20世紀(jì)最有影響的俄國數(shù)學(xué)家.俄國數(shù)學(xué)家51柯爾莫哥洛夫為開創(chuàng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一系列重要分支作出重大貢獻.他建立了在測度論基礎(chǔ)上的概率論公理系統(tǒng),奠定了近代概率論的基礎(chǔ).他又是隨機過程論的奠基人之一,其主要工作包括:20年代關(guān)于強大數(shù)定律、重對數(shù)律的基本工作;521933