高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案第二章3第1課時數(shù)乘向量

第1課時數(shù)乘向量[核心必知]1．數(shù)乘向量(1)定義：一般地，實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa.它的長度和方向分別為：①長度：|λa|＝|λ||a|；②方向：當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0，方向任意．(2)幾何意義：λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(|λ|>1)或壓縮(|λ|<1)為原來的|λ|倍．(3)運算律設(shè)a，b為向量，λ，μ為實數(shù)．①結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a；②第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；③第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．2．向量的線性運算向量的加法、減法和實數(shù)與向量積的綜合運算，通常叫作向量的線性運算(或線性組合)．3．向量共線定理判定定理a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線性質(zhì)定理若向量b與非零向量a共線，則存在一個實數(shù)λ，使得b＝λa[問題思考]1．數(shù)乘向量是數(shù)量還是向量？提示：數(shù)乘向量仍是一個向量，它既有大小又有方向，且與原向量共線．2．當λ＝0時，λa＝0，那么當λ≠0時，若a＝0，也有λa＝0，對嗎？提示：正確．3．向量共線定量為什么規(guī)定a是非零向量？提示：是為了保證λ的存在性與唯一性．若a＝b＝0時，實數(shù)λ仍然存在，但λ是任意實數(shù)，不唯一；若a＝0，b≠0時，則不存在實數(shù)λ，使b＝λa.講一講1．已知a、b為兩非零向量，試判斷下列說法的正誤，并說明理由．(1)2a與a的方向相同，且2a的模是a的模的兩倍；(2)－2a與5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的eq\f(2,5)倍；(3)－eq\f(1,2)a與eq\f(1,2)a是一對相反向量；(4)a－b與－(b－a)是一對相反向量．[嘗試解答](1)正確，∵2>0，∴2a與a的方向相同，且|2a|＝2|a|；(2)正確，∵－2<0，5>0，∴－2a與5a的方向相反，又eq\f(|－2a|,|5a|)＝eq\f(2|a|,5|a|)＝eq\f(2,5)，∴|－2a|＝eq\f(2,5)×|5a|；(3)正確，因為|－eq\f(1,2)a|＝eq\f(1,2)|a|＝|eq\f(1,2)a|，且－eq\f(1,2)a與a反向，eq\f(1,2)a與a同向；(4)錯誤，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b與－(b－a)是相等向量，而不是相反向量．理解數(shù)乘向量要抓住兩點：一是大小，二是方向．設(shè)λ，μ∈R，a≠0若λμ<0，則λa與μa的方向相反，若λμ>0，則λa與μa的方向相同；若λμ＝0，則λa，μa至少有一個為0；當λμ≠0時，eq\f(|λa|,|μa|)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ,μ))).練一練1．如圖，已知向量a，b，c，求作向量3a－2b＋eq\f(1,2)c.解：法一：在平面內(nèi)任取一點A，作＝3a，＝－2b，＝eq\f(1,2)c，連接AD，則＝3a－2b＋eq\f(1,2)c即為所求．(如圖所示)法二：在平面內(nèi)任取一點A，作＝3a，＝2b，連接BC，則＝－＝3a－2b，再作＝eq\f(1,2)c，連接CD，則＝3a－2b＋eq\f(1,2)c即為所求(如圖所示)．法三：在平面內(nèi)任取一點A，作＝3a，＝－2b，以AB，AC為鄰邊作?ABDC，連接AD，則＝3a－2b，再作＝eq\f(1,2)c，連接AE(如圖)．則＝3a－2b＋eq\f(1,2)c即為所求．講一講2．(1)eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（2a＋8b）－（4a－2b）))的運算結(jié)果是()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a(chǎn)－b(2)若a＝b＋c，則3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a－b)＝________(用b，c)表示．[嘗試解答](1)eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋8b))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－2b))))＝eq\f(1,3)(a＋4b－4a＋2b)＝eq\f(1,3)(－3a＋6b)＝－a＋2b＝2b－a.故選B(2)∵a＝b＋c∴3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a－b)＝3a＋6b－6b－2c－2a＋2b＝a＋2b－2c＝b＋c＋2b－2c＝3b－c.[答案](1)B(2)3b－c1．向量的線性運算是指向量的加法、減法和數(shù)乘向量的運算．其運算法則在形式上類同實數(shù)加、減法與乘法滿足的運算法則，但它們的具體含義是不同的，不過由于它們在形式上類似，因此，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項等變形手段在向量的線性運算中都可以使用．2．若需要結(jié)合幾何圖形進行向量的線性運算，則要注意使用三角形法則或平行四邊形法則，并正確利用數(shù)乘向量的幾何意義，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．練一練如圖，?OADB中，向量＝b，，試用a，b表示.講一講3．設(shè)e1，e2是兩個不共線向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.(1)求證：A、B、D三點共線；(2)若＝3e1－ke2，且B、D、F三點共線，求k的值．[嘗試解答](1)由已知得＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵＝2e1－8e2，∴，又有公共點B.∴A、B、D三點共線．(2)由(1)可知＝3e1－ke2，且B、D、F三點共線，得，即3e1－ke2＝λe1－4λe2得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ，))解得k＝12.1．向量共線的判定定理的主要作用是判斷兩個向量是否共線，進而可解決諸點是否共線問題．2．利用向量證明三點共線時，一般是把“共線”問題轉(zhuǎn)化為“向量關(guān)系a＝λb”，通過向量關(guān)系得到“三點共線”的結(jié)論．3．利用向量共線的性質(zhì)定理，并結(jié)合向量的線性運算，可由向量共線(或三點共線)求相關(guān)的參數(shù)的值．練一練3．如圖，在△ABC中，D為BC的中點，M為AD的中點，，判斷B、M、N三點是否共線．解：∵D為BC的中點，∴B、M、N三點共線．如圖所示，在△ABO中，＝，AD與BC相交于點M，設(shè)＝b.試用a和b表示向量.[巧思]既然能用a、b表示，那么不妨設(shè)＝ma＋nb，利用向量共線定理建立方程，用方程的思想方法求解．即(m－1)a＋nb＝t(－a＋eq\f(1,2)b)，∴(m－1)a＋nb＝－ta＋eq\f(1,2)tb.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＝－t，,n＝\f(t,2)，))消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb＝t1(－eq\f(1,4)a＋b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t1，,n＝t1，))消去t1得，4m＋n＝1.②由①②得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,7)，∴OM→＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)與－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a(chǎn)與λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a解析：選C對于A，∵λ的正反未定，∴a與－λa的方向可能相同，也可能相反，∴A不正確；對于B，|－λa|＝|λ|×|a|，λ的值未定，有可能|λ|×|a|<|a|，如λ＝eq\f(1,2)時，eq\f(1,2)|a|<|a|，∵B不正確；對于C，∵λ≠0，∴λ2>0，∴a與λ2a的方向相同，C正確；對于D，|－λa|＝|λ|×|a|是一個實數(shù)，而|λ|a是一個向量，二者不能相等，∴D不正確．2．已知向量a，b，且＝7a－2b，則一定共線的三點是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D又∵有公共點BD，AB有公共點B，∴A、B、D三點共線．3.如圖，向量的終點在同一直線上，且＝p，＝r，則下列等式中成立的是()A．r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)qB．r＝－p＋2qC．r＝eq\f(3,2)p－eq\f(1,2)qD．r＝－q＋2p4．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，則(eq\f(1,3)a－b)－3(a＋eq\f(2,3)b)＋(2b－a)＝________．解析：(eq\f(1,3)a－b)－3(a＋eq\f(2,3)b)＋(2b－a)＝(eq\f(1,3)－3－1)a＋(－1－2＋2)b＝－eq\f(11,3)a－b＝－eq\f(11,3)(3i－4j)－(5i＋4j)＝(－11－5)i＋(eq\f(44,3)－4)j＝－16i＋eq\f(32,3)j.答案：－16i＋eq\f(32,3)j5．在△ABC中，D在線段BC上，＋n，則eq\f(m,n)＝________.∴m＝eq\f(1,3)，n＝eq\f(2,3)，故eq\f(m,n)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線，向量c＝2e1－9e2，問是否存在非零實數(shù)λ，μ，使d＝λa＋μb與c共線？解：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應(yīng)存在實數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))∴λ＝－2μ.故存在非零實數(shù)λ，μ，只要λ＝－2μ就能使d與c共線．一、選擇題1．已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向解析：選D∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb.又∵a，b不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝－λ.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,k＝－1.))∴c＝－d，∴c與d反向．2．已知O、A、M、B為平面上四點，且＋(1－λ)·，λ∈(1,2)，則()A．點M在線段AB上B．點B在線段AM上C．點A在線段BM上D．O、A、M、B四點共線∵λ∈(1，2)，∴點M在線段AB的延長線上，即點B在線段AM上．3．已知A、B、C三點共線，O是這條直線外的一點，滿足，則λ的值為()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)四邊形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，則()二、填空題5．點C在線段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，則＝________.解析：∵eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，∴點C為線段AB的5等分點，答案：eq\f(3,5)－eq\f(2,5)6．若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(c＋b－3x)＋b＝0，其中a、b、c為已知向量，則未知向量x＝________．解析：由已知可得eq\f(7,2)x－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c＝0，∴x＝eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c.答案：eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c7．已知△ABC和點M滿足m使得成立，則m＝________.答案：38．D、E、F分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的中點，且＝a，＝b，給出下列命題：其中所有正確命題的序號為________．解析：∵D、E、F分別是BC、CA、AB的中點．＝(eq\f(1,2)a－b)＋(－a＋eq\f(1,2)b)＋(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b)＝0.故②③④正確．答案：②③④三、解答題9．設(shè)兩個非零向量e1，e2不共線，已知＝e1＋3e2，＝