結構動力學多自由系統(tǒng)的振動課件

2023/7/231

多層房間的側向振動、不等高排架的振動、塊式基礎的水平回轉振動等，作為多自由度體系進行分析。（multi-degreeoffreedomsystem）2023/7/232

對具有無限個自由度的彈性結構，精確地處理其振動問題：

有時是非常困難的，在某些情況下也并不必要。在某些特定條件下可對問題作一些簡化假定，使一個無限自由度體系離散為有限多個自由度體系，

使原來的問題變得容易求解，能獲得原結構體系的主要屬性和特征。2023/7/233§3.1兩個自由度體系的自由振動

針對兩個自由度體系；介紹三種常用的方法：平衡力系法剛度法柔度法2023/7/2341、平衡力系法如圖，兩集中質量和通過三個彈簧、和相互聯(lián)結，在任意一時刻它們偏離其平衡位置的水平位移分別為和2023/7/235根據兩質量塊的平衡條件，可以得到：2023/7/236表示成矩陣形式：式中：整理：2023/7/237寫成一般形式：對于圖中結構體系，有2023/7/238

假設兩個質點為簡諧振動，上式的解設為：

位移振幅和，以及頻率和相位角均為待定參數。2023/7/2391）、在振動過程中，兩個質點具有相同的頻率和相同的相位角。2）、在振動過程中，兩個質點的位移在數值上隨時間而變化，但兩者的比值始終保持不變：2023/7/2310

主振型:結構位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或振動模態(tài)（normalmode）。2023/7/2311

齊次方程有非零解的條件為其系數行列式等于零，即:

確定了固有頻率應滿足的條件，稱為頻率方程或特征方程。（eigenequationorcharacteristicequation）利用這個方程可計算固有頻率2023/7/2312展開上式，求得的兩個根為:正實根，僅依賴于結構體系的物理性質，即質量和彈簧剛度。2023/7/2313具有兩個自由度的體系共有兩個自振頻率，表示其中最小的圓頻率，稱為第一圓頻率或基本圓頻率（fundamentalfrequency）；稱為第二圓頻率。2023/7/2314

比值所確定的振動形式就是與第一圓頻率相應的振型，稱為第一振型或基本振型（fundamentalmode）分析頻率各自對應的振型2023/7/2315

和表示第二振型中質點1和2的振幅。下標與質量和相對應，上標表示模態(tài)號碼。由于模態(tài)方程是齊次的，所以及只有相對關系。2023/7/2316

主振動:結構體系以某一階固有頻率按其相應的主振型作振動，稱為體系的主振動。各點同時經過靜平衡位置，并同時到達最大偏移位置，以確定的頻率和振型作簡諧振動。一般情況下，體系的自由振動不是主振動，而是兩種不同頻率及其振型的組合振動:2023/7/2317方程的全解:其中，、、和由初始條件確定。2023/7/23182、剛度法

(a)具有兩個集中質量的結構體系，兩個自由度，

(b)為和的隔離體圖。根據達朗伯原理，平衡方程為：2023/7/23192023/7/2320

彈性力和是質量和與結構之間的相互作用力，

圖(b)中的和是質點所受的力，圖(c)中的和是結構所受的力，兩者的方向相反。結構所受的力和與結構的位移和之間應滿足如下剛度方程:2023/7/2321

是結構的剛度系數。如是使質點2產生單位位移而質點1保持為零時在質點所需施加的作用力。2023/7/23222023/7/2323

3、柔度法以兩個自由度體系為例進行分析:2023/7/2324用柔度法建立自由振動微分方程的思路:

在自由振動過程中的任一時刻，質量和的位移和應當等于體系在慣性力和作用下所產生的靜力位移。2023/7/2325

是結構體系的柔度系數(flexibilitycoefficient)，即體系在點j承受單位力時，在點i產生的位移。設解的形式為:2023/7/2326

主振型的位移幅值就是結構體系在此主振型慣性力幅值作用下所引起的靜力位移。2023/7/2327

令系數行列式等于零，可得到和的非零解，即:用柔度系數表示的頻率方程或特征方程。2023/7/2328求得固有圓頻率的兩個值為:解出的兩個根2023/7/2329體系的第一階主振型:2023/7/2330體系的第二階主振型:2023/7/2331總結：在多自由體系自由振動問題中4）體系的自振頻率和主振型是體系本身的固有性質。自振頻率只與體系本身的剛度系數和質量分布有關，與外荷無關。3）每個自振頻率有其相應的主振型；2）振動頻率個數與自由度個數一致，自振頻率可通過特征方程計算；1）主要問題是確定體系全部自振頻率及其相應主振型2023/7/2332例3-1

試分析圖示結構體系的固有頻率和振型。已知：。解：體系的運動方程為：2023/7/2333體系的運動方程為：設方程的解為：2023/7/2334上式有非零解的條件是系數行列式為零：展開行列式，可以求得2023/7/2335計算振型：其中對應于第一階頻率對應于第二階頻率。2023/7/2336

第一模態(tài)（振型）為兩個質量一起振動，無相對位移，中間一個彈簧不起作用，只有第一和第三個彈簧起作用，其結果類似于質量為2m、彈簧系數為2k的單自由度體系的振動；以橫坐標表示系統(tǒng)的靜平衡位置，縱坐標表示各點的振幅，體系的主振型圖。第二模態(tài)（振型）為兩個質量作相反振動，中間一個彈簧的中點始終不動。2023/7/2337例3-2

圖示兩層剛架，其橫梁EI=。設質量集中在