第六章-隨機(jī)變量函數(shù)及其分布課件

第六章隨機(jī)變量函數(shù)及其分布

隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題：已知隨機(jī)變量X的概率特性——

分布函數(shù)或密度函數(shù)（分布律）Y=g(X)求

隨機(jī)因變量Y

的概率特性方法：將與Y

有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成X

的事件為一元函數(shù)，那么Y=g(X)也是隨機(jī)變量，一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律第一節(jié)、一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其的分布或

Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk

，k＝1,2,…（其中g(shù)(xk)有相同的，其對應(yīng)概率合并。）XPkY=g(X)例1

已知

X

的概率分布為Xpk-1012求Y

1=2X–1與

Y2=X

2

的分布律解Y1pi-3-113Y2pi1014Y2pi014例2設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)定義隨機(jī)變量求的聯(lián)合分布律.的泊松分布，對解依假設(shè)因此有聯(lián)合分布律：01012、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)

（1）一般方法若Xf(x),-<x<+,Y=g(X)為隨機(jī)變量X的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù)

FY(y)

＝P{Yy}＝P{g(X)y}＝

然后再求Y的密度函數(shù)此法也叫“分布函數(shù)法”（2）公式法一般地若X～fX(x),y=g(x)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則

注：1只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)。2注意定義域的選擇其中h(y)為y＝g(x)的反函數(shù).設(shè)隨機(jī)變量X

具有概率密度：試求Y=X-4

的概率密度.解：(1)先求Y=X-4

的分布函數(shù)

FY(y)：例2

整理得Y=X-4

的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導(dǎo)公式例設(shè)XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0)解:Y=ax+b關(guān)于x嚴(yán)單,反函數(shù)為故而故14【例】設(shè)X~U(0,1),求Y=eX的概率密度.【解】因?yàn)閞.v.X~U(0,1),所以X的概率密度為：從而,整個(gè)y軸相應(yīng)地也被分為三部分:(-∞,1),[1,e),[e,+∞).

如圖,的非零段將整個(gè)x軸分為三部分:(-∞,0),[0,1),[1,+∞);

因此,應(yīng)就y分為上述三個(gè)區(qū)間來求Y的分布函數(shù).15(1)當(dāng)y<1時(shí),再分為兩種情形:(a)當(dāng)y≤0時(shí),(b)當(dāng)0<y<1時(shí),續(xù)1故當(dāng)y<1時(shí),16(2)當(dāng)1≤y<e時(shí),(3)當(dāng)y≥e時(shí),續(xù)217

綜上所述得Y的分布函數(shù)為:

求導(dǎo)得Y的概率密度為:■續(xù)3注意:本題是重要題型,必須熟練掌握。18此時(shí)，.【另解】因?yàn)閞.v.X~U(0,1),所以X的概率密度為：由公式得：19■續(xù)設(shè)上的均勻分布，求的分布函數(shù)和密度函數(shù)分布函數(shù)為密度函數(shù)為練習(xí)21【證】因?yàn)閞.v.X~N(μ,σ2),所以X的概率密度為：【書例】設(shè)r.v.X~N(μ,σ2),則Y=aX+b(a≠0)也服從正態(tài)分布。而y=g(x)=ax+b單調(diào)可導(dǎo)，且有：由公式得Y=aX+b的概率密度為：22

即

即有：Y=aX+b~N(aμ+b,(aσ)2).■上述結(jié)果表明：正態(tài)分布的線性函數(shù)仍為正態(tài)分布。-5-120概率0.160.160.68有時(shí)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，但Y=g(x)不連續(xù)，導(dǎo)致隨機(jī)變量Y不連續(xù)(書例）設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件（單位:mm)服從正態(tài)分布N(11,1)，內(nèi)徑小于10或大于12為不合格，其余為合格，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品則虧損，已知銷售利潤Y(單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑有如下關(guān)系，求Y的分布律注3若X～fX(x)

，y=g(x)關(guān)于X分段嚴(yán)格單調(diào)，且在第i個(gè)單調(diào)區(qū)間上，反函數(shù)為hi(y),則Y=g(X）的概率密度為例.某公路橋每天第一輛汽車過橋時(shí)刻為T，設(shè)[0，t]時(shí)段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為t的泊松分布，求T的概率密度。解當(dāng)t≤0時(shí)，當(dāng)t>0時(shí)，=1-{在t時(shí)刻之前無汽車過橋}于是第二節(jié)、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布律一、設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y），

(X,Y)～P(X＝xi,Y＝y(tǒng)j)＝pij，i,j＝1,2,…(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或

為一個(gè)二元函數(shù)，則Z的分布律為XY12120.20.10.30.4U234P0.20.40.4V12P0.20.8VU23120.2000.4400.4求（1）U=X+Y(2)V=max(X,Y)(3)(U,V)的聯(lián)合分布p(x,y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)UV233412220.20.30.10.4書例7：后面還會(huì)看到正態(tài)分布，二項(xiàng)分布也具有可加性所以,泊松分布具有可加性,X,Y相互獨(dú)立且服從，證明X+Y服從二、幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù)

(1)和的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,求Z＝X＋Y的密度。

zx+y=z

x+yz

若X與Y相互獨(dú)立，則Z＝X＋Y的密度函數(shù)此式為卷積公式1111例X,Y相互獨(dú)立且同時(shí)服從[0,1]上的均勻分布,求Z=X+Y的密度函數(shù)解聯(lián)合密度函數(shù)為當(dāng)當(dāng)當(dāng)密度函數(shù)的間斷點(diǎn)將z分為所求密度函數(shù)為

設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求Z=X+Y的概率分布.所以由卷積公式得Z=X+Y概率密度為〖解〗因?yàn)閄,Y獨(dú)立且其概率密度分別為【書例8】1、z在(-∞,+∞)上取值;2、x在(-∞,+∞)上積分;3、考慮被積函數(shù)的非零區(qū)域;4、在xoz系中綜合上述各點(diǎn)確定z的分段情形.所以Z~N(0,2).□例，則

設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,且概率密度均為：〖解〗因?yàn)閄,Y獨(dú)立,所以和分布概率密度可由卷積公式計(jì)算:求Z=X+Y概率密度。

計(jì)算積分思路:1.被積函數(shù)非零區(qū)域;2.z取任意實(shí)數(shù);3.x在(-∞,+∞)上積分;4.綜合上述就z分段.【例】(典型題)例2-續(xù)1由邊緣概率密度確定的表達(dá)式,特別是其非零區(qū)域:由題目條件得:故得:計(jì)算卷積積分:

函數(shù)自變量為z,積分變量為x,當(dāng)z取值范圍確定后,x由-∞積分至+∞(只需在非零區(qū)域內(nèi)一段上積分).例2-續(xù)2因?yàn)樗岳?-續(xù)3綜上可得:□例2-續(xù)4三、極大(小)分布

設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為

現(xiàn)求隨機(jī)變量M=max{X,Y},N=min{X,Y}的分布函數(shù).

由分布函數(shù)的定義得；

于是，極大(小)分布的分布函數(shù)為

特別,當(dāng)X,Y獨(dú)立且同分布時(shí),有

上述結(jié)果可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量情形.例

一設(shè)備開機(jī)后無故障工作時(shí)間X服從參數(shù)的指數(shù)分布，設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)；而在無故障情況下，工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)，試求該設(shè)備每次開機(jī)后，觀察到的無故障工作時(shí)間Y的分布函數(shù).

解依假設(shè)即.當(dāng)時(shí)，

時(shí)，

當(dāng)當(dāng)Y的分布函數(shù)為例

設(shè)X與Y獨(dú)立，X服從參數(shù)的指數(shù)分布，Y服從區(qū)間（0，1）上均勻分布。.解依假設(shè)X有分布函數(shù)Y有分布函數(shù)，分別求U,V的密度函數(shù)

思考題1A0B1C2D3答案B,Z=0間斷設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),Y的概率密度為，記為隨機(jī)變量Z=XY的分布函數(shù)，則的間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為