數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(嚴(yán)蔚敏)課件第7章

第七章圖7/22/20231精選課件【課前思考】1.同學(xué)們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在的十字路口的交通燈已從過(guò)去的一對(duì)改為三對(duì)，即每個(gè)方向的直行、左拐和右拐能否通行都有相應(yīng)的交通燈指明。你能否對(duì)某個(gè)丁字路口的6條通路畫出和第一章緒論中介紹的"五叉路口交通管理示意圖"相類似的圖？同學(xué)們一定可以畫出如下所示類似的圖形。

2.如果每次讓三條路同時(shí)通行，那么從圖看出哪些路可以同時(shí)通行？同時(shí)可通行的路為：(AB,BC,CA),(AB,BC,BA),(AB,AC,CA),(CB,CA,BC)7/22/20232精選課件【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．領(lǐng)會(huì)圖的類型定義。

2．熟悉圖的各種存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)及其構(gòu)造算法，了解各種存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)及其選用原則。

3．熟練掌握?qǐng)D的兩種遍歷算法。

4．理解各種圖的應(yīng)用問(wèn)題的算法。7/22/20233精選課件【重點(diǎn)和難點(diǎn)】圖的應(yīng)用極為廣泛，而且圖的各種應(yīng)用問(wèn)題的算法都比較經(jīng)典，因此本章重點(diǎn)在于理解各種圖的算法及其應(yīng)用場(chǎng)合?！局R(shí)點(diǎn)】圖的類型定義、圖的存儲(chǔ)表示、圖的深度優(yōu)先搜索遍歷和圖的廣度優(yōu)先搜索遍歷、無(wú)向網(wǎng)的最小生成樹、最短路徑、拓?fù)渑判?、關(guān)鍵路徑。7/22/20234精選課件【學(xué)習(xí)指南】

離散數(shù)學(xué)中的圖論是專門研究圖性質(zhì)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，但圖論注重研究圖的純數(shù)學(xué)性質(zhì)，而數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中對(duì)圖的討論則側(cè)重于在計(jì)算機(jī)中如何表示圖以及如何實(shí)現(xiàn)圖的操作和應(yīng)用等。圖是較線性表和樹更為復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，因此和線性表、樹不同，雖然在遍歷圖的同時(shí)可以對(duì)頂點(diǎn)或弧進(jìn)行各種操作，但更多圖的應(yīng)用問(wèn)題如求最小生成樹和最短路徑等在圖論的研究中都早已有了特定算法，在本章中主要是介紹它們?cè)谟?jì)算機(jī)中的具體實(shí)現(xiàn)。這些算法乍一看都比較難，應(yīng)多對(duì)照具體圖例的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)進(jìn)行學(xué)習(xí)。而圖遍歷的兩種搜索路徑和樹遍歷的兩種搜索路徑極為相似，應(yīng)將兩者的算法對(duì)照學(xué)習(xí)以便提高學(xué)習(xí)的效果。本章必須完成的算法設(shè)計(jì)題為

:7.7,7.9,7.10,7.12,7.14,7.15,7.227/22/20235精選課件7.1圖的定義與術(shù)語(yǔ)7.2圖的存儲(chǔ)表示7.3圖的遍歷7.4最小生成樹7.5重（雙）連通圖和關(guān)節(jié)點(diǎn)7.6兩點(diǎn)之間的最短路徑問(wèn)題7.7拓?fù)渑判?.8關(guān)鍵路徑7/22/20236精選課件

圖是由一個(gè)頂點(diǎn)集V和一個(gè)弧集R構(gòu)成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。Graph=(V,VR)其中，VR＝{<v,w>|v,w∈V且P(v,w)}

<v,w>表示從v到w的一條弧，并稱v為弧頭，w為弧尾。

謂詞P(v,w)定義了弧<v,w>的意義或信息。圖的結(jié)構(gòu)定義:7.1圖的定義與術(shù)語(yǔ)7/22/20237精選課件

由于“弧”是有方向的，因此稱由頂點(diǎn)集和弧集構(gòu)成的圖為有向圖。

ABECD例如:G1=(V1,VR1)其中V1={A,B,C,D,E}VR1={<A,B>,<A,E>,<B,C>,<C,D>,<D,B>,<D,A>,<E,C>}7/22/20238精選課件若<v,w>VR必有<w,v>VR,則稱(v,w)為頂點(diǎn)v和頂點(diǎn)w之間存在一條邊。

BCADFE由頂點(diǎn)集和邊集構(gòu)成的圖稱作無(wú)向圖。例如:G2=(V2,VR2)V2={A,B,C,D,E,F}VR2={(A,B),(A,E),(B,E),(C,D),(D,F),(B,F),(C,F)}7/22/20239精選課件名詞和術(shù)語(yǔ)網(wǎng)、子圖

完全圖、稀疏圖、稠密圖鄰接點(diǎn)、度、入度、出度路徑、路徑長(zhǎng)度、簡(jiǎn)單路徑、簡(jiǎn)單回路連通圖、連通分量、強(qiáng)連通圖、強(qiáng)連通分量生成樹、生成森林7/22/202310精選課件ABECFAEFBBC設(shè)圖G=(V,{VR})和圖G=(V,{VR}),且VV,VRVR,則稱G為G的子圖。1597211132

弧或邊帶權(quán)的圖分別稱作有向網(wǎng)或無(wú)向網(wǎng)。C7/22/202311精選課件假設(shè)圖中有

n

個(gè)頂點(diǎn)，e

條邊，則

含有e=n(n-1)/2條邊的無(wú)向圖稱作完全圖；

含有e=n(n-1)條弧的有向圖稱作

有向完全圖；若邊或弧的個(gè)數(shù)e<nlogn，則稱作稀疏圖，否則稱作稠密圖。7/22/202312精選課件

假若頂點(diǎn)v和頂點(diǎn)w之間存在一條邊，則稱頂點(diǎn)v和w互為鄰接點(diǎn)，ACDFE例如:ID(B)=3ID(A)=2邊(v,w)

和頂點(diǎn)v和w相關(guān)聯(lián)。

和頂點(diǎn)v關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目定義為頂點(diǎn)v的度。B7/22/202313精選課件頂點(diǎn)的出度:以頂點(diǎn)v為弧尾的弧的數(shù)目；ABECF對(duì)有向圖來(lái)說(shuō)，頂點(diǎn)的入度:以頂點(diǎn)v為弧頭的弧的數(shù)目。頂點(diǎn)的度(TD)=出度(OD)+入度(ID)例如:ID(B)=2OD(B)=1TD(B)=37/22/202314精選課件設(shè)圖G=(V,{VR})中的一個(gè)頂點(diǎn)序列{u=vi,0,vi,1,…,vi,m=w}中，(vi,j-1,vi,j)VR1≤j≤m,則稱從頂點(diǎn)u到頂點(diǎn)w之間存在一條路徑。路徑上邊(或弧)的數(shù)目稱作路徑長(zhǎng)度。ABECF如:長(zhǎng)度為3的路徑{A,B,C,F}簡(jiǎn)單路徑:序列中頂點(diǎn)不重復(fù)出現(xiàn)的路徑。簡(jiǎn)單回路:序列中第一個(gè)頂點(diǎn)和最后一個(gè)頂點(diǎn)相同的路徑而其余頂點(diǎn)不重復(fù)。7/22/202315精選課件若圖G中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有路徑相通，則稱此圖為連通圖；若無(wú)向圖為非連通圖，則圖中各個(gè)極大連通子圖稱作此圖的連通分量。BACDFEBACDFE7/22/202316精選課件

若任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在一條有向路徑，則稱此有向圖為強(qiáng)連通圖。ABECFABECF對(duì)有向圖，否則，其各個(gè)強(qiáng)連通子圖稱作它的強(qiáng)連通分量。7/22/202317精選課件

假設(shè)一個(gè)連通圖有n個(gè)頂點(diǎn)和e條邊，其中n-1條邊和n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)極小連通子圖，稱該極小連通子圖為此連通圖的生成樹。對(duì)非連通圖，則稱由各個(gè)連通分量的生成樹的集合為此非連通圖的生成森林。BACDFE7/22/202318精選課件結(jié)構(gòu)的建立和銷毀插入或刪除頂點(diǎn)對(duì)鄰接點(diǎn)的操作對(duì)頂點(diǎn)的訪問(wèn)操作遍歷插入和刪除弧基本操作7/22/202319精選課件CreatGraph(&G,V,VR)://按定義(V,VR)構(gòu)造圖DestroyGraph(&G)://銷毀圖結(jié)構(gòu)的建立和銷毀7/22/202320精選課件對(duì)頂點(diǎn)的訪問(wèn)操作LocateVex(G,u);

//若G中存在頂點(diǎn)u，則返回該頂點(diǎn)在//圖中“位置”

；否則返回其它信息。GetVex(G,v);//返回v的值。PutVex(&G,v,value);//對(duì)v賦值value。7/22/202321精選課件對(duì)鄰接點(diǎn)的操作FirstAdjVex(G,v);

//返回v的“第一個(gè)鄰接點(diǎn)”。若該頂點(diǎn)//在G中沒(méi)有鄰接點(diǎn)，則返回“空”。NextAdjVex(G,v,w);

//返回v的（相對(duì)于w的）“下一個(gè)鄰接//點(diǎn)”。若w是v的最后一個(gè)鄰接點(diǎn)，則//返回“空”。7/22/202322精選課件插入或刪除頂點(diǎn)InsertVex(&G,v);

//在圖G中增添新頂點(diǎn)v。DeleteVex(&G,v);//刪除G中頂點(diǎn)v及其相關(guān)的弧。7/22/202323精選課件插入和刪除弧InsertArc(&G,v,w);//在G中增添弧<v,w>，若G是無(wú)向的，//則還增添對(duì)稱弧<w,v>。DeleteArc(&G,v,w);

//在G中刪除弧<v,w>，若G是無(wú)向的，//則還刪除對(duì)稱弧<w,v>。7/22/202324精選課件遍歷DFSTraverse(G,v,Visit());//從頂點(diǎn)v起深度優(yōu)先遍歷圖G，并對(duì)每//個(gè)頂點(diǎn)調(diào)用函數(shù)Visit一次且僅一次。BFSTraverse(G,v,Visit());

//從頂點(diǎn)v起廣度優(yōu)先遍歷圖G，并對(duì)每//個(gè)頂點(diǎn)調(diào)用函數(shù)Visit一次且僅一次。7/22/202325精選課件7.2圖的存儲(chǔ)表示一、圖的數(shù)組(鄰接矩陣)存儲(chǔ)表示二、圖的鄰接表存儲(chǔ)表示三、有向圖的十字鏈表存儲(chǔ)表示四、無(wú)向圖的鄰接多重表存儲(chǔ)表示7/22/202326精選課件Aij={0(i,j)VR1(i,j)VR一、圖的數(shù)組(鄰接矩陣)存儲(chǔ)表示BACDFE定義:矩陣的元素為7/22/202327精選課件有向圖的鄰接矩陣為非對(duì)稱矩陣ABECF7/22/202328精選課件typedefstructArcCell{//弧的定義VRTypeadj;//VRType是頂點(diǎn)關(guān)系類型。//對(duì)無(wú)權(quán)圖，用1或0表示相鄰否；//對(duì)帶權(quán)圖，則為權(quán)值類型。InfoType*info;//該弧相關(guān)信息的指針}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];7/22/202329精選課件typedefstruct{//圖的定義VertexType//頂點(diǎn)信息vexs[MAX_VERTEX_NUM];AdjMatrixarcs;//弧的信息

intvexnum,arcnum;//頂點(diǎn)數(shù)，弧數(shù)GraphKindkind;//圖的種類標(biāo)志

}MGraph;7/22/202330精選課件0A141B0452C353D254E015F123BACDFE二、圖的鄰接表存儲(chǔ)表示7/22/202331精選課件142301201234ABCDE有向圖的鄰接表ABECD可見(jiàn)，在有向圖的鄰接表中不易找到指向該頂點(diǎn)的弧。7/22/202332精選課件ABECD有向圖的逆鄰接表ABCDE30342001234在有向圖的鄰接表中，對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)，鏈接的是指向該頂點(diǎn)的弧。7/22/202333精選課件typedefstructArcNode{

intadjvex;//該弧所指向的頂點(diǎn)的位置

structArcNode*nextarc;//指向下一條弧的指針I(yè)nfoType*info;//該弧相關(guān)信息的指針}ArcNode;adjvexnextarcinfo弧的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)7/22/202334精選課件typedefstructVNode{

VertexTypedata;//頂點(diǎn)信息ArcNode*firstarc;//指向第一條依附該頂點(diǎn)的弧

}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];datafirstarc頂點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)7/22/202335精選課件typedefstruct{

AdjListvertices;

intvexnum,arcnum;

intkind;//圖的種類標(biāo)志}ALGraph;圖的結(jié)構(gòu)定義7/22/202336精選課件三、有向圖的十字鏈表存儲(chǔ)表示

弧的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)弧尾頂點(diǎn)位置弧頭頂點(diǎn)位置弧的相關(guān)信息指向下一個(gè)有相同弧尾的結(jié)點(diǎn)指向下一個(gè)有相同弧頭的結(jié)點(diǎn)typedefstructArcBox{//弧的結(jié)構(gòu)表示

inttailvex,headvex;InfoType*info;structArcBox*hlink,*tlink;

}VexNode;7/22/202337精選課件頂點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)信息數(shù)據(jù)指向該頂點(diǎn)的第一條入弧指向該頂點(diǎn)的第一條出弧typedefstructVexNode{//頂點(diǎn)的結(jié)構(gòu)表示VertexTypedata;ArcBox*firstin,*firstout;}VexNode;7/22/202338精選課件typedefstruct{VexNodexlist[MAX_VERTEX_NUM];//頂點(diǎn)結(jié)點(diǎn)(表頭向量)

intvexnum,arcnum;//有向圖的當(dāng)前頂點(diǎn)數(shù)和弧數(shù)}OLGraph;有向圖的結(jié)構(gòu)表示(十字鏈表)7/22/202339精選課件四、無(wú)向圖的鄰接多重表存儲(chǔ)表示typedefstructEbox{VisitIfmark;//訪問(wèn)標(biāo)記

intivex,jvex;//該邊依附的兩個(gè)頂點(diǎn)的位置

structEBox*ilink,*jlink;//分別指向依附這兩個(gè)頂點(diǎn)的下一條邊InfoType*info;//該邊信息指針}EBox;邊的結(jié)構(gòu)表示7/22/202340精選課件typedefstruct{//鄰接多重表

VexBoxadjmulist[MAX_VERTEX_NUM];

intvexnum,edgenum;

}AMLGraph;頂點(diǎn)的結(jié)構(gòu)表示typedefstructVexBox{VertexTypedata;EBox*firstedge;//指向第一條依附該頂點(diǎn)的邊}VexBox;無(wú)向圖的結(jié)構(gòu)表示7/22/202341精選課件7.3圖的遍歷

從圖中某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)游歷圖，訪遍圖中其余頂點(diǎn)，并且使圖中的每個(gè)頂點(diǎn)僅被訪問(wèn)一次的過(guò)程。深度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索遍歷應(yīng)用舉例7/22/202342精選課件

從圖中某個(gè)頂點(diǎn)V0出發(fā)，訪問(wèn)此頂點(diǎn)，然后依次從V0的各個(gè)未被訪問(wèn)的鄰接點(diǎn)出發(fā)深度優(yōu)先搜索遍歷圖，直至圖中所有和V0有路徑相通的頂點(diǎn)都被訪問(wèn)到。一、深度優(yōu)先搜索遍歷圖連通圖的深度優(yōu)先搜索遍歷7/22/202343精選課件Vw1SG1SG2SG3W1、W2和W3均為V的鄰接點(diǎn)，SG1、SG2和SG3分別為含頂點(diǎn)W1、W2和W3的子圖。訪問(wèn)頂點(diǎn)V：for(W1、W2、W3)

若該鄰接點(diǎn)W未被訪問(wèn)，

則從它出發(fā)進(jìn)行深度優(yōu)先搜索遍歷。w2w3w27/22/202344精選課件從上頁(yè)的圖解可見(jiàn):1.從深度優(yōu)先搜索遍歷連通圖的過(guò)程類似于樹的先根遍歷；解決的辦法是：為每個(gè)頂點(diǎn)設(shè)立一個(gè)“訪問(wèn)標(biāo)志visited[w]”。2.如何判別V的鄰接點(diǎn)是否被訪問(wèn)？7/22/202345精選課件voidDFS(GraphG,intv){//從頂點(diǎn)v出發(fā)，深度優(yōu)先搜索遍歷連通圖Gvisited[v]=TRUE;VisitFunc(v);

for(w=FirstAdjVex(G,v);w!=0;w=NextAdjVex(G,v,w))

if(!visited[w])DFS(G,w);

//對(duì)v的尚未訪問(wèn)的鄰接頂點(diǎn)w//遞歸調(diào)用DFS}//DFS7/22/202346精選課件首先將圖中每個(gè)頂點(diǎn)的訪問(wèn)標(biāo)志設(shè)為FALSE,之后搜索圖中每個(gè)頂點(diǎn)，如果未被訪問(wèn)，則以該頂點(diǎn)為起始點(diǎn)，進(jìn)行深度優(yōu)先搜索遍歷，否則繼續(xù)檢查下一頂點(diǎn)。非連通圖的深度優(yōu)先搜索遍歷7/22/202347精選課件voidDFSTraverse(GraphG,

Status(*Visit)(intv)){

//對(duì)圖G作深度優(yōu)先遍歷。VisitFunc=Visit;

for(v=0;v<G.vexnum;++v)visited[v]=FALSE;//訪問(wèn)標(biāo)志數(shù)組初始化

for(v=0;v<G.vexnum;++v)

if(!visited[v])DFS(G,v);//對(duì)尚未訪問(wèn)的頂點(diǎn)調(diào)用DFS}7/22/202348精選課件abchdekfgFFFFFFFFFTTTTTTTTTachdkfebgachkfedbg訪問(wèn)標(biāo)志:訪問(wèn)次序:例如:0123456787/22/202349精選課件二、廣度優(yōu)先搜索遍歷圖Vw1w8w3w7w6w2w5w4對(duì)連通圖，從起始點(diǎn)V到其余各頂點(diǎn)必定存在路徑。其中，V->w1,V->w2,V->w8

的路徑長(zhǎng)度為1；V->w7,V->w3,V->w5

的路徑長(zhǎng)度為2；V->w6,V->w4

的路徑長(zhǎng)度為3。w1Vw2w7w6w3w8w5w47/22/202350精選課件從圖中的某個(gè)頂點(diǎn)V0出發(fā)，并在訪問(wèn)此頂點(diǎn)之后依次訪問(wèn)V0的所有未被訪問(wèn)過(guò)的鄰接點(diǎn)，之后按這些頂點(diǎn)被訪問(wèn)的先后次序依次訪問(wèn)它們的鄰接點(diǎn)，直至圖中所有和V0有路徑相通的頂點(diǎn)都被訪問(wèn)到。若此時(shí)圖中尚有頂點(diǎn)未被訪問(wèn)，則另選圖中一個(gè)未曾被訪問(wèn)的頂點(diǎn)作起始點(diǎn)，重復(fù)上述過(guò)程，直至圖中所有頂點(diǎn)都被訪問(wèn)到為止。7/22/202351精選課件

voidBFSTraverse(GraphG,

Status(*Visit)(intv)){

for(v=0;v<G.vexnum;++v)visited[v]=FALSE;//初始化訪問(wèn)標(biāo)志

InitQueue(Q);

//置空的輔助隊(duì)列Q

for(v=0;v<G.vexnum;++v)

if(

!visited[v]){

//v尚未訪問(wèn)

}

}//BFSTraverse……7/22/202352精選課件visited[v]=TRUE;Visit(v);//訪問(wèn)uEnQueue(Q,v);

//v入隊(duì)列while(!QueueEmpty(Q)){

DeQueue(Q,u);//隊(duì)頭元素出隊(duì)并置為ufor(w=FirstAdjVex(G,u);w!=0;w=NextAdjVex(G,u,w))

if(!visited[w])

{

visited[w]=TRUE;Visit(w);EnQueue(Q,w);

//訪問(wèn)的頂點(diǎn)w入隊(duì)列}//if}//while7/22/202353精選課件三、遍歷應(yīng)用舉例1.求一條從頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)s的簡(jiǎn)單路徑2.

求兩個(gè)頂點(diǎn)之間的一條路徑長(zhǎng)度最短的路徑7/22/202354精選課件1.

求一條從頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)s的簡(jiǎn)單路徑abchdekfg求從頂點(diǎn)b到頂點(diǎn)k的一條簡(jiǎn)單路徑。從頂點(diǎn)b出發(fā)進(jìn)行深度優(yōu)先搜索遍歷。例如:假設(shè)找到的第一個(gè)鄰接點(diǎn)是a，則得到的結(jié)點(diǎn)訪問(wèn)序列為:b

adhce

kfg。假設(shè)找到的第一個(gè)鄰接點(diǎn)是c，則得到的結(jié)點(diǎn)訪問(wèn)序列為:

b

chdae

kfg，7/22/202355精選課件1.從頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)s,若存在路徑，則從頂點(diǎn)i出發(fā)進(jìn)行深度優(yōu)先搜索，必能搜索到頂點(diǎn)s。2.

遍歷過(guò)程中搜索到的頂點(diǎn)不一定是路徑上的頂點(diǎn)。結(jié)論:3.

由它出發(fā)進(jìn)行的深度優(yōu)先遍歷已經(jīng)完成的頂點(diǎn)不是路徑上的頂點(diǎn)。7/22/202356精選課件voidDFSearch(intv,ints,char*PATH){//從第v個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)遞歸地深度優(yōu)先遍歷圖G，//求得一條從v到s的簡(jiǎn)單路徑，并記錄在PATH中visited[v]=TRUE;//訪問(wèn)第v個(gè)頂點(diǎn)

Append(PATH,getVertex(v));

//第v個(gè)頂點(diǎn)加入路徑

for(w=FirstAdjVex(v);w!=0&&!found;

w=NextAdjVex(v))

if(w=s){found=TRUE;Append(PATH,w);}

else

if(!visited[w])DFSearch(w,s,PATH);if(!found)Delete(PATH);

//從路徑上刪除頂點(diǎn)v

}7/22/202357精選課件2.

求兩個(gè)頂點(diǎn)之間的一條路徑長(zhǎng)度最短的路徑

若兩個(gè)頂點(diǎn)之間存在多條路徑，則其中必有一條路徑長(zhǎng)度最短的路徑。如何求得這條路徑?7/22/202358精選課件abchdekfg因此，求路徑長(zhǎng)度最短的路徑可以基于廣度優(yōu)先搜索遍歷進(jìn)行，但需要修改鏈隊(duì)列的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)及其入隊(duì)列和出隊(duì)列的算法。深度優(yōu)先搜索訪問(wèn)頂點(diǎn)的次序取決于圖的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，而廣度優(yōu)先搜索訪問(wèn)頂點(diǎn)的次序是按“路徑長(zhǎng)度”漸增的次序。7/22/202359精選課件例如:求下圖中頂點(diǎn)3至頂點(diǎn)5的一條最短路徑。鏈隊(duì)列的狀態(tài)如下所示:

312475

Q.front

Q.rear3214756897/22/202360精選課件1)將鏈隊(duì)列的結(jié)點(diǎn)改為“雙鏈”結(jié)點(diǎn)。即結(jié)點(diǎn)中包含next和prior兩個(gè)指針；2)修改入隊(duì)列的操作。插入新的隊(duì)尾結(jié)點(diǎn)時(shí)，令其prior域的指針指向剛剛出隊(duì)列的結(jié)點(diǎn)，即當(dāng)前的隊(duì)頭指針?biāo)附Y(jié)點(diǎn)；3)修改出隊(duì)列的操作。出隊(duì)列時(shí)，僅移動(dòng)隊(duì)頭指針，而不將隊(duì)頭結(jié)點(diǎn)從鏈表中刪除。7/22/202361精選課件typedef

DuLinkListQueuePtr;

voidInitQueue(LinkQueue&Q){

Q.front=Q.rear=(QueuePtr)malloc(sizeof(QNode));

Q.front->next=Q.rear->next=NULL}voidEnQueue(LinkQueue&Q,QelemTypee){p=(QueuePtr)malloc(sizeof(QNode));p->data=e;p->next=NULL;

p->prior=Q.front

Q.rear->next=p;Q.rear=p;}voidDeQueue(LinkQueue&Q,QelemType&e){

Q.front=Q.front->next;e=Q.front->data}7/22/202362精選課件7.4(連通網(wǎng)的)最小生成樹

假設(shè)要在n個(gè)城市之間建立通訊聯(lián)絡(luò)網(wǎng)，則連通n個(gè)城市只需要修建n-1條線路，如何在最節(jié)省經(jīng)費(fèi)的前提下建立這個(gè)通訊網(wǎng)？問(wèn)題：7/22/202363精選課件構(gòu)造網(wǎng)的一棵最小生成樹，即：在e條帶權(quán)的邊中選取n-1條邊（不構(gòu)成回路），使“權(quán)值之和”為最小。算法二：（克魯斯卡爾算法）該問(wèn)題等價(jià)于：算法一：（普里姆算法）7/22/202364精選課件

取圖中任意一個(gè)頂點(diǎn)v作為生成樹的根，之后往生成樹上添加新的頂點(diǎn)w。在待添加的頂點(diǎn)w和已經(jīng)在生成樹上的頂點(diǎn)v之間必定存在一條邊，并且該邊的權(quán)值在所有連通頂點(diǎn)v和w之間的邊中取值最小。之后繼續(xù)往生成樹上添加頂點(diǎn)，直至生成樹上含有n個(gè)頂點(diǎn)為止。普里姆算法的基本思想:7/22/202365精選課件abcdegf例如:195141827168213ae12dcbgf7148531621所得生成樹權(quán)值和=14+8+3+5+16+21=677/22/202366精選課件在生成樹的構(gòu)造過(guò)程中，圖中n個(gè)頂點(diǎn)分屬兩個(gè)集合：已落在生成樹上的頂點(diǎn)集U

和尚未落在生成樹上的頂點(diǎn)集V-U，則應(yīng)在所有連通U中頂點(diǎn)和V-U中頂點(diǎn)的邊中選取權(quán)值最小的邊。

一般情況下所添加的頂點(diǎn)應(yīng)滿足下列條件:7/22/202367精選課件設(shè)置一個(gè)輔助數(shù)組，對(duì)當(dāng)前V－U集中的每個(gè)頂點(diǎn)，記錄和頂點(diǎn)集U中頂點(diǎn)相連接的代價(jià)最小的邊：struct{VertexTypeadjvex;//U集中的頂點(diǎn)序號(hào)VRTypelowcost;//邊的權(quán)值}closedge[MAX_VERTEX_NUM];7/22/202368精選課件abcdegf195141827168213ae12dcb7aaa19141814例如:e12ee8168d3dd7213c557/22/202369精選課件voidMiniSpanTree_P(MGraphG,VertexTypeu){//用普里姆算法從頂點(diǎn)u出發(fā)構(gòu)造網(wǎng)G的最小生成樹

k=LocateVex(G,u);

for(j=0;j<G.vexnum;++j)//輔助數(shù)組初始化

if(j!=k)

closedge[j]={u,G.arcs[k][j].adj};

closedge[k].lowcost=0;//初始，U＝{u}

for(i=0;i<G.vexnum;++i){}繼續(xù)向生成樹上添加頂點(diǎn);7/22/202370精選課件

k=minimum(closedge);

//求出加入生成樹的下一個(gè)頂點(diǎn)(k)

printf(closedge[k].adjvex,G.vexs[k]);//輸出生成樹上一條邊closedge[k].lowcost=0;//第k頂點(diǎn)并入U(xiǎn)集for(j=0;j<G.vexnum;++j)//修改其它頂點(diǎn)的最小邊

if(G.arcs[k][j].adj<closedge[j].lowcost)closedge[j]={G.vexs[k],G.arcs[k][j].adj};7/22/202371精選課件具體做法:先構(gòu)造一個(gè)只含n個(gè)頂點(diǎn)的子圖SG，然后從權(quán)值最小的邊開始，若它的添加不使SG中產(chǎn)生回路，則在SG上加上這條邊，如此重復(fù)，直至加上n-1條邊為止?？紤]問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn):為使生成樹上邊的權(quán)值之和達(dá)到最小，則應(yīng)使生成樹中每一條邊的權(quán)值盡可能地小?？唆斔箍査惴ǖ幕舅枷耄?/22/202372精選課件abcdegf195141827168213ae12dcbgf7148531621例如:71218197/22/202373精選課件算法描述:構(gòu)造非連通圖ST=(V,{});k=i=0;//k計(jì)選中的邊數(shù)while(k<n-1){++i;檢查邊集E中第i條權(quán)值最小的邊(u,v);

若(u,v)加入ST后不使ST中產(chǎn)生回路，

則輸出邊(u,v);

且k++;}7/22/202374精選課件普里姆算法克魯斯卡爾算法時(shí)間復(fù)雜度O(n2)O(eloge)稠密圖稀疏圖算法名適應(yīng)范圍比較兩種算法7/22/202375精選課件7.5重（雙）連通圖和關(guān)節(jié)點(diǎn)

若從一個(gè)連通圖中刪去任何一個(gè)頂點(diǎn)及其相關(guān)聯(lián)的邊，它仍為一個(gè)連通圖的話，則該連通圖被稱為重（雙）連通圖。問(wèn)題：7/22/202376精選課件

若連通圖中的某個(gè)頂點(diǎn)和其相關(guān)聯(lián)的邊被刪去之后，該連通圖被分割成兩個(gè)或兩個(gè)以上的連通分量，則稱此頂點(diǎn)為關(guān)節(jié)點(diǎn)。沒(méi)有關(guān)節(jié)點(diǎn)的連通圖為雙連通圖。如何判別給定的連通圖是否是雙連通圖？7/22/202377精選課件ahgcbfdeabcdefgh1234567833111111例如:下列連通圖中，頂點(diǎn)a和頂點(diǎn)c是關(guān)節(jié)點(diǎn)深度優(yōu)先生成樹7/22/202378精選課件關(guān)節(jié)點(diǎn)有何特征？

假設(shè)從某個(gè)頂點(diǎn)V0出發(fā)對(duì)連通圖進(jìn)行深度優(yōu)先搜索遍歷，則可得到一棵深度優(yōu)先生成樹，樹上包含圖的所有頂點(diǎn)。需借助圖的深度優(yōu)先生成樹來(lái)分析。7/22/202379精選課件

若生成樹的根結(jié)點(diǎn)，有兩個(gè)或兩個(gè)以上的分支，則此頂點(diǎn)(生成樹的根)必為關(guān)節(jié)點(diǎn)；

對(duì)生成樹上的任意一個(gè)“頂點(diǎn)”，若其某棵子樹的根或子樹中的其它“頂點(diǎn)”沒(méi)有和其祖先相通的回邊，則該“頂點(diǎn)”必為關(guān)節(jié)點(diǎn)。7/22/202380精選課件對(duì)上述兩個(gè)判定準(zhǔn)則在算法中如何實(shí)現(xiàn)？7/22/202381精選課件1)設(shè)V0為深度優(yōu)先遍歷的出發(fā)點(diǎn)

p=G.vertices[0].firstarc;v=p->adjvex;

DFSArticul(G,v);

//從第v頂點(diǎn)出發(fā)深度優(yōu)先搜索

if

(count<G.vexnum)

{

//生成樹的根有至少兩棵子樹

printf(0,G.vertices[0].data);

//根是關(guān)節(jié)點(diǎn)7/22/202382精選課件2)定義函數(shù):low(v)=Min{visited[v],low[w],visited[k]}

其中:頂點(diǎn)w

是生成樹上頂點(diǎn)v

的孩子；頂點(diǎn)k

是生成樹上和頂點(diǎn)v由回邊相聯(lián)接的祖先；visited記錄深度優(yōu)先遍歷時(shí)的訪問(wèn)次序

若對(duì)頂點(diǎn)v，在生成樹上存在一個(gè)子樹根w，

且

low[w]≥visited[v]

則頂點(diǎn)v為關(guān)節(jié)點(diǎn)。7/22/202383精選課件對(duì)深度優(yōu)先遍歷算法作如下修改：1．visited[v]的值改為遍歷過(guò)程中頂點(diǎn)的訪問(wèn)次序count值；

2．遍歷過(guò)程中求得

low[v]=Min{visited[v],low[w],visited[k]}3．從子樹遍歷返回時(shí)，判別low[w]≥visited[v]?7/22/202384精選課件for(p=G.vertices[v0].firstarc;p;p=p->nextarc){

}voidDFSArticul(ALGraphG,intv0){//從第v0個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)深度優(yōu)先遍歷圖G,

//查找并輸出關(guān)節(jié)點(diǎn)}//DFSArticulmin=visited[v0]=++count;//v0是第count個(gè)訪問(wèn)的頂點(diǎn),并設(shè)low[v0]的初值為min

//檢查v0的每個(gè)鄰接點(diǎn)low[v0]=min;7/22/202385精選課件

w=p->adjvex;//w為v0的鄰接頂點(diǎn)

if(visited[w]==0){//w未曾被訪問(wèn)DFSArticul(G,w);//返回前求得low[w]

}

else//w是回邊上的頂點(diǎn)if(low[w]<min)min=low[w];

if(low[w]>=visited[v0])

printf(v0,G.vertices[v0].data);

//輸出關(guān)節(jié)點(diǎn)if(visited[w]<min)min=visited[w];7/22/202386精選課件7.6兩點(diǎn)之間的

最短路徑問(wèn)題求從某個(gè)源點(diǎn)到其余各點(diǎn)的最短路徑每一對(duì)頂點(diǎn)之間的最短路徑

7/22/202387精選課件求從源點(diǎn)到其余各點(diǎn)的最短路徑的算法的基本思想:依最短路徑的長(zhǎng)度遞增的次序求得各條路徑源點(diǎn)v1…其中，從源點(diǎn)到頂點(diǎn)v的最短路徑是所有路徑中長(zhǎng)度最短者。v27/22/202388精選課件在這條路徑上，必定只含一條弧，并且這條弧的權(quán)值最小。下一條路徑長(zhǎng)度次短的最短路徑的特點(diǎn)：路徑長(zhǎng)度最短的最短路徑的特點(diǎn)：它只可能有兩種情況：或者是直接從源點(diǎn)到該點(diǎn)(只含一條弧)；或者是從源點(diǎn)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)v1，再到達(dá)該頂點(diǎn)(由兩條弧組成)。7/22/202389精選課件其余最短路徑的特點(diǎn)：再下一條路徑長(zhǎng)度次短的最短路徑的特點(diǎn):它可能有三種情況：或者是直接從源點(diǎn)到該點(diǎn)(只含一條弧)；或者是從源點(diǎn)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)v1，再到達(dá)該頂點(diǎn)(由兩條弧組成)；或者是從源點(diǎn)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)v2，再到達(dá)該頂點(diǎn)。它或者是直接從源點(diǎn)到該點(diǎn)(只含一條弧)；或者是從源點(diǎn)經(jīng)過(guò)已求得最短路徑的頂點(diǎn)，再到達(dá)該頂點(diǎn)。7/22/202390精選課件求最短路徑的迪杰斯特拉算法：一般情況下，Dist[k]=<源點(diǎn)到頂點(diǎn)k的弧上的權(quán)值>或者=<源點(diǎn)到其它頂點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度>

+<其它頂點(diǎn)到頂點(diǎn)k的弧上的權(quán)值>。

設(shè)置輔助數(shù)組Dist，其中每個(gè)分量Dist[k]表示

當(dāng)前所求得的從源點(diǎn)到其余各頂點(diǎn)k的最短路徑。7/22/202391精選課件1）在所有從源點(diǎn)出發(fā)的弧中選取一條權(quán)值最小的弧，即為第一條最短路徑。2）修改其它各頂點(diǎn)的Dist[k]值。假設(shè)求得最短路徑的頂點(diǎn)為u，若Dist[u]+G.arcs[u][k]<Dist[k]則將Dist[k]改為Dist[u]+G.arcs[u][k]。V0和k之間存在弧V0和k之間不存在弧其中的最小值即為最短路徑的長(zhǎng)度。7/22/202392精選課件求每一對(duì)頂點(diǎn)之間的最短路徑弗洛伊德算法的基本思想是：從vi到vj的所有可能存在的路徑中，選出一條長(zhǎng)度最短的路徑。7/22/202393精選課件若<vi,vj>存在，則存在路徑{vi,vj}//路徑中不含其它頂點(diǎn)若<vi,v1>,<v1,vj>存在，則存在路徑{vi,v1,vj}//路徑中所含頂點(diǎn)序號(hào)不大于1若{vi,…,v2},{v2,…,vj}存在，則存在一條路徑{vi,…,v2,…vj}//路徑中所含頂點(diǎn)序號(hào)不大于2…依次類推，則vi至vj的最短路徑應(yīng)是上述這些路徑中，路徑長(zhǎng)度最小者。7/22/202394精選課件7.7拓?fù)渑判?/p>

問(wèn)題:

假設(shè)以有向圖表示一個(gè)工程的施工圖或程序的數(shù)據(jù)流圖，則圖中不允許出現(xiàn)回路。

檢查有向圖中是否存在回路的方法之一，是對(duì)有向圖進(jìn)行拓?fù)渑判颉?/22/202395精選課件何謂“拓?fù)渑判颉?？?duì)有向圖進(jìn)行如下操作：

按照有向圖給出的次序關(guān)系，將圖中頂點(diǎn)排成一個(gè)線性序列，對(duì)于有向圖中沒(méi)有限定次序關(guān)系的頂點(diǎn)，則可以人為加上任意的次序關(guān)系。7/22/202396精選課件例如：對(duì)于下列有向圖BDAC可求得拓?fù)溆行蛐蛄校?/p>

ABCD

或

ACBD由此所得頂點(diǎn)的線性序列稱之為拓?fù)溆行蛐蛄?/22/202397精選課件BDAC反之，對(duì)于下列有向圖不能求得它的拓?fù)溆行蛐蛄?。因?yàn)閳D中存在一個(gè)回路{B,C,D}7/22/202398精選課件如何進(jìn)行拓?fù)渑判颍恳?、從有向圖中選取一個(gè)沒(méi)有前驅(qū)的頂點(diǎn)，并輸出之；

重復(fù)上述兩步，直至圖空，或者圖不空但找不到無(wú)前驅(qū)的頂點(diǎn)為止。二、從有向圖中刪去此頂點(diǎn)以及所

有以它為尾的??；7/22/202399精選課件abcghdfeabhcdgfe在算法中需要用定量的描述替代定性的概念

沒(méi)有前驅(qū)的頂點(diǎn)入度為零的頂點(diǎn)刪除頂點(diǎn)及以它為尾的弧弧頭頂點(diǎn)的入度減17/22/2023100精選課件取入度為零的頂點(diǎn)v;while(v<>0){

printf(v);++m;w:=FirstAdj(v);

while(w<>0){inDegree[w]--;w:=nextAdj(v,w);

}取下一個(gè)入度為零的頂點(diǎn)v;}ifm<nprintf(“圖中有回路”);算法描述7/22/2023101精選課件為避免每次都要搜索入度為零的頂點(diǎn)，在算法中設(shè)置一個(gè)“?！?，以保存“入度為零”的頂點(diǎn)。CountInDegree(G,indegree);//對(duì)各頂點(diǎn)求入度InitSta