4-3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)分解課件

§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)引言當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，有反之則說(shuō)明，當(dāng)時(shí)，與一定不相互獨(dú)立，這說(shuō)明量在一定程度上反映了隨機(jī)變量與之間的關(guān)系.協(xié)方差協(xié)方差的定義定義設(shè)為二維隨機(jī)向量，若存在，則稱(chēng)其為隨機(jī)變量和的協(xié)方差，記為即按定義，其概率分布為則為離型隨機(jī)向量，若二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若為連續(xù)型隨機(jī)向量，其概率密度為則特別地，有與獨(dú)立時(shí)，當(dāng)例1已知離散型隨機(jī)向量的概率分布如右表,求解容易求得的概率分的概率分布為布為0.30.450.25例1已知離散型隨機(jī)向量的概率分布如右表,求解0.30.450.25例1已知離散型隨機(jī)向量的概率分布如右表,求解計(jì)算得于是有于是完0.30.450.25例2

設(shè)求解例2

設(shè)與獨(dú)立X,Y獨(dú)立?例3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求和解由的密度函數(shù)可求得其邊緣密度函數(shù)分別為:例3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求和解例3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求和解于是例3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求和解于是例3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求和解于是從而又所以例3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求和解于是從而又所以例3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求和解于是從而又所以故完協(xié)方差的性質(zhì)1.協(xié)方差的基本性質(zhì)(1)(2)(3)常數(shù)；(4)(5)其中是為任意常數(shù)；(6)當(dāng)與相互獨(dú)立，2.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系則協(xié)方差的性質(zhì)2.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系協(xié)方差的性質(zhì)2.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系特別地，若與相互獨(dú)立，則相關(guān)系數(shù)的定義協(xié)方差是對(duì)兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)同變化的度量，其大小在一定程度上反映了和相互間的關(guān)系，但它還受與本身度量單位的影響.例如，統(tǒng)計(jì)關(guān)系與與之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系應(yīng)該是一樣的，但其協(xié)方差卻擴(kuò)大了倍，即與之間的為避免隨便機(jī)變量本身度量單位不同而影響它們相互關(guān)系的度量，可將每個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，即取相關(guān)系數(shù)的定義為避免隨便機(jī)變量本身度量單位不同而影響它們相互關(guān)系的度量，可將每個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，即取相關(guān)系數(shù)的定義為避免隨便機(jī)變量本身度量單位不同而影響它們相互關(guān)系的度量，可將每個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，即取并將作為與之間相互關(guān)系的一種度量，而定義設(shè)為二維隨機(jī)向量，稱(chēng)相關(guān)系數(shù)的定義定義設(shè)為二維隨機(jī)向量，稱(chēng)相關(guān)系數(shù)的定義定義設(shè)為二維隨機(jī)向量，稱(chēng)為隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù)，有時(shí)也記為特別地，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)與不相關(guān).完相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1.證由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知，對(duì)任意實(shí)數(shù)有令則相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)由于方差是正的，故必有所以2.若和相互獨(dú)立，注意到此時(shí)易見(jiàn)結(jié)論成立.注：與相互獨(dú)立與不相關(guān).(參見(jiàn)例3-4）.則3.若則相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)3.若則相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)3.若則存在常數(shù)使而且時(shí)，注：相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)了和間“線性相關(guān)”的程度.的值越接近于1，與線性相關(guān)程度越高；的值越接近于0，與線性相關(guān)程度越弱；時(shí)，與有嚴(yán)格線性關(guān)系；時(shí)，與無(wú)線性關(guān)系；相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)注：相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)了和間“線性相關(guān)”的程度.的值越接近于1，與線性相關(guān)程度越高；的值越接近于0，與線性相關(guān)程度越弱；時(shí)，與有嚴(yán)格線性關(guān)系；時(shí)，與無(wú)線性關(guān)系；相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)注：相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)了和間“線性相關(guān)”的程度.的值越接近于1，與線性相關(guān)程度越高；的值越接近于0，與線性相關(guān)程度越弱；時(shí)，與有嚴(yán)格線性關(guān)系；時(shí)，與無(wú)線性關(guān)系；這里注意：只說(shuō)明與沒(méi)有線性關(guān)系.并不能說(shuō)明與之間沒(méi)有其它函數(shù)關(guān)系.與從而不能推出獨(dú)立.時(shí)，當(dāng)4.設(shè)稱(chēng)其為用來(lái)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)4.設(shè)稱(chēng)其為用來(lái)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)4.設(shè)稱(chēng)其為用來(lái)近似的均方誤差，則有下列結(jié)論：若則使均方誤差達(dá)到最小.注：示的好壞程度，我們可用均方誤差來(lái)衡量以近似表似程度越好，且知最佳的線性近似為其余均方誤差能說(shuō)明越接近1，越小.反之，越近于0，就越大，與的線性相關(guān)性越小.值越小表示與的近而從這個(gè)側(cè)面也完3.若則在常數(shù)使而且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，證明必要性當(dāng)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)存由方差的性質(zhì)可知：存在常數(shù)使即令則有令則有令則有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，充分性若于是完4.設(shè)稱(chēng)為用來(lái)近似的均方誤差，則有下列結(jié)論：設(shè)則使均方誤差達(dá)到最小.證證證解之得唯一解：由完例3設(shè)的分布律為易知于是不相關(guān).這表示不存在線性關(guān)系,但例3設(shè)的分布律為這表示不存在線性關(guān)系,但例3設(shè)的分布律為這表示不存在線性關(guān)系,但知不是相互獨(dú)立的.事實(shí)上,和具有關(guān)系:的值完全可由的值所確定.完例4設(shè)服從上的均勻分布,且判斷與是否不相關(guān),是否獨(dú)立.解由于而因此從而與不相關(guān).但由于與滿(mǎn)足關(guān)系:所以與不獨(dú)立.完例5已知且與的相關(guān)系數(shù)設(shè)求及解因且所以例5已知且與的相關(guān)系數(shù)設(shè)求及解因且所以例5已知且與的相關(guān)系數(shù)設(shè)求及解因且所以又因例5已知且與的相關(guān)系數(shù)設(shè)求及解因且所以又因例5已知且與的相關(guān)系數(shù)設(shè)求及解因且所以又因故完例6設(shè)二維隨機(jī)變量求相關(guān)系數(shù)解根據(jù)二維正態(tài)分布的邊緣概率密度知而例6設(shè)二維隨機(jī)變量求相關(guān)系數(shù)解例6設(shè)二維隨機(jī)變量求相關(guān)系數(shù)解令則有例6設(shè)二維隨機(jī)變量求相關(guān)系數(shù)解則有例6設(shè)二維隨機(jī)變量求相關(guān)系數(shù)解則有即有于是例6設(shè)二維隨機(jī)變量求相關(guān)系數(shù)解則有即有于是例6設(shè)二維隨機(jī)變量求相關(guān)系數(shù)解則有即有于是注:從本例的結(jié)果可見(jiàn),二維正態(tài)隨機(jī)變量的分布完全由和各自的數(shù)學(xué)期望、方差以及它們