大一學(xué)習(xí)線性代數(shù)老師課件

本節(jié)主要內(nèi)容:向量組的秩向量組的極大線性無關(guān)組向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系5.3

向量組的秩【引理】

設(shè)向量組a1

,

,

am

(m

…1)

線性無關(guān),

則a1

,

,

am

,

b

線性無關(guān)

b

不能由a1

,

,

am

線性表示.【證明】

()

若b

能由a1

,

,

am

線性表示,

則向量組a1

,

,

am

,

b

線性相關(guān).(

)若

a1

,

,

am

,

b

線性相關(guān),

則存在不全為

0

的k1

,k2

,,km

,k

使得k1a1

+

+

kmam

+

kb

=

0.這里一定有

k

=

0;

否則,

b

能由a1

,

,

am

線性表示.k1a1

+

+kmam

=0

k1

=

=km

=0,

這不可能!1.向量組的秩【定義1】(1)若向量組A

中有r

(r

…1)個(gè)向量線性無關(guān),而A

中任何r

+1

個(gè)向量(若存在)都線性相關(guān),則稱數(shù)r

為向量組A

的秩,記為在r(A

);僅含有零向量的向量組的秩約定為0.(2)若向量組A

的秩為r

(r

…1),則A

中任何r

個(gè)線性無關(guān)的向量構(gòu)成的向量組稱為A的一個(gè)極大(線性)無關(guān)組.例如,向量組a1

=

(1,

0),

a

2

=

(0,

1),

a

3

=

(1,

1)的秩為2;向量組a1

,a

2

;a1

,a

3

;a

2

,a

3

都是此向量組的極大無關(guān)組.【命題4.6】向量組A

:a1

,,ar

線性無關(guān)r(A

)

=

r

.【證明】由向量組秩的定義知,此結(jié)論成了.2.極大無關(guān)組的特征【命題4.7】

線性無關(guān)的向量組

B

是向量組

A

的一部分,

則

B

是

A

的極大無關(guān)組

B

可以線性表示

A

.【證明】()令向量組A

的秩r(A

)=r

;B

:

b1

,

,

br

.令a

為A

中任意向量.此時(shí),b1

,,br

,a

線性相關(guān);由前面的引理知,

a

可由b1

,

,

br

線性表示.(

)令

B

:

b1

,

,

br

可以線性表示A

.要說明B

是極大無關(guān)組,我們只要說明r(A

)=r

.在A

中任取r

+1

個(gè)向量a1

,,ar

+1

:這個(gè)向量組一定線性相關(guān);否則,

由命題4.5知,

有

r

+

1

?

r

.由向量組秩的定義知r(A

)=r

.【評注】上述命題說明,極大無關(guān)組的特征是,其本身線性無關(guān)且能夠線性表示整個(gè)向量組.此命題也說明,一個(gè)向量組與它的任何一個(gè)極大無關(guān)組等價(jià);且一個(gè)向量組的任何兩個(gè)極大無關(guān)組也等價(jià).【命題4.8】

若向量組

A

線性受控于

B

,

則r

(A

)

?

r

(B);特別是,

等價(jià)的向量組有相同的秩.【證明】

l令A(yù)

:

a1

,

,

ar

是A

的極大無關(guān)組;B

:

b1

,,bs

是B的極大無關(guān)組.此時(shí),

A

與A

等價(jià),

B

與B

等價(jià);從而,A

可由B

線性表示.于是,由命題4.5,r

(A

)

=

r(

A

)

=

r

?

s

=

r

(B

)

=

r

(

B

).3.向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系【評注】前面關(guān)于行向量組的理論都有列向量組版,特別是列向量組也有秩.【問題】矩陣產(chǎn)生一個(gè)行向量組和一個(gè)列向量組m

2am

a

1

m1

mn

a1n

a2n

=

=

[g1

,

,

gn

]A

=

a11

a12

a22

a22

a

a

aR

:

a1

,,am

?

1·n

,

C

:

g1

,,gn

?

m·1;r(R),

r(C),

r(A)有什么關(guān)系?下面的定理揭示這三個(gè)秩的關(guān)系:

它們相等.

此結(jié)論是矩陣的最本質(zhì)性質(zhì).【定理4.2】設(shè)矩陣

a1

1

n·nA

=

[aij

]m

=

=

[g

,

,

g

],am

的行向量組R

的秩為

s,

列向量組

C

的秩為

t

,

則r(

A)

=

s

=

t

.【證明】先證r(A)=s.不妨設(shè)a1

,

,

as

為行向量組R

的極大無關(guān)組:此時(shí),

我們有a1

s

a1

a

a

s

.A

=

as

+1

fi

0

am

(iii)型行初等變換

若

am

=

k1a1

+

+

ksas

,事實(shí)上,

0

t

個(gè)行初等變換(-ki

)·

ri

fi

rm

(

i

=

1,

,

t

)可將A

的最后一行變?yōu)榱阆蛄?.a1

從而有

a

s

r(

A)

=

r

(

)

=

s.r(A)=t

的證明:首先,我們有r(

A)

=

r(

AT

);又C::g1

,,gn

為AT

的行向量組.再由上一部分的證明知r(

AT

)

=

r(

C)

=

t.【評注】上述定理將向量組的秩轉(zhuǎn)化為矩陣的秩,而我們可以用矩陣的初等變換來求矩陣的秩.最后,

我們將指出向量組的另一個(gè)重要性質(zhì).【命題4.9】若A

=

[a1

,

,

anm·n行初等變換fi

B

=

[b

,

,

b

,1

n

m·n則向量組a1

,,an

與b1

,,bn有相同的線性結(jié)構(gòu),即k1a1

+

+

knan

=

0

k1

b1

+

+

knbn

=

0;進(jìn)而向量組a1

,,an與b1

,,bn有相同的線性相關(guān)性.【證明】本節(jié)思考題.3【例1】

求下列向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組,

并將其它向量表示成這個(gè)極大無關(guān)組的線性組合:a

1a

2aa4a=

(1,1,0,1,0)T

,=

(0,1,1,1,1)T

,=

(1,0,1,2,1)T

,=

(2,2,2,4, 2)T

,=

(1,1,2,3,2)T

.

5【解】我們的方法是對矩陣[a1

,

,

a5

]進(jìn)行行初等變換,將其化簡至行最簡形式:12A

=

00行初等變換fi

01

0

1

2

11

1

0

21

1

21

1

2

4

30

1

1

2

2a1

a

2

a

3

a4

a51

0

0

1

01

0

1

10

1

1

1

=

B

.0

0

0

0

00

0

0

0

0b1

b2

b3

b4

b5由命題4.9,只需要對b1

,,b5

回答我們的問題:31000101

0

0

0

0

b100

b20

bBT

=

03100010000000b1b2b1

1

1

0

0

b40

1

1

0

0

b51

0

0

0

000000

b4

-

b1

-

b2

-

b3b5

-

b2

-

b300

0a1

,a

2

,a

3

為a1

,,a

5

的一個(gè)極大無關(guān)組;a4

=

a1

+

a

2

+

a

3

,

a5

=

a

2

+

a

3

.行初等變換【例2】求證下列兩個(gè)向量組等價(jià):A

:

a1

=

(2,

0,

-1,

3),

a

2

=

(3,

-2,

1,

-1);B

:

b1

=

(-5,

6,

-5,

9),

b2

=

(4,

-4,

3,

-5).【證明】由于這兩個(gè)向量組的秩都是2,若有r

(a1

,

a

2

,

b1

,

b2

)

=

2,則A

,B

都是向量組a

1

,a

2

,b1

,b2

的極大無關(guān)組,從而A

與B

等價(jià).1

2

1

2

0-4[a

,

a

,

b

,

b

]

=3-1

3

2

3

-5

4-2

61

-5

-1

9

-52423

1

-1

5

-30

1

-33

-5-1

9

-50001042

0行初等變換

,

1

-1

5

-31

-3

20

0

0

00

0

0

0

行初等變換

2

3

-5

4

0

3

-2

6

-4-1

1

-5

3-1

9-5

1

-1

5

-31

-35

-152

-6r

(a1

,

a

2