2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)解析：圓錐曲線中的二級(jí)結(jié)論（原卷版）

圓錐曲線中的二級(jí)結(jié)論

圓錐曲線有許多形式結(jié)構(gòu)相當(dāng)漂亮的結(jié)論，記住圓錐曲線中一些二級(jí)結(jié)論，能快速擺平一切圓錐曲線

壓軸小題.

類型一巧用焦點(diǎn)三角形的面積、離心率，突破圓錐曲線壓軸小題

1設(shè)P點(diǎn)是橢圓三+卷=1(。>6>0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)\、F2為其焦點(diǎn)，記a=8,則

a-b￡

2RsinN.-iPB

(1)\PFI\\PF\=(2)S^PF\F2=62tanp(3)e

21+cos0sinZ.PF\F2+sinZ.PFiF\

2設(shè)尸點(diǎn)是雙曲線5-弓=1(〃>0,6>0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，R,尸2為其焦點(diǎn)，記乙尸出尸2=。，則

a-b-

2〃62sinZF\PFi

(1)|吶|尸尸2|=(2)S^PF\F2=Q(3)e=

1-cos0tan-|sin/_PF\Fi-sin/_PFiF\\

2

【例1】在橢圓||+g=l上，△/W2為焦點(diǎn)三角形，如圖所示.

⑴若。=60。，則△尸￡乃的面積是

(2)若a=45。，4=75。，則橢圓離心率e=.

【例2】已知雙曲線C：不-上=1化>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,且“質(zhì)=(則△耳竹的面積

K-53

為

【跟蹤訓(xùn)練】(2022?荊州模擬)已知P是橢圓%上1上的一點(diǎn)‘幾B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)""=

;時(shí)，則△PH同的面積為.

類型2妙用中心弦的性質(zhì)，突破圓錐曲線壓軸小題

設(shè)48為圓錐曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是曲線上與48不重合的任意一點(diǎn)，則MP女BP=e2-l.

【例3】（2021?貴州?遵義師范學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末（文））已知A,8分別為雙曲線C：4-4=1

ab~

（a>0,b>0）的左、右頂點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且直線IP,8P的斜率之積為2,則C的離心率為

A.y/2,B.VsC.yfsD.yfb

【例4】設(shè)橢圓5+5=l（a>b>0）的左，右頂點(diǎn)分別為4,8,點(diǎn)P在橢圓上異于N,B兩點(diǎn),若/尸與

azb乙

BP的斜率之積為-今則橢圓的離心率為.

22

【跟蹤訓(xùn)練】已知橢圓C京+方=1伍>6>0）的左、右頂點(diǎn)分別為48,點(diǎn)尸在橢圓上且異于48兩點(diǎn)，O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線｛尸與8尸的斜率之積為則橢圓C的離心率為_(kāi)___,

4

類型3會(huì)用中點(diǎn)弦的性質(zhì)，突破圓錐曲線壓軸小題

設(shè)圓錐曲線以Wo,次）0e0）為中點(diǎn)的弦AB所在的直線的斜率為k.

1.若圓錐曲線為橢圓§+臺(tái)=1（。>6>0）,則%B=kAB'koM=e2-1.

azbzayo

2.若圓錐曲線為雙曲線5一三=1（Q>0,b>0）,貝ll自8=與迫，kAB，koM=區(qū)一1.

出bzayo

3.若圓錐曲線為拋物線產(chǎn)=2*仍>0）,則自6=J

次

【例5】已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)（3,0）是E的焦點(diǎn)，過(guò)/的直線/與E相交于4,3兩點(diǎn)，且43

的中點(diǎn)為M-12,-15）,則E的方程為（）

A--J=lB.--J=1

3645

【例6】已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，尸（1,0）是E的焦點(diǎn)，過(guò)尸的直線/與E相交于48兩點(diǎn)且的中

點(diǎn)為N（-4,-5）,則雙曲線E的漸近線的方程為（）

A.y/5x+2y=0B.2x+\/5y-0

C.4x±5y=0D.5x±4了=0

【例7】已知一條過(guò)點(diǎn)尸（2,1）的直線與拋物線/=2x交于AB兩點(diǎn),尸是弦A8的中點(diǎn)，則直線的斜

率為.

【跟蹤訓(xùn)練】已知橢圓E的中心為原點(diǎn)，尸（3,0）是￡的焦點(diǎn)，過(guò)尸的直線/與￡相交于48兩點(diǎn)，且48中

點(diǎn)為M（2,-l）,則E的離心率0=,

4利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，突破圓錐曲線壓軸4

1.過(guò)橢圓Ul（a>b>0）的右焦點(diǎn)尸且傾斜角為a（a*90。）的直線交橢圓于a8兩點(diǎn)，且的=2|兩則

橢圓的離心率等于——一.

（入+1）COS4

2.過(guò)雙曲線15>0,6>0）的右焦點(diǎn)尸且傾斜角為a（a卉90。）的直線交雙曲線右支于力，8兩點(diǎn)，且法|

crbL

=2.\FB\,則雙曲線的離心率等于|————|.

（A+1）cosa

3.過(guò)拋物線產(chǎn)=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸傾斜角為6的直線交拋物線于Z,B兩點(diǎn),則兩焦半徑長(zhǎng)為;"上二,;P-

1-COS0I4-COS0

[,]2]|2P〃2

---+---=一,\AB\=-,S&AOB=-匕—.

\AF\\BF\psin?。2sin0

【例8】已知橢圓三+卷=1（。>6>0）的離心率為0=當(dāng)，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為網(wǎng)4>0）的直線交橢圓于aB

出廿2

兩點(diǎn)，已知赤=3/，則4=（）

A.1B.啦C.SD.2

22

【例9】（2022?湖北?荊州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）過(guò)雙曲線C：，-2r=1的右焦點(diǎn)R作直線/交C的兩條漸近線于

ab

A,B兩點(diǎn),A,B均位于V軸右側(cè)，且滿足#=百而，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若N。尸"=120。，則雙曲線C的

離心率為

【例10】設(shè)尸為拋物線C：產(chǎn)=3》的焦點(diǎn)，過(guò)尸且傾斜角為30。的直線交C于/,8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

貝加為

【例11】設(shè)廠為拋物線C產(chǎn)=16x的焦點(diǎn)，過(guò)E且傾斜角為6的直線交C于N、8兩點(diǎn)，。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△NO3的面積為。

【跟蹤訓(xùn)練】如圖，過(guò)拋物線產(chǎn)=2外8>0）的焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于點(diǎn)4B,交其準(zhǔn)線/于點(diǎn)C,若產(chǎn)

是/C的中點(diǎn)，且|/引=4,則線段48的長(zhǎng)為（）

模擬訓(xùn)練

1.（2023湖北?天門教育科學(xué)研究院高二期末）已知小鳥是橢圓C:仁+仁=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一

43

點(diǎn)，N耳尸乙=60°,則△尸片行的面積是（）

41-

A.3B.2C.-V3D.布

22一

2.（2023?安徽亳州一中高二月考）已知雙曲線:r-方v=1（。＞0力＞0）,過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于4B

兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F,若△/8F的面積為2/,則雙曲線的離心率為（）

A.五B.6C.2D.y/5

3.（2023?安徽?六安一中高二期末）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為二+4=1（。＞6＞0）,則橢圓

ab~

2

在其上一點(diǎn)4（X。,為）處的切線方程為岑+繆=1,試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題；橢圓G：三+y=1,點(diǎn)8

ab2

為G在第一象限中的任意一點(diǎn)，過(guò)8作G的切線/,/分別與x軸和y軸的正半軸交于c,。兩點(diǎn)，貝UAOCC

面積的最小值為（）

A.1B.V3C.72D.2

4.（2023?內(nèi)蒙古?海拉爾二中高三期末）設(shè)橢圓的方程為?=斜率為左的直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0,而且與

橢圓相交于48兩點(diǎn)，陽(yáng)為線段48的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A,直線與垂直;

B,若直線方程為V=2x+2,pliJ|jB|=172.

14

C.若直線方程為y=x+l,則點(diǎn)"坐標(biāo)為

313

D.若點(diǎn)M坐標(biāo)為則直線方程為2x+y-3=0；

5.(2023?安徽?淮北師大附中高二期中)已知橢圓￡：4+4=1(?>6>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線產(chǎn)=12x的焦

點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)尸的直線交E于A、5兩點(diǎn)，若Z8的中點(diǎn)坐標(biāo)為(L-1),則￡的方程為()

A.—+^=1B.—+^-=1

45363627

x2v2X2V2

2718189

6.已知點(diǎn)尸在拋物線C:/=4x上，過(guò)點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，若直

線的斜率為T,則點(diǎn)尸坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(1,-2)C.(2,2收)D.(2,-272)

7.已知直線/與拋物線/=4x交于不同的兩點(diǎn)4B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線。4。8的斜率之積為-1,則

直線/恒過(guò)定點(diǎn)()

A.(4,0)B.(0,4)C.(0,-4)D.(-4,0)

8.設(shè)廠為拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)N在C上，點(diǎn)6(3,0),若g尸|=忸可，則|/卻=()

A.2B.2&C.3D.3亞

9.設(shè)廠為拋物線C：yJ6x的焦點(diǎn)，過(guò)尸且傾斜角為60。的直線交C于48兩點(diǎn)，則|“卻=()

A.粵B.8C.12D.7G

10.已知拋物線C:/=4y的準(zhǔn)線為/,記/與y軸交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作直線/與C相切，切點(diǎn)為M則以

為直徑的圓的方程為()

A.(x+l)2+y2=4或