第八章繞流運動課件

第八章繞流運動

在自然界和工程實際中，有大量流體繞流物體的流動問題。實際流體都有粘性，在大雷諾數(shù)的繞流中，由于流體慣性力遠大于作用于流體的黏性力，黏性力相對于慣性力可忽略不計，將流體視為理想流體。由理想流體的流動理論求解流場中的速度分布。但在靠近物體的一薄層內(nèi)，由于存在強烈的剪切流動，黏性力與慣性力處于相同的數(shù)量級，從而不能忽略。?！?.1無旋流動§8.2平面無旋流動§8.3幾種簡單的平面無旋流動§8.4勢流的疊加§8.5

繞流運動與附面層基本概念§8.6

邊界層動量方程§8.7平板層流附面層的近似計算§8.8平板上紊流附面層的近似計算§8.9曲面附面層的分離現(xiàn)象與卡門渦街§8.10繞流阻力和升力§8.1無旋流動 無旋流動就是其流場中每個流體微團不發(fā)生旋轉(zhuǎn)，角速度，即一速度勢函數(shù)有勢流動（無旋流動）流體微團角速度，或得到所以上式成立，意味著在流動空間構(gòu)成一個函數(shù)，滿足全微分的充分必要條件，用Φ(x,y,z,t)表示，該函數(shù)的全微分為：

(1)

全微分存在的充分必要條件：若u=f(x,y,z,t)的各偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，則有

Φ函數(shù)的全微分（2）

比較（1）和（2）式，得到

（3）定義函數(shù)Φ(x,y,z,t)稱為勢函數(shù)，由Φ可計算得到速度，根據(jù)伯努利方程得到流場中壓強的分布。速度勢函數(shù)的特性

1勢函數(shù)的方向?qū)?shù)等于速度在該方向上的投影2

存在勢函數(shù)的流動一定是無旋流動3等勢面與流線正交4

不可壓縮流體中勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)

特性1

空間曲線s上任取一點M(x,y,z)，M點處流體質(zhì)點速度分量為vx、vy、vz，取速度勢函數(shù)的方向?qū)?shù)其中：，，而，，則速度的分量vx、vy、vz分別在曲線s的切線上的投影之和等于速度矢量本身的投影vs。速度勢函數(shù)沿任意方向取偏導(dǎo)數(shù)的值等于該方向上的速度分量。特性2

設(shè)對某一流動，存在勢函數(shù)Φ(x,y,z,t)，流動的角速度分量類似的推出可見，流場存在速度勢函數(shù)則流動無旋，因此流動無旋的充分必要條件勢流場有速度勢函數(shù)存在。特性3

等勢面：在任意瞬時t0，速度勢函數(shù)取同一值的點構(gòu)成流動空間一個連續(xù)曲面，Φ(x,y,z,t0)=常數(shù)。在等勢面上取一點A，并在該面上過A任取一微元矢量，求與點A處速度的標量積。因為Φ(x,y,z,t0)=C，所以dΦ=0得到這說明一點的速度矢量與過該點的等勢面是垂直的，又因為速度矢量與流線方向一致，推出流線與等勢面垂直。

特性4不可壓縮流體的連續(xù)性方程為

對于有勢流動，，

即，滿足Laplace方程。而滿足Laplace方程的函數(shù)就叫做調(diào)和函數(shù)§8.2平面無旋流動 平面流動是指對任一時刻，流場中各點的速度都平行于某一固定平面的流動，并且流場中物理量（如溫度、速度、壓力、密度等）在流動平面的垂直方向上沒有變化。即所有決定運動的函數(shù)僅與兩個坐標及時間有關(guān)。在實際流動中，并不存在嚴格意義上的平面流動，而只是一種近似。如果流動的物理量在某一個方向的變化相對其他方向上的變化可以忽略，而且在此方向上的速度很小時，就可簡化為平面流動問題處理。（圖1）二流函數(shù)在平面流動中，不可壓縮流動的連續(xù)性方程為或?qū)懗桑?）（4）是–vydx+vxdy

成為某一函數(shù)Ψ（x，y，t）全微分的充分必要條件，即（5）Ψ的全微分為（6）比較（5）和（6），得到

，符合上式條件的函數(shù)Ψ（x，y，t）叫做二維不可壓縮流場的流函數(shù)。

流函數(shù)的特性1.沿同一流線流函數(shù)值為常數(shù)2.平面流動中通過兩條流線間單位厚度的流量等于兩條流線上的流函數(shù)的差值3.在有勢流動中流函數(shù)也是一調(diào)和函數(shù)特性1s為坐標系XOY的任意一條流線，在s上任取一點作速度矢量，與流線相切，該點的微元流線段在x、y軸上的投影為dx、dy，在x、y軸上的投影為vx、vy

或由，得到在流線s上，Ψ的增量dΨ為0，說明沿流線Ψ（x，y，t）為常數(shù)，而流函數(shù)的等值線，即Ψ（x，y，t）=C就是流線。因此，找到流函數(shù)后，可以知道流場中各點速度，還可以畫出流線。特性2

設(shè)Ψ1、Ψ2是兩條相鄰流線，作其間一曲線AB，求通過AB兩點間單位厚度的流量。(見下圖）在AB上作微元線段,過微元線段處的速度為，

,單位厚度的流量dq應(yīng)為通過dx的流量vydx和通過dy的流量vxdy之和，（vy<0）沿AB線段積分，由于沿流線流函數(shù)為常數(shù)，因此

特性3對平面勢流有將，代入上式得到即，滿足Laplace方程。所以在平面勢流中流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。三流函數(shù)和勢函數(shù)的關(guān)系在平面勢流中有，

，交叉相乘得說明等勢線族Φ(x,y,z,t)=C1與流函數(shù)族Ψ(x,y,z,t)=C2相互正交。在平面勢流中，流線族和等勢線族組成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)。

極坐標(r,θ)中，徑向的微元線段是dr，圓周的微元線段是rdθ，速度勢函數(shù)Φ(r,θ,t)與vr、vθ的關(guān)系是，速度流函數(shù)Ψ(r,θ,t)與vr、vθ的關(guān)系是，速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系是

，例1例2例3流線是一族以x軸和y軸為漸近線的雙曲線，等勢線是以直角平分線為漸近線的雙曲線族。將x軸看成是固壁，并且只觀察上半平面，則流動沿y軸垂直的自上而下流向固壁，然后在原點處分開，流向兩側(cè)?！?.3幾種簡單的

平面無旋流動一均勻流二點源和點匯三點渦一均勻流圖2均勻流示意圖二點源和點匯

圖3a點源

圖3b點匯三點渦

定義：流體質(zhì)點沿著同心圓的軌跡運動，且其速度大小與向徑r成反比的流動。又被稱為自由渦。將坐標原點置于點渦處，設(shè)點渦的強度為，則任一半徑r處流體的速度可由stokes定理得到,那么而求點渦的速度勢函數(shù)和流函數(shù)

對上面兩式積分，并令積分常數(shù)等于零，得到：等勢線是的線，流線是以坐標原點為圓心的同心圓。點渦的復(fù)勢是或

圖4點渦示意圖§8.4勢流的疊加勢流疊加原理有兩個流動，它們的速度分布函數(shù)、速度勢函數(shù)、流函數(shù)、復(fù)勢函數(shù)分別為、Φ1、Ψ1

、W1和、Φ2

、Ψ2

、W2，由于和都滿足線性Laplace方程，可以將和分別進行疊加。將兩流動合起來的復(fù)合流動，其相應(yīng)量分別為、Φ

、Ψ

、W，存在以下關(guān)系：因此流動變成n個，同樣將n個流動疊加，復(fù)合流動的相應(yīng)量定義：疊加多個流動時，所得合成流動的復(fù)勢即為分流動的復(fù)勢的代數(shù)和，此即勢流的疊加原理。一螺旋流—點匯（源）+點渦

流動形式為流體自外沿圓周切向進入，又從中間不斷流出。點匯的復(fù)勢為點渦的復(fù)勢為將兩者疊加后得到的新流動的復(fù)勢為得到新流動的速度勢函數(shù)和流函數(shù)的表達式為

令上式等于常數(shù)，可以得到等勢線方程流線方程等勢線和流線為相互正交的對數(shù)螺旋線簇，稱為螺旋流。點匯+點渦→陰螺旋流點源+點渦→陽螺旋流圖5螺旋流示意圖二偶極子流—點源+點匯

將源點設(shè)于A點（-a,0），匯點于B點（a,0），強度都為q，點源的復(fù)勢為點匯的復(fù)勢為將點源和點匯疊加后的新流動的復(fù)勢為若源點和匯點無限接近，即,如果強度不變時，匯點將源中流出的流體全部吸掉而不發(fā)生任何流動。

若在2a逐漸縮小時，強度q逐漸增強，當(dāng)2a減小到零時，q應(yīng)增加到無窮大，以使保持一個有限值，即，在這一極限狀態(tài)下的流動稱為偶極子流，M是偶極矩，方向從點源到點匯。偶極子流的復(fù)勢為或新流動的速度勢函數(shù)和流函數(shù)分別為

求等勢線方程和流線方程1．等勢線方程由于，有得到整理后等勢線方程為表示一族圓心在x軸上，并與y軸在原點相切的圓2．流線方程由于，有得到整理后得流線方程為表示一族圓心在y軸上，并與y軸在原點處相切的圓。圖6偶極子流示意圖圓柱體繞流

設(shè)有一速度為的均勻流，從與圓柱體垂直的方向繞過一半徑為r0的無限長圓柱體，這樣的流動看成是平面流動。均勻流繞過圓柱體時，由于受到圓柱的阻擋，繞過柱體附近的流體質(zhì)點受到擾動，偏離原來的直線路徑，而離柱體越遠，擾動越小，在無窮遠的地方，完全不受擾動，作均勻流動。圓柱體繞流可以分為兩種情況。

一圓柱體無環(huán)量繞流二圓柱體有環(huán)量繞流

圖7繞無窮長圓柱的流動一圓柱體無環(huán)量繞流由均勻流和偶極子流疊加而成的平面流動。

1.勢函數(shù)和流函數(shù)均勻流和偶極子流的復(fù)勢分別為根據(jù)勢流疊加原理，均勻流和偶極子流疊加形成的新流動的復(fù)勢為

那么速度勢函數(shù)和流函數(shù)分別為

(1)

代入得到直角坐標下的速度勢函數(shù)和流函數(shù)（2）令，即得到零流線方程為零流線是一個以坐標原點為圓心，半徑的圓周和x軸，零流線到A處分成兩股，沿上下兩個半圓周流到B點，又重新匯合。將代入方程（1）中，那么均勻流繞過圓柱體無環(huán)量繞流的勢函數(shù)和流函數(shù)可以寫成

（）（3）圖8均勻流繞過圓柱體無環(huán)量的流動12．速度分布流場中任意一點P（x，y）的速度分量為（4）在或處，，，這說明在無窮遠處流動變成均勻流。在極坐標系中，速度分量為沿包圍圓柱體的圓形周線的速度環(huán)量為均勻流繞過圓柱體的平面流動的速度環(huán)量等于零，故稱為圓柱體無環(huán)量繞流。當(dāng)時，在圓柱面上，速度分布為（5）

說明，流體沿圓柱表面只有切向速度，沒有徑向速度，符合流體既不穿入又不脫離圓柱面的實際情況。在圓柱面上速度是按照正弦曲線分布的，在（B點）和（A點）處，，A、B二點是分流點，也稱為駐點。在處，達到最大值，，即等于無窮遠處來流速度的2倍。3.壓力分布圓柱面上任意點的壓力，可以由Bernoulli方程計算將圓柱表面的速度分布(5)代入上式得到

(6)如采用壓力系數(shù)來表示，根據(jù)Bernoulli方程定義將ｐ代入上式，得到用Ｃｐ表示流體作用于物體表面上的壓力是無量綱量，與圓柱體半徑、均勻流速度無關(guān)，只與表面位置有關(guān)。圖9壓強系數(shù)沿圓柱面的分布4.合力從壓力分布看出，在圓柱面上壓力對稱于ｘ軸、ｙ軸，那么柱面上合力等于０。流體作用在圓柱體上的總壓力分解成ｘ、ｙ方向上的分力Ｆｘ、Ｆｙ，分別為與來流平行和垂直的作用力，稱為流體作用在柱體上的阻力Ｄ和升力Ｌ。有（７）理想流體的均勻流繞過圓柱體的無環(huán)量繞流中，圓柱體不受阻力和升力作用。事實上，實際流體由于粘性作用，繞過圓柱產(chǎn)生摩擦力，而且在圓柱繞流后面部分形成脫流和尾跡，流動圖形和理想流體繞流截然不同。就是說，在實際流體繞流圓柱體中，會產(chǎn)生阻力。二圓柱體有環(huán)量繞流在前面無環(huán)量繞流基礎(chǔ)上，讓圓柱體以等角速度繞其軸心旋轉(zhuǎn)，形成有環(huán)量繞流。

1.勢函數(shù)和流函數(shù)設(shè)定圓柱順時針旋轉(zhuǎn)。有環(huán)量繞流是由均勻流、偶極子流、點渦疊加而成，其復(fù)勢分別為

(8)疊加后的復(fù)勢為其速度勢函數(shù)和流函數(shù)分別為

(9)

2.速度分布流場中任一點P(r,θ)處的速度為

(10)當(dāng)時，，即的圓周是一條流線，圓柱面上速度分布為

(11)

這說明流體與圓柱體沒有分離現(xiàn)象，只有沿著圓周切線方向的速度。當(dāng)時，，，說明在遠離圓柱體處流體為均勻流。

當(dāng)點渦的強度時，在圓柱體的上部環(huán)流的速度方向與均勻流的速度方向相同，而在下部則相反。疊加的結(jié)果在上部速度增高，而在下部速度降低，這樣就破壞了流線關(guān)于x軸的對稱性，使駐點A和B離開了x軸，向下移動。為了確定駐點的位置，令(11)中，得到駐點的位置角為

(12)若，則，圓柱面上的兩個駐點左右對稱，并位于第三和第四象限內(nèi)，且A、B兩駐點隨值的增加而向下移動，并互相靠攏。若，則，圓柱面上不存在駐點，駐點脫離圓柱面沿y軸向下移到某一位置。令(10)中的和，得到兩個位于y軸上的駐點，一個在圓柱體內(nèi)，另一個在圓柱體外。事實上，只有一個在圓柱體外的自由駐點A，全流場由經(jīng)過駐點A的閉合流線劃分為內(nèi)、外兩個區(qū)域，外部區(qū)域是均勻流繞過圓柱體有環(huán)量的流動，在閉合流線和圓柱面之間的內(nèi)部區(qū)域自成閉合環(huán)流，但流線不是圓形的。如果疊加的點渦強度，駐點的位置與上面討論的情況正好相差180°。由此可見，駐點的位置不簡單取決于，而取決于。圖10均勻流繞過圓柱體有環(huán)量的流動3.壓力分布將圓柱面上的速度分布(11)代入Bernoulli方程，得到

(13)4.合力圓柱體上取一微元線段，單位長度上圓柱體所受到的力，力沿x和y軸方向上的分量為

沿整個圓柱面進行積分得到

(14)將圓柱面壓強(13)代入上式，得到說明圓柱有環(huán)量繞流的阻力為零。

（15）

這就是庫塔-儒可夫斯基升力公式。從上面的分析可以看出理想流體有環(huán)量圓柱繞流時，作用于單位長度圓柱體上的合力垂直于均勻來流，大小等于流體密度、來流速度和速度環(huán)量三者的乘積。升力的方向由來流速度的方向沿環(huán)量的反方向旋轉(zhuǎn)90°確定。

圖11升力的方向§8.5

繞流運動與附面層

基本概念

用N-S方程可以得到小雷諾數(shù)流動條件下的近似解，工程上涉及到大雷諾數(shù)流動，要尋求新的近似方法。在實際流體繞流固體時，固體邊界上的流速為0，在固體邊界的外法線方向上的流體速度從0迅速增大，在邊界附近的流區(qū)存在相當(dāng)大的速度梯度，在這個流區(qū)內(nèi)粘性作用不能忽略，邊界附近的流區(qū)稱為邊界層（或附面層），邊界層外流區(qū)，粘性作用可以忽略，當(dāng)作理想流體來處理。如圖，平板前方均勻來流的速度v∞，從平板前緣開始形成邊界層，其厚度沿流增加。在邊界層外緣附近流速漸近于當(dāng)?shù)赝饬魉俣?。認為邊界層厚度是沿表面法線方向從到的一段距離。邊界層定義：繞流物體表面上一層厚度很小且其中的流動具有很大法向速度梯度的流動區(qū)域。注意：對于平板繞流，邊界層外緣，對于彎曲固壁，邊界層外緣。

邊界層的外邊界線與流線不重合，外流區(qū)域中的流體質(zhì)點可以連續(xù)地穿過邊界層的外緣進入邊界層內(nèi)?！?.6

邊界層動量方程

流體繞流中作用在物體上的力可以分為垂直于來流方向的升力和平行于來流方向的阻力，繞流阻力可以分成摩擦阻力與形狀阻力，都與邊界層有關(guān)。繞流阻力作用表現(xiàn)在于邊界層內(nèi)流速的降低，引起動量的變化。通過建立邊界層的動量方程來研究摩擦阻力。沿物體的曲面取x軸，沿物體表面法線取y軸，在物體表面取邊界層微元段ABCD，把它放大，x軸便成為直線，線段BD長為dx，AC為邊界層外邊界，AB、CD垂直于物體表面。假設(shè)：①

不計質(zhì)量力②

流動為定常流動③

dx無限小，BD、AC可看成直線由動量方程（1）MCD、MAB、MAC分別為單位時間內(nèi)通過CD、AB、AC面的流體動量在x軸上的分量，∑Fx為作用在微元面積段上所有外力合力在x軸上的投影。由控制面AB沿x方向流入動量（2）由控制面CD沿x方向流出動量（3）由控制面AC沿x方向流入動量（4）

因為，所以邊界層內(nèi)邊界就是物體表面，其流速為0，其壓強等于邊界層外邊界的壓強，即沿物體表面的法線y方向壓強不變，p與y無關(guān)，可用全微分代替偏微分，上式可寫作（5）將（2）、（3）、（4）、（5）代入（1）得到（6）方程（6）就是邊界層積分方程，由馮·卡門首先推導(dǎo)出來的，稱作卡門動量積分方程?！?.7平板層流附面層的近似計算

邊界層動量方程當(dāng)時，有5個未知量，其中的v∞用前面的勢流理論求解，p由伯努利方程計算，還剩下、、3個未知量，補充2個方程，一是邊界層內(nèi)流速分布的關(guān)系式，二是切應(yīng)力與邊界層厚度的關(guān)系式。后者根據(jù)流速分布的關(guān)系式求解得到。通常在計算邊界層動量積分方程時，先假定流速分布。這里將就如何應(yīng)用動量積分方程求解平板繞流作介紹。在二維定常均速流場中，在流動方向上放置一極薄的光滑平板，平板前端取作坐標原點，平板表面為x軸，來流速度v∞平行于平板。由于平板極薄，邊界層外部的流動不受平板的影響，因此邊界層外邊界上流速處處相等，等于來流速度v∞。由于流速不變，邊界層外邊界上壓強p也處處相等，。對于不可壓縮流體，平板繞流邊界層動量方程可寫成：（1）該方程適用于層流和紊流邊界層。設(shè)定平板上為層流邊界層，首先補充邊界層流速分布關(guān)系式，假定層流邊界層內(nèi)的流速分布與管流中的層流速度分布相同，即應(yīng)用于層流邊界層，流速分布為或（2）補充第二個關(guān)系式，由牛頓內(nèi)摩擦定律，求平板上的切應(yīng)力

上式中負號表示切應(yīng)力和x軸的方向相反，用其絕對值（3）把（2）、（3）代入（1）對于某固定斷面是定值可提到積分號之外，v∞沿x方向不變，可以提到對x的全導(dǎo)數(shù)之外，最后得到沿x方向的變化關(guān)系式當(dāng)，時，，因此上式化簡為（4）方程（4）是平板邊界層厚度沿s方向的變化關(guān)系式。把（4）代入（3）（5）（5）為平板層流邊界層的切應(yīng)力沿x方向的變化關(guān)系式。作用在平板一面上的總摩擦阻力Df為（6）b為平板寬度，L為平板厚度。求平板兩面的總摩擦阻力只需乘以2。通常將繞流摩擦阻力計算公式寫成下列形式（7）Cf—無因次摩擦阻力系數(shù)；A—平板面積。將（6）和（7）對照得到即（8）ReL是以板長L為特征長度的Re數(shù)，（8）適用范圍3×105<ReL<106?！?.8平板上紊流

附面層的近似計算

假定整個平板上都是紊流邊界層，首先補充邊界層流速分布關(guān)系式，紊流邊界層內(nèi)的流速分布用圓管中紊流光滑區(qū)的速度分布，即應(yīng)用到紊流邊界層，速度分布為（9）切應(yīng)力借用圓管關(guān)系式（10）將（9）和（10）代入（1），積分得到當(dāng)，時，，因此（11）把（11）代入（10）得到（12）平板一面的摩擦阻力為用表示，得到（13）注意：實驗表明，將上式中的0.072改成0.074效果要好些與層流邊界層相比，Re增加時，紊流的Cf減小得要慢些，（13）適用范圍3×105<ReL<107。當(dāng)ReL>107時流速分布變化（14）平板上混合邊界層的計算

前面假定整個平板上是層流或紊流邊界層，實際上，當(dāng)Re增大到一定數(shù)值時，平板長度達到一定長度，即時，平板前部是層流邊界層，后部是紊流邊界層，中間有一過渡段，這種邊界層稱為混合邊界層。計算時引入假設(shè)：（1）層流邊界層轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鬟吔鐚邮窃谔幫蝗话l(fā)生，無過渡段；（2）混合邊界層的紊流邊界層可以看作是從平板的首端開始的紊流邊界層的一部分。那么，整個混合邊界層平板上的總摩擦阻力由層流邊界層的摩擦阻力和紊流邊界層的摩擦阻力兩部分組成。Cfm

—混合邊界層摩阻系數(shù)；Cft

—紊流邊界層摩阻系數(shù)；Cfl

—層流邊界層摩阻系數(shù)；xk—轉(zhuǎn)折點到平板首端的距離?；喓?，（15）§8.9曲面附面層的分離現(xiàn)象與卡門渦街流體繞過非線型鈍頭物體時，較早脫離物體表面，在物體后部形成較寬闊的尾流區(qū)，在邊界層內(nèi)，流體質(zhì)點在某些情況下向邊界層外流動的現(xiàn)象稱為邊界層從固體分離。以圓柱繞流為例，虛線為邊界層外邊界。