第五章頻率響應(yīng)法課件

第五章頻率響應(yīng)法5.1頻率特性5.2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性5.3奈奎斯特判據(jù)5.4穩(wěn)定裕度5.5閉環(huán)頻率特性End本章作業(yè)A(ω)稱幅頻特性，φ(ω)稱相頻特性。二者統(tǒng)稱為頻率特性。

基本概念（物理意義）5.1

頻率特性5.25.35.45.5數(shù)學(xué)本質(zhì)R1C1i1(t)穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性等于輸出和輸入的傅立葉變換之比。求解觀察線性微分方程性能指標(biāo)傳遞函數(shù)時間響應(yīng)頻率響應(yīng)拉氏變換拉氏反變換估算估算計算傅氏變換S=jω頻率特性常用于描述頻率特性的幾種曲線幅相頻率特性曲線：對于一個確定的頻率，必有一個頻率特性的幅值和一個頻率特性的相角與之對應(yīng)，幅值與相角在復(fù)平面上代表一個向量。當(dāng)頻率ω從零變化到無窮時，相應(yīng)向量的矢端就描繪出一條曲線。這條曲線就是幅相頻率特性曲線，簡稱幅相曲線。又稱奈奎斯特曲線或極坐標(biāo)圖

對數(shù)幅相曲線（又稱尼柯爾斯曲線）：對數(shù)幅相圖的橫坐標(biāo)表示對數(shù)相頻特性的相角，縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的幅值的分貝數(shù)。對數(shù)頻率特性曲線：又稱為伯德圖（曲線）.其橫坐標(biāo)采用lgw對數(shù)分度.對數(shù)幅頻曲線的縱坐標(biāo)按線性分度,單位是分貝，記作dB。對數(shù)相頻曲線的縱坐標(biāo)按線性分度單位是度。

對數(shù)分度優(yōu)點：擴大頻帶、化幅值乘除為加減、易作近似幅頻特性曲線圖。

典型環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)：K慣性環(huán)節(jié)：1/(Ts+1)，式中T>0

一階微分環(huán)節(jié)：(Ts+1)，式中T>0

5.2

典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性積分環(huán)節(jié)：1/s微分環(huán)節(jié)：s振蕩環(huán)節(jié)：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1];

式中ωn>0，0<ζ<1二階微分環(huán)節(jié)：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1;

式中ωn>0，0<ζ<15.2.1幅相曲線和對數(shù)幅頻特性、相頻特性的繪制

5.15.35.45.55.2.35.2.2比例環(huán)節(jié)的頻率特性是G(jω)=K,幅相曲線如下左圖。k

j0圖5.3比例環(huán)節(jié)K的幅相曲線·

比例環(huán)節(jié)0020lgK

(dB)(o)ωω111010圖5.4比例環(huán)節(jié)的

對數(shù)頻率特性曲線比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性分別是：

L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgK和φ(ω)=0相應(yīng)曲線如上右圖。積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是L(ω)=-20lgω,而相頻特性是φ(ω)=-90o。積分環(huán)節(jié)圖5.61/jω和jω的對數(shù)坐標(biāo)圖ωjω1/jω0.1(dB)jω110020-2020dB/dec-20dB/dec1/jω(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jωjω

ω=0

0圖5.7微分環(huán)節(jié)幅相曲線0

ω

圖5.5積分環(huán)節(jié)的幅相曲線

j

微分環(huán)節(jié)

G(s)=s和G(jω)=jω=ω∠π/2L(ω)=20lgω,而相頻特性是φ(ω)=90o。ω<<1/T,L(ω)≈-20lg1=0ω>>1/T,L(ω)≈-20lgωT=-20(lgω-lg1/T)

一階微分環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1

G(s)=1/(Ts+1),慣性環(huán)節(jié)ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T圖5.91+jT和1/(1+jT)的對數(shù)坐標(biāo)圖

(o)90-9000.1110ω-1/Tjp0(a)θjω+1/T圖5.8

慣性環(huán)節(jié)極點—零點圖(a)和幅相曲線(b)ω=0j0ω=∞-45oω=1/T

(b)Kω<<1/T,L(ω)≈20lg1=0ω>>1/T,L(ω)≈20lgωT=20(lgω-lg1/T)

G(s)=Ts+1，振蕩環(huán)節(jié)

j

ω-1/T

0

(a)

jω+1/T

ω=0

j

0ω

1(b)圖5.10一階微分環(huán)節(jié)的極點—零點圖(a)和幅相曲線(b)G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]圖5.11振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線ω<<ωn時L(ω)≈0

ω>>ωn時L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lgω-lgωn)10110圖5.12

振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖ω/ωn

0.1(dB)1040-20

40dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω/ωn

20(a)(b)5.2.2開環(huán)幅相曲線的繪制頻率響應(yīng)法是一種圖解方法，因而如何簡潔而準(zhǔn)確地作出滿足工程分析和設(shè)計需要的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線是非常重要的。幅相曲線主要用于判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，故只需概略繪制即可；對數(shù)頻率特性曲線，工程上采用簡便作圖法，即利用對數(shù)運算的特點和典型環(huán)節(jié)的頻率特性繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性繪制概略開環(huán)福相曲線根據(jù)穩(wěn)定性判別的條件，概略幅相曲線應(yīng)能體現(xiàn)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的起點、終點、與負實軸的交點以及總的變化趨勢。（1）開環(huán)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解（2）確定幅相曲線的起點和終點。（3）確定幅相曲線與負實軸的交點。開環(huán)幅相曲線與負實軸的交點是判定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的重要因素。穿越頻率（4)根據(jù)上述確定的特征點，結(jié)合開環(huán)頻率特性的變化趨勢圖。起點：若系統(tǒng)不含有積分環(huán)節(jié)，曲線起始于正實軸上某點，該點距原點的距離值為開環(huán)增益k值；若系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)，曲線起始于無窮遠處，相角為(-90?！羦)，v為積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。終點：一般，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分母的階次總是大于或等于分子的階次，n>m時，終點在原點，且以角度（n-m)×(-90。）進入原點；n=m時，曲線終止于正實軸上某點，該點距原點的距離與各環(huán)節(jié)的時間常數(shù)等參數(shù)有關(guān)。若開環(huán)傳遞函數(shù)中含有在右半平面的極點或零點，幅相曲線的起點和終點不具有以上規(guī)律。對于這樣的系統(tǒng)，尤其應(yīng)注意系統(tǒng)的相頻特性。

0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]例題5.1繪制

的幅相曲線。解：求交點：

曲線如圖所示：開環(huán)幅相曲線的繪制令.064,056,0)]j(GRe[222=+w=w+w-=w無實數(shù)解，與虛軸無交點開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性的繪制根據(jù)對數(shù)運算特點，將組成開環(huán)系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性疊加，即獲得系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性。繪制對數(shù)幅頻漸近特性的一般步驟：（1）開環(huán)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)進行分解，并將交換頻率按從小到大順序排列為w1，w2。。。。。。

wl，并標(biāo)注在w軸上。（2）繪制w1左邊的低頻漸近線。低頻漸近線為一直線，其斜率為－20×vdB/dec,取決于系統(tǒng)微分環(huán)節(jié)或積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。根據(jù)三種方法確定漸近線上的一點。

a）任選w0值，則漸進線（w0<w1)或其延長線過點

b)漸進線或其延長線在w=1處的值

c）漸進線或其延長線與零分貝線的交點為（3）自w1點起，漸進線斜率發(fā)生變化，斜率變化的數(shù)值取決與w1對應(yīng)的典型環(huán)節(jié)的種類。同樣，在后面的各交接頻率處，漸進線斜率都相應(yīng)地改變。每兩個相鄰交接頻率間，漸進線為一直線。繪制L(ω)例題100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]繪制的L(ω)曲線低頻段：時為38db時為52db轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-20+20-20[-20][-40]已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L出開環(huán)對數(shù)漸近幅頻曲線。例5.15.2.3最小相角系統(tǒng)和非最小相角系統(tǒng)的區(qū)別最小相角(相位)系統(tǒng)的零點、極點均在s平面的左半平面，在s平面的右半平面有零點或極點的系統(tǒng)是非最小相角系統(tǒng)。20-20ωL(dB)10L(dB)50-20-40100ωL(dB)ω-40-40-20ω1ωcω2幅頻特性相同，但對數(shù)相頻曲線卻不相同。

最小相角系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一一對應(yīng)，只要根據(jù)其對數(shù)幅頻曲線就能寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。5.2.15.2.2已知最小相角系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)漸近幅頻曲線，求開環(huán)傳遞函數(shù)。例5.3傳遞函數(shù)的試驗確定測得系統(tǒng)頻率特性后，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理，可確定被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（1）根據(jù)測試數(shù)據(jù)在半對數(shù)坐標(biāo)上畫出對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性曲線。（2）求取對數(shù)幅頻漸近特性，即用若干直線（斜率為的整數(shù)倍）逼近對數(shù)幅頻曲線。（3）根據(jù)低頻漸近斜率確定v；根據(jù)v和低頻漸近線上任一點確定k。由漸進線獲得各交接頻率，并根據(jù)交接頻率處斜率的變化確定零點、極點、或者共軛復(fù)數(shù)零極點。（4）根據(jù)高頻段處相角變化情況確定是否存在延遲環(huán)節(jié)。高頻段若存在一定的相角變化率，則該相角變化率為延遲環(huán)節(jié)的延遲時間。（5）可根據(jù)兩個相鄰交接頻率間相角的變化確定交接頻率對應(yīng)的典型環(huán)節(jié)的種類。5.3

奈奎斯特判據(jù)幅角原理5.15.45.55.2P:在右半平面開環(huán)特征根數(shù);Z:在右半平面閉環(huán)特征根數(shù);N:

在[G]平面，從0，幅相曲線繞（-1，j0)點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。奈氏判據(jù)

Z=P-2N；Z=0時穩(wěn)定。輔助函數(shù)F(s)三個特點：

1.零、極點分別為閉、開環(huán)特征根;2.零、極點個數(shù)相等;3.與G(s)H(s)相差為1。奈氏穩(wěn)定判據(jù)例5.4

判斷以下系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。從=0+開始，逆時針補畫90°、半徑為無窮大的圓弧。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

為（-1，j0)點或零分貝值以左的穿越次數(shù)。穿越時：相角增大為正穿越N+，

相角減小為負穿越N-,

未穿透為半次穿越,（-）（+）（+）（-）0dB-180ocωxωcx∠

G(jωc)20lg–γ–180o=γ=180+∠

G(jωc)相角裕度:幅值裕度:hdB=－20lg穩(wěn)定裕度的定義續(xù)2設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，試?yán)L制系統(tǒng)概略幅相曲線并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖所示，此時K=500。已知系統(tǒng)在S右半平面的開環(huán)極點數(shù)為0。確定使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K值范圍。5.4頻域穩(wěn)定裕度Z=P-R當(dāng)穿過（－1，j0)點時，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。臨界點相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度）j01ωcωxγG(jω)G(jωx)∠G(jωc)∠G(j