【江蘇省沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)】《方差與標(biāo)準(zhǔn)差》

§2.3.2方差與標(biāo)準(zhǔn)差沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)梁成陽(yáng)23七月2023問(wèn)題：有甲乙兩種鋼筋，現(xiàn)從中各抽取一個(gè)樣本檢查它們的抗拉強(qiáng)度，如下表：甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125145110115105120125130135140110115105120125130135140甲乙100145哪種鋼筋的質(zhì)量較好？引例11012125130一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差；極差越大，數(shù)據(jù)越分散，極差越小，數(shù)據(jù)越集中．

說(shuō)明甲比乙穩(wěn)定思考：什么樣的指標(biāo)可以反映一組數(shù)據(jù)變化范圍的大??？

極差＝最大值－最小值

甲110115105120125130135140110115105120125130135140乙100145

在生活中，我們常常會(huì)和極差打交道．班級(jí)里個(gè)子最高的學(xué)生比個(gè)子最矮的學(xué)生高多少？家庭中年紀(jì)最大的長(zhǎng)輩比年紀(jì)最小的孩子大多少？這些都是求極差的例子．例1.（口答）求下列各題的極差。（1）某班個(gè)子最高的學(xué)生身高為1.80米，個(gè)子最矮的學(xué)生的身高為1.48米，求該班所有學(xué)生身高的極差。（2）小明家中，年紀(jì)最大的長(zhǎng)輩的年齡是78歲，年紀(jì)最小的孩子的年齡是9歲，求小明家中所有成員年齡的極差。

平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是平均有時(shí)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷．因?yàn)檫@個(gè)平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況，而這些極端情況顯然是不能忽的．因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài)．

如：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：７８７９５４９１０７４乙：９５７８７６８６７７如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)?如果看兩人本次射擊的平均成績(jī),由于

兩人射擊的平均成績(jī)是一樣的.那么兩個(gè)人的水平就沒(méi)有什么差異嗎?45678910環(huán)數(shù)頻率0.10.20.3(甲)456789100.10.20.30.4環(huán)數(shù)頻率(乙)直觀上看,還是有差異的.如:甲成績(jī)比較分散,乙成績(jī)相對(duì)集中(如圖示).因此,我們還需要從另外的角度來(lái)考察這兩組數(shù)據(jù).例如:在作統(tǒng)計(jì)圖,表時(shí)提到過(guò)的極差.

甲的環(huán)數(shù)極差=10-4=6

乙的環(huán)數(shù)極差=9-5=4.

它們?cè)谝欢ǔ潭壬媳砻髁藰颖緮?shù)據(jù)的分散程度,與平均數(shù)一起,可以給我們?cè)S多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息.顯然,極差對(duì)極端值非常敏感,注意到這一點(diǎn),我們可以得到一種“去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分”的統(tǒng)計(jì)策略.考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差．標(biāo)準(zhǔn)差是樣本平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．所謂“平均距離”，其含義可作如下理解：由于上式含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差．一個(gè)樣本中的個(gè)體與平均數(shù)之間的距離關(guān)系可用下圖表示:考慮一個(gè)容量為2的樣本:顯然,標(biāo)準(zhǔn)差越大,則a越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.用計(jì)算器可算出甲,乙兩人的的成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差

由可以知道,甲的成績(jī)離散程度大,乙的成績(jī)離散程度小.由此可以估計(jì),乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定.上面兩組數(shù)據(jù)的離散程度與標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系可用圖直觀地表示出來(lái).45678910a

我們可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況．這個(gè)結(jié)果通常稱為方差（variance）．

其中S

2表示一組數(shù)據(jù)的方差，表示一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，x1、x2、…

xn表示各個(gè)數(shù)據(jù)．方差的計(jì)算式就是如果一組數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度較小，

我們就說(shuō)它比較穩(wěn)定．思考:什么樣的數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度？

問(wèn)題2：小明和小兵兩人參加體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)?nèi)绫?0.2.2所示.誰(shuí)的成績(jī)較為穩(wěn)定？為什么？姓名

平均分小明小兵新課講授一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為,則稱為這個(gè)樣本的方差，為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，分別簡(jiǎn)稱樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差。方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小。其算術(shù)平方根練習(xí)：若甲、乙兩隊(duì)比賽情況如下,下列說(shuō)法哪些說(shuō)法是不正確的：甲乙平均失球數(shù)平均失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差1.52.11.10.41、平均來(lái)說(shuō)，甲的技術(shù)比乙的技術(shù)好；2、乙比甲技術(shù)更穩(wěn)定；3、甲隊(duì)有時(shí)表現(xiàn)差，有時(shí)表現(xiàn)好；4、乙隊(duì)很少不失球。全對(duì)例1：甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．

品種第一年第二年第三年第四年第五年甲9．89．910．11010．2乙9．410．310．89．79．8解：例2：為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換．已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差．天數(shù)151～180181～210211～240241～270271～300301～330331～360361～390燈泡數(shù)1111820251672解：各組組中值依次為165，195，225，255，285，315，345，375，由此算得平均數(shù)為這些組中值的方差為答：略注：方差的另外幾種形式，方差為．如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為（1）新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（2）新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．（3）新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為

．，則方