2023學(xué)年完整公開課版《物體的平衡》

物體的平衡第一講物體的平衡一、力學(xué)中物體的平衡概念（一）、物體的力學(xué)平衡狀態(tài)靜止勻速直線運動勻速轉(zhuǎn)動（繞定軸）靜平衡動平衡1、恒定平衡2、瞬間的平衡（在振子運動至Δl=0處的瞬間）（在木棒從豎直倒下的瞬間）12基本知識與方法（三）物體的平衡條件質(zhì)點的平衡充要條件：剛體的平衡充要條件：（對任意軸）以保證質(zhì)心不產(chǎn)生加速度以保證質(zhì)點不產(chǎn)生加速度以保證剛體不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動加速度二、應(yīng)用平衡條件解題注意：（一）、質(zhì)點的受力必為共點力，可利用共點力的合力為零解質(zhì)點平衡問題例題1、如圖，在水平天花板與豎直墻壁之間通過不計質(zhì)量的軟繩和光滑的輕小滑輪懸掛重物G。繩長2.5m，OA=1.5m，G=40N。求繩中張力T的大小。討論：（1）當(dāng)B固定，A緩慢左移時，T如何變化？（2）當(dāng)A固定，B緩慢上移時，T如何變化？

（二）物體平衡的本質(zhì)a=0β=0CGABO1.5m解：將圖中虛線圓中的物體視為質(zhì)點作為研究對象.TT由平衡條件有：ααCGABOα由得所以1.5m選什么作為研究對象質(zhì)點？如何求α？其受力如圖所示.如圖，（1）當(dāng)B固定，A緩慢移動左時，T如何變化？（2）當(dāng)A固定，B緩慢上移時，T如何變化？A左移時，由于ACB’的長度已定，OB′必減少，α變大，則T變大。B上移時，由于ACB′的長度一定，所以B′位置不動，故α不變，題后思考在（1）、（2）情況下，滑輪如何移動？TTααCGABOα1.5m討論：因此T不變。（二）剛體轉(zhuǎn)動軸的選定是任意的但必須合理，應(yīng)使盡量多的未知力（特別是不需求的）的力矩為零

例題2、

證明如圖所示的三個人抬一勻質(zhì)三角形木板時所用的力相等。ABC證明：木板受力如圖所示。如何選轉(zhuǎn)動軸較合理？以BC為轉(zhuǎn)動軸，F(xiàn)1F2F3GOO2O1O3所以分別以AC、AB邊為軸則可得到所以有α有平衡條件有：（三）正確判斷受力方向（1）當(dāng)剛體受三個非平行力處于平衡時，若其中的兩個力的方向已知，則可準(zhǔn)確確定第三個力的方向依據(jù)：剛體受三個非平行力作用而處于平衡時，該三力必共面共點。PF1F2F3墻壁對橫桿AB

的作用力R

的方向由此得以確定。GTR1、準(zhǔn)確確定力的方向

用“反證法”證明依據(jù)的正確性若F3

不在F1

和F2所決定的平面內(nèi)，則F1

與

F2

的合力F12

就不可能與F3

反向；若F3

不過F1

與F2

的交點P，則對過P點的不與F3

平行的轉(zhuǎn)動軸來說，合力矩必定不為零。如圖所示，（2）若n個力平衡，其中的（n-1）個力交于一點且交點已知，則可準(zhǔn)確確定第n個力的方向。12n-1nP依據(jù)：若n個力平衡，且其中的（n-1）個力交于一點，則第n個力的作用線必過此點。

用反證法證明依據(jù)若第n個力不過此點，則該力對過此點的轉(zhuǎn)軸的力矩不為零，而其它（n-1）個力對此轉(zhuǎn)軸的力矩為零，所以該n個力對此轉(zhuǎn)軸的合力矩不為零。這與平衡條件矛盾。2、大致確定力的方向：（當(dāng)物體受力不止三個或者受到三個力但不知道其兩個力的方向時）

例題3、如圖所示，已知等長勻質(zhì)桿AB、BC

的重量為G1、G2。A處、B處為無摩擦的鉸鏈連接。求為使系統(tǒng)平衡加在C點的力F大小和方向。ABC900G1G2Fθ解：F能否指向AC

的左邊？F

能否指向BC的右邊？F的方向只能夾在∠ACB之間。N你也能大致判斷天花板作用于桿的力N的方向嗎？先大致確定F的方向.1對BC桿，②對AB桿和BC桿組成的系統(tǒng)，ABC900G1G2Fθ據(jù)幾何關(guān)系有③由①、②、③式解出N①在右上圖中，假如桿BC

還另外受到一個已知力F’，你還能對F的方向作出判斷嗎？F’3、先假定力的方向，最后由計算結(jié)果判定假定的方向是否為真實的方向在上例中，即可先任意假定F的方向（如圖）來求得F：ABC900G1G2FN對AB桿和BC桿組成的系統(tǒng)，θ對BC桿，又據(jù)幾何關(guān)系有②③①由①、②、③式解出所以，F(xiàn)的實際方向為偏向AC右方θ角。（四）合理運用整體分析法與隔離體分析法1、有時需同時運用兩種方法才能解決問題如上例。2、有時可只用隔離法或只用整體法就能解決問題

例題4、如圖所示，A為無摩擦鉸鏈，AB為長為L的輕木板.所有接觸均光滑.球的半徑為r，重為G.問θ多大時拉力F最?。坑酶綦x法解：對小球：其受力如圖，GN’N0對木板:其受力如圖，NFLA①②GN0N’xy而由牛頓第三定律有③④先設(shè)法找出F和θ的關(guān)系。此時，F(xiàn)GN0N’LNA用（整體法+隔離法）解：對（木板+小球）：其受力如圖，F(xiàn)LA①O由①、②、④解得B對小球：②GN0②代入①得N’其受力如圖，則由此得到前面相同的結(jié)論。所以

題后思考能否僅用整體法解本題？試一試，若不能，想想原因。3、有時必須用隔離法才能解決問題若要求系統(tǒng)的內(nèi)力時，則必須將兩個物體隔離，從而將內(nèi)力轉(zhuǎn)換為外力來研究。在上例中如要求小球與木板的相互作用力N、N′時，則必須用隔離法。FGN0N’LNA4、在不需求系統(tǒng)內(nèi)力時，往往整體法比較簡單

例題5、如圖所示，兩小球m1、m2用絕緣等長的細線懸掛于同一點，使兩球帶上+q1、+q2的電量，兩球因排斥使兩細線偏離豎直方向α1和α2的角度。試證明：若m1＜m2,則α1＞α2.證明：因為不需求（小球m1+小球m2+兩繩）系統(tǒng)的內(nèi)力，故可用用整體法.系統(tǒng)受力如圖.m2gm1gFLLO用隔離法也可證明本題：分別以(小球m1+右連接繩）和（小球m2+左連接繩）為研究對象，LLOm2gm1gT1T2ff受力如圖。LLm2gm1gOT1T2①②由①、②得由此知在m1＜m2時，

總結(jié)凡是用整體法能解的題目，用隔離法或者“隔離加整體”法必定能解。但不一定簡單。凡是用“隔離加整體”法能解的題目用隔離法必定能解。但不一定簡單。1三、靜平衡的穩(wěn)定性反映的是處于靜平衡的物體克服所遭遇的（破壞平衡的）微小擾動的性能。（一）概念：1、穩(wěn)定平衡靜平衡按穩(wěn)定性分類：（二）2、非穩(wěn)定平衡23、隨遇平衡31下列處于平衡的物體，在遭遇擾動時有不同表現(xiàn)：1、穩(wěn)定平衡2、非穩(wěn)定平衡3、隨遇平衡（三）物體平衡的穩(wěn)定性的判定1、受力分析：看物體偏離平衡位置后，所受力是否總是使物體移向平衡位置。2、受力矩分析：看物體偏離平衡位置后，所受力矩是否總是使物體轉(zhuǎn)向平衡位置。3、重心升降（如果有重心變化）分析：看物體偏離平衡位置后，其重心高度如何變化。4、勢能分析：看物體偏離平衡位置后，其勢能如何變化。例題6、將懸掛的均勻細木棍慢慢放入水中，當(dāng)木棍浸入水中多深時，木棍開始傾斜？(設(shè)水的密度為ρ’、木棍的密度為ρ，木棍長為l，橫截面積為S.)解：木棍為什么不豎直漂浮在水中而會發(fā)生傾斜？而且在浸入一定深度時才傾斜？1oCTGF擾動B在木棍的穩(wěn)定平衡與非穩(wěn)定平衡的轉(zhuǎn)折位置處，而即①②③將②、③代入①得解出

例題7、兒童玩具“不倒翁”高h=21cm,質(zhì)量M=300g，相對中心軸KD對稱分布，不倒翁”的下部是半徑為R=6cm的球面的一部分。如果將“不倒翁”放在傾角為α=30°的粗糙斜面上，當(dāng)它的軸KD與豎直方向偏角為β=450時，剛好還能處于平衡狀態(tài)。為了使它在水平桌面上失去穩(wěn)定平衡，可在其頭頂上K處固定塑泥。試問最少需加多少塑泥？KDhROCαKOβ解：GNOCADCfNAG1你知道“不倒翁”為什么不倒嗎？2為什么放在斜面上“不倒翁”還能處于平衡呢？αKDOCβfNAG在△OCA中，由正弦定理有所以KDhROCm若在K點加上塑泥m后，使“不倒翁”的重心上升至O點，則“不倒翁”失去穩(wěn)定性。所以至少需加塑泥此時（三）浮體平衡的穩(wěn)定性1、浮體平衡的穩(wěn)定性因擾動方式不同而不同（1）豎直擾動：穩(wěn)定平衡（2）水平擾動：隨遇穩(wěn)定平衡（3）旋轉(zhuǎn)擾動：視具體情況而定若初始時重心C在浮心B下方，則平衡是穩(wěn)定的GCFBFCBGB和F的力偶距使船體復(fù)位若初始時重心C在浮心B上，則平衡可能穩(wěn)定也可能不穩(wěn)定。這既取決于重心高出浮心多少也取決于浮體的形狀。GCFBBGC判定的方法：Ⅰ、讓浮體繞重心轉(zhuǎn)過一個小角度，看轉(zhuǎn)動后的浮力作用線與直線BC的交點是位于B、C之間還是在B、C之外。若在B、C之外則為穩(wěn)定平衡，否則即非穩(wěn)定平衡。Ⅱ、讓浮體繞重心轉(zhuǎn)過一個小角度，看轉(zhuǎn)動后的浮心位于轉(zhuǎn)動后的重力作用線何方。若越過重力作用線則為穩(wěn)定平衡，否則即非穩(wěn)定平衡。B’’FB’FF和G的力偶距使船體傾斜增大。F和G的力偶距使船體復(fù)位。四、質(zhì)點組（或剛體)的質(zhì)心與重心(一）質(zhì)心1、質(zhì)心的概念質(zhì)心是一個質(zhì)點：（1）相對質(zhì)點組（或剛體）位置固定（常用C表示）（2）集中了質(zhì)點組(或剛體）的全部質(zhì)量，其加速度等于質(zhì)點組（或剛體）所受的全部外力作用于該點時所產(chǎn)生的加速度CF1F2FiFi-1acm1mim21、這樣的C點是否存在？2、如果存在又位于何處？今后在動力學(xué)中將證明由以下公式計算所得的C點就是符合上述條件的點?。?！2、質(zhì)心位置的計算公式Cm1mim2xyz公式的分量式3、常見質(zhì)點組（或剛體）的質(zhì)心位置計算(即確定質(zhì)心相對于質(zhì)點組或剛體的位置）（1）單個質(zhì)點的質(zhì)心位置（2）兩個質(zhì)點組成的質(zhì)點組位置lm1m2lcC（3）多個質(zhì)點組成的質(zhì)點組（或剛體）的質(zhì)心位置到m1距離到m2距離直接由公式計算有時可結(jié)合質(zhì)心組合律確定OxO質(zhì)心組合律將質(zhì)點組分成若干質(zhì)點小組，各小組質(zhì)心構(gòu)成的新質(zhì)點組的質(zhì)心即為原質(zhì)點組的質(zhì)心Ⅰ、勻質(zhì)細桿的質(zhì)心：Ⅱ、勻質(zhì)圓板或圓盤或圓環(huán)的質(zhì)心：位于桿的中心位于圓心Ⅲ、勻質(zhì)球體或球殼的質(zhì)心：位于球心例題7、

如圖所示，由七根粗細相同的勻質(zhì)桿構(gòu)成的衍架，求其質(zhì)心C的位置。xy解：為簡便計，建立如圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)桿的線密度為ρ.C(x、y)AODEH2.5m2.5m2.5m3.0m2.0m2.0m1.5m可以斷定，質(zhì)心C必在衍架所在的平面內(nèi)??！例題8

如圖，有一挖了一圓孔的勻質(zhì)薄圓板，求其質(zhì)心。OO1rRxO2由對稱性分析可知，所求的質(zhì)心必在O、O1的連線上。建立如圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)想將挖去的部分填補上，將有孔的圓板還原為完整的圓板。則（質(zhì)心在O1的小圓板+質(zhì)心在O2的有孔的圓板）系統(tǒng)的質(zhì)心在O點。質(zhì)心O的坐標(biāo)為即解得解：

題后總結(jié)此種求質(zhì)心的方法稱為填補法：將不規(guī)則的形狀填補為規(guī)則的形狀,從而便于求得形狀不規(guī)則物體的質(zhì)心。這種處理問題的思想在物理學(xué)其他方面也有應(yīng)用。(二）重心1、重心的概念質(zhì)點組（或剛體）各部分的重力的合力的作用點C。G1G2G3G4G5GC2、重心的計算一般而言，質(zhì)點組（或剛體）各部分的重力是平行力，所以求重心就是求同向平行力的合力的作用點。（1）各部分重力作用點在一條支線上F各部分重力的合力建立一維坐標(biāo)系，設(shè)想在該直線上另加一力F使質(zhì)點組（或剛體）處于平衡。GCCG1G2G3Gix2xcxOx1x3xi所以（2）一般情況下重心的計算（推導(dǎo)過程略）總結(jié)在各部分重力為平行力的一般情況下，重心與質(zhì)心位置是重合的。3、重心和質(zhì)心的區(qū)別（1）是兩個完全不同的概念（2）在各部分重力非平行時，二者的位置并不重合。

想一想在引力為零的地方，物體的重心在何處？？質(zhì)心在何處？？想一想研究地球上一對超級大啞鈴的重心與質(zhì)心位置?。縨m已經(jīng)不算大的地球已經(jīng)不算小的物體五、摩擦力（一）摩擦力的方向判定注意應(yīng)以物體間相互接觸的部位為研究對象，研究其相對運動情況。這在物體各部位運動情況不同時尤應(yīng)如此。1、用力蹬自行車時前、后車輪受的摩擦（滑動或靜摩擦）2、將未轉(zhuǎn)動的輪子向前拋向粗糙的地面時輪子受的摩擦（滑動或靜摩擦）3、將轉(zhuǎn)動著的輪子放在粗糙地面上時輪子受的摩擦（滑動摩擦）vffv

例題9、A、B為兩個半徑均為r的圓柱形滾筒，兩筒的軸線相互平行且在同一水平面上，兩筒軸線的間距為a，兩筒各自以角速度ω反向勻速轉(zhuǎn)動。半徑為R、質(zhì)量為m的圓柱體C置于兩圓柱滾筒上。設(shè)滾筒與圓柱間的摩擦系數(shù)為μ，問需要多大的力F才能推著圓柱體以速度v0勻速向內(nèi)移動？ωωf∥f⊥f⊥f⊥

解：AB研究滾筒對圓柱C的摩擦作用。Cv∥=v0v⊥=rωvfθ知需加外力大小為①而所以據(jù)圓柱水平軸向受力平衡，F(xiàn)由圓柱體在豎直方向受力平衡有mgαNN有幾何關(guān)系ωωff∥f⊥f⊥f⊥ABCv∥=v0v⊥=rωvθFαmgNN①所以有②由②解出N代入①得a（二）靜摩擦角1、靜摩擦角的概念（1）定義：（2）幾何意義：最大靜摩擦力fm和正壓力N的合力與正壓力N夾角。Nf(φ0是全反力R與N的最大夾角。)全反力（3）靜摩擦角概念的應(yīng)用Ⅰ、分析自鎖現(xiàn)象θFθF自鎖現(xiàn)象的原因：在這些機械系統(tǒng)中，R與N的夾角始終小于φ0。fmRθF現(xiàn)象：當(dāng)θ角在一定范圍時，無論F多大，物體都能靜止。注意：φ0的大小僅由兩接觸面的材料性質(zhì)所決定物體靜平衡時：Ⅱ、利用靜摩擦角解題有時會很方便（但并非總是）

例題10、如圖所示，有一長為l，重為W0勻質(zhì)桿AB，A端頂在豎直的粗糙墻壁上，桿端與墻壁的靜摩擦系數(shù)為μ。B端用一強度足夠而不可伸長的輕繩懸掛，繩的另一端固定在墻壁的C點。木桿呈水平狀態(tài)，繩與桿的夾角為θ。（1）求桿能保持平衡時μ與θ應(yīng)滿足的條件;（2）桿保持平衡時，桿上有一點P存在：若在P點與A點之間的任一點懸掛一重物，則當(dāng)重物的總量W足夠大時總可以使平衡被破壞;而在P點與B點之間的任一點懸掛任意重量的重物，都不能使平衡破壞。求出這一點P與A點的距離。解：（1）桿未掛重物時受力如圖TθABCW0你能否確定R的方向？由力的平衡條件及幾何關(guān)系知φRNf既然桿能保持平衡，所以應(yīng)有即θABCTW0（2）桿掛上重物W時重物掛在何處能使1、R和N的夾角φ＞φ02、R和N的夾角φ≤φ0P作出墻壁和桿間的靜摩擦角φ0

=∠BAD。又作DP⊥AB，所得交點P即為所求。若重物W掛在P、B之間：WWDD2W2W1D1RR無論W多大，均有φ≤φ0若重物W掛在P、A之間：當(dāng)W足夠大時，就能使φ＞φ0由幾何關(guān)系得由此解得如何計算AP=?W用常規(guī)分析法解：θABCW0掛上重物W（W可以為零）后，桿受力如圖①②③由于桿未滑動，故④由①、②消去T得：⑤TfWNPd由③、⑤消去f得：⑥將③、⑥代入④得：按W、W0整理后得：⑦按W、W0整理后得：⑦通過討論W和d對此式的影響來回答問題：（1）若不掛重物（W=0）：則有所以⑧（2）在⑧成立時掛重物（W＞0)：此時⑦式左端Ⅰ、此時只要⑦式右端的則無論W多大，⑦式均成立。θABCTW0fWNPd于是得Ⅱ、此時如果⑦式右端的則當(dāng)W足夠大時，可使⑦不成立。于是得綜上可知：

例題11、人對均勻細桿的一端施力，力的方向垂直于桿。要將桿從地面慢慢地?zé)o滑動地抬到豎直為止，試求桿與地面之間的最小靜摩擦系數(shù)。F解：在抬起過程中，桿的受力如圖。只要任何時候①則桿就不會滑動。因為桿被慢慢抬起，所以在抬起過程中滿足一般的平衡條件。取過F和G的作用線的交點0的垂直屏幕的直線為軸，則有②由①、②消去f、N即得：因為所以當(dāng)有最小值。F由得代入得用摩擦角方法解：作出全反力R，如圖所示。需要桿不滑動，即于是有

題后思考本例中桿在什么方位最容易滑動？？根據(jù)以上兩例總結(jié)用摩擦角解題的思路。綜合例題例題11、

木棒長為L，質(zhì)量為m，粗細均勻，靠在光滑的墻壁和光滑地面上，繩一端系在棒的中心，一端系在墻角（木棒、繩在同一豎直平面內(nèi)）。判定棒能否處于平衡？若不能，說明理由；若能，求出繩中的張力。解：木棒受力如圖。ABCODTGN1N2由矩形對角線的性質(zhì)知張力T作用線也必過D點。由此可知N1、N2作用線交于D點，構(gòu)成矩形ABCD。所以棒不能處于平衡。

題后總結(jié)解本題利用的是平衡條件的必要性！想一想繩系在棒的其他部位能否使棒平衡？

例題12、在豎直平面內(nèi)有一個半徑為R的光滑固定圓環(huán)，圓環(huán)內(nèi)放一個斜邊長為2R、一條短邊長為R的勻質(zhì)直角三角板。三角板的三個頂點都靠在環(huán)的內(nèi)壁上。試求平衡時三角板的斜邊與圓環(huán)水平直徑的夾角φ。ABCOG解：（1）由幾何關(guān)系知三角板的斜邊AB必過圓心O（2）由彈力和圓的性質(zhì)知三角板各頂點A、B、C受的壓力必過圓心O（3）由剛體平衡條件知重力G也必過圓心O（4）由三角形重心性質(zhì)知三角板的重心必在OC直線上OC就是重力作用線OC鉛直向下BACOG還有另外一種情況的平衡!此時的φ=？平衡穩(wěn)定嗎？例題13、

如圖所示，將質(zhì)量為M的勻質(zhì)鏈條套在一表面光滑的圓錐上。設(shè)圓錐底面在某水平面上，鏈條靜止時成一水平圓，其張力為T.試求圓錐的頂角α。解：本題該用隔離法還是整體法？取一小段鏈條為研究對象，TTG=ΔMg其受力如圖。由豎直方向合外力為零得①由水平面上合外力為零得即②由①、②解出：所以

題后總結(jié)隔離也可針對物體的一部分。解本題利用了小量近似的方法，這種方法今后還將專門研究。例題14、一環(huán)形圓管沿一直徑截成兩部分，一半豎立在鉛垂面內(nèi)，管口連線在一水平面上。向管內(nèi)裝入與管壁相切的小滾珠，左、右側(cè)第一個滾珠都與圓管截面相切。已知單個滾珠重W，共有2n個。求從右邊起第k個和第（k+1）個滾珠之間的壓力Nk。假設(shè)系統(tǒng)中處處無摩擦。12n-12nkWNKNK-1Nxy解：研究第k個珠子,其受力如圖。β由幾何關(guān)系知如何利用這一遞推關(guān)系？β1對第K=2個珠：對第K=3個珠：對第K-1個珠：對第K個珠：各式相加得：現(xiàn)在需著重研究第一個珠子——找出N1??！!對第K=4個珠：對第K=5個珠：由N1WNxy對第1個珠子：于是有：所以此式能否求和？112n-12nO另解：研究前（1—K）個珠子其中rR而于是而代入化簡即得…………1

題后總結(jié)都是隔離法但卻又不同！對三角變換有較高的要求！所以KNKWKW1

例題15、三個完全相同的圓柱體，如圖疊放在水平桌面上。將C疊放上去之前，A、B兩柱體之間接觸而無擠壓。假定桌面和柱體之間的靜摩擦系數(shù)為μ。

.柱體和柱體之間的靜摩擦系數(shù)為μ.若系統(tǒng)處于平衡，μ0和μ必須滿足什么條件？ABC解：其受力如圖。f1f1N1N1Pxyxy由平衡條件列出方程：PN1f2f1N2對圓柱C:對柱體A:由以上四方程解出：要不滑動，必須滿足：即所以試一試?yán)渺o摩擦角解答本題，可行否？方便否？研究A、C兩柱體，

例題16、如圖，半徑為r、質(zhì)量為m的三個相同剛性球兩兩接觸放在水平桌面上，用一個高為1.5r的圓柱形剛性圓筒（上下無底）將此三球套在筒內(nèi)，圓筒的半徑取適當(dāng)值，使得各球間以及球與筒壁間均保持接觸但無相互作用力?，F(xiàn)取一個質(zhì)量亦為m、半徑為R的第四個球，放在三個球的上方正中。設(shè)四個球的表面、圓筒的內(nèi)壁均由相同材料構(gòu)成，其間的靜摩擦系數(shù)均為（約為0.775）.問：R取何值時，用手輕輕向上提起圓筒即能將四個球一起提起來？ABDAD解：研究系統(tǒng)已被提起的平衡狀態(tài)對D球:①f2N2mgf2mgN2N1f1只需研究球A和D球就行了！對所有的四個球：⑤其受力如圖14對A球：②③④其受力如圖23①②③④⑤ABDADf2f2mgmgN2N2N1f1由③、⑤得⑥⑥代入④（或者①）得⑦⑥、⑦代入②得⑧為使各物體間無滑動，需滿足：即⑨⑩⑨⑩由于所以只要⑩成立⑨必定成立。ABDADf2f2mgmgN2N2N1f1θ和R是對應(yīng)的，通過確定θ就能確定R.由幾何關(guān)系知O由此可得11解式得：11rABCOABCrO為使D球不從中空處掉下去，R還需滿足綜上可知題后總結(jié)列平衡方程時：必須注意方程的獨立性還須考慮方程的簡便性

例題17、五根質(zhì)量與長度均相同的勻質(zhì)細棒用質(zhì)量與線度均可忽略不計的光滑鉸鏈兩兩首尾連成一個五邊形。今將其一個頂點掛在天花板下。試求平衡時此五邊形的五個頂角。又若在最下邊的細棒的中點再懸掛一重物，能否使五根細棒構(gòu)成一個等腰三角形？解：設(shè)每根棒質(zhì)量為m，長為l.TTTmgmg隔離研究左邊兩棒的受力情況：將二者的鏈接處的受力進行分解，其受力如圖所示。對左邊上面的棒：對左邊下面的棒：又由幾何關(guān)系得將此三方程簡化為OK只需求出圖中的φ1、φ2即可。TOKTTTTmgmg由①、②兩式得即④③代入④化簡后，令利用計算器進行一元高次方程的逼近求解將此三方程簡化為①②③OKTTTTmgmg0.10.20.150.170.1710.17150.5-0.240.160.0110.0031-0.00085取使f(x)最接近零的x值：x=0.1715由計算器查得：φ1=9.9°,Φ2=19.20°所以五邊形的上方內(nèi)頂角為2φ1=19.8°側(cè)方內(nèi)頂角為下方內(nèi)頂角為于是有假設(shè)能構(gòu)成等腰三角形，看其是否滿足平衡條件.對左側(cè)上面的棒，對右邊的棒，由此兩式得解得m=0這表明在五根細棒質(zhì)量不為零時不可能構(gòu)成等腰三角形。

題后總結(jié)需掌握利用計算器逼近求解一元高次方程的方法本題的假定法研究非