云南省大理市牛街鄉(xiāng)民族中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

云南省大理市牛街鄉(xiāng)民族中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知為等差數(shù)列，為正項等比數(shù)列，公比，若，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B2.已知函數(shù)的圖像為曲線C，若曲線C不存在與直線垂直的切線，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C3.若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”．現(xiàn)從2,3,4,5,6，9這六個數(shù)字中任取3個數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有（

）

（A）120個

（B）80個

（C）40個

（D）20個參考答案：C4.設(shè)，，若對于任意，總存在，使得成立，則a的取值范圍是（）A.[4,+∞) B.C. D.參考答案：C【分析】求出在的值域與在的值域，利用在的值域是在的值域的子集列不等式組，從而可求出的取值范圍．【詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由，．故又因為，且，．故．因為對于任意，總存在，使得成立，所以在的值域是在的值域的子集，所以須滿足，，的取值范圍是，故選C．【點睛】本題主要考查全稱量詞與存在量詞的應(yīng)用，以及函數(shù)值域的求解方法，屬于中檔題．求函數(shù)值域的常見方法有①配方法：若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，；②換元法：常用代數(shù)或三角代換法；③不等式法：借助于基本不等式求函數(shù)的值域；④單調(diào)性法：首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求函數(shù)的值域，⑤圖象法：畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的最高和最低點求最值.5.在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，若A=60°，b=1，c=2，則a=(

)A．1B．C．2D．參考答案：B考點：余弦定理．專題：計算題．分析：直接利用余弦定理求解即可．解答： 解：因為在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，若A=60°，b=1，c=2，所以由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=3．所以a=．故選B．點評：本題考查余弦定理的應(yīng)用，基本知識的考查6.在獨立性檢驗中，統(tǒng)計量Χ2有兩個臨界值：3.841和6.635．當(dāng)Χ2＞3.841時，有95%的把握說明兩個事件有關(guān)，當(dāng)Χ2＞6.635時，有99%的把握說明兩個事件有關(guān)，當(dāng)Χ2≤3.841時，認(rèn)為兩個事件無關(guān)．在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了2000人，經(jīng)計算Χ2=20.87．根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，認(rèn)為打鼾與患心臟病之間（）A．有95%的把握認(rèn)為兩者有關(guān) B．約有95%的打鼾者患心臟病C．有99%的把握認(rèn)為兩者有關(guān) D．約有99%的打鼾者患心臟病參考答案：C【考點】獨立性檢驗的應(yīng)用．【分析】這是一個獨立性檢驗理論分析題，根據(jù)K2的值，同所給的臨界值表中進(jìn)行比較，可以得到有99%的把握認(rèn)為打鼾與心臟病有關(guān)．【解答】解：∵計算Χ2=20.87．有20.87＞6.635，∵當(dāng)Χ2＞6.635時，有99%的把握說明兩個事件有關(guān)，故選C．7.利用“直接插入排序法”給按從大到小的順序排序，當(dāng)插入第四個數(shù)時，實際是插入哪兩個數(shù)之間（

）A．與

B．與

C．與

D．與參考答案：B

解析：先比較與，得；把插入到，得；把插入到，得；8.若函數(shù)在區(qū)間（0，2）內(nèi)有且僅有一個極值點，則m的取值范圍（

）A. B.C. D.參考答案：B由，得（），∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由于，∴要使函數(shù)在區(qū)間（0，2）內(nèi)有且僅有一個極值點，需滿足，即，解得或，又，∴或．選B．

9.若存在兩個不相等正實數(shù)x1、x2，使得等式成立,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是()A． B．

C． D．參考答案：A10.命題“若a2＋b2＝0，a，b∈R，則a＝b＝0”的逆否命題是()A．若a≠b≠0，a，b∈R，則a2＋b2＝0B．若a＝b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠0參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則

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參考答案：12.采用系統(tǒng)抽樣從含有8000個個體的總體（編號為0000，0001，…，，7999）中抽取一個容量為50的樣本，已知最后一個入樣編號是7900，則最前面2個入樣編號是

參考答案：0060，0220

13.已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為

．參考答案：解析1：因為在中，由正弦定理得則由已知，得，即設(shè)點由焦點半徑公式，得則記得由橢圓的幾何性質(zhì)知，整理得解得，故橢圓的離心率解析2：由解析1知由橢圓的定義知，由橢圓的幾何性質(zhì)知所以以下同解析1.14.如圖，一艘輪船按照北偏西30°的方向以每小時30海里的速度從A處開始航行，此時燈塔M在輪船的北偏東45°方向上，經(jīng)過40分鐘后，輪船到達(dá)B處，燈塔在輪船的東偏南15°方向上，則燈塔M和輪船起始位置A的距離為海里．參考答案：考點;解三角形的實際應(yīng)用．專題;計算題；解三角形．分析;首先將實際問題抽象成解三角形問題，再借助于正弦定理求出燈塔M和輪船起始位置A的距離．解答;解：由題意可知△ABM中AB=20，B=45°，A=75°，∴∠M=60°，由正弦定理可得，∴AM=．故答案為：．點評;本題考查解三角形的實際應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)15.點M(－1,0)關(guān)于直線x+2y－1=0對稱點的坐標(biāo)是

；參考答案：(-,)16.過拋物線y2=2x的焦點作直線交拋物線于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點，若x1+x2=3，則|PQ|=．參考答案：4【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】根據(jù)拋物線的定義可知PF=，，且PQ=PF+QF=x1+x2+1，代入可求【解答】解：∵拋物線y2=2x的焦點（，0），準(zhǔn)線x=﹣根據(jù)拋物線的定義可知PF=，∴PQ=PF+QF=x1+x2+1=4故答案為：417.如圖2，在正三棱柱中，已知是棱的中點，且，則直線與所成的角的余弦值為．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）當(dāng)m=1時，函數(shù)y=f（x）與y=g（x）在x=1處的切線互相垂直，求n的值；（2）若函數(shù)y=f（x）﹣g（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，求m﹣n的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0對任意正實數(shù)x恒成立？若存在，求出滿足條件的實數(shù)a；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）分別求出f（x）、g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得在x=1處切線的斜率，由兩直線垂直的條件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得，得的最小值為負(fù)，運(yùn)用基本不等式即可求得m﹣n的范圍；（3）假設(shè)存在實數(shù)a，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最值，結(jié)合不等式恒成立思想即有三種解法．【解答】解：（1）當(dāng)m=1時，，∴y=g（x）在x=1處的切線斜率，由，∴y=f（x）在x=1處的切線斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函數(shù)y=f（x）﹣g（x）的定義域為（0，+∞），又，由題意，得的最小值為負(fù)，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4（舍去），∴m﹣n＞3；（3）解法一、假設(shè)存在實數(shù)a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0對任意正實數(shù)x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，則θ'（x）=，設(shè)，∴δ（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，δ（x）=0在區(qū)間（0，+∞）必存在實根，不妨設(shè)δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，+∞）上單調(diào)遞減，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）?ln2a﹣（ax0﹣1）?lnx0，代入（*）式得，根據(jù)題意恒成立．又根據(jù)基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假設(shè)存在實數(shù)a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0對任意正實數(shù)x恒成立．令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根據(jù)條件對任意正數(shù)x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0對任意正數(shù)x恒成立，∴且，解得且，即時上述條件成立，此時．解法三、假設(shè)存在實數(shù)a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0對任意正實數(shù)x恒成立．令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0對任意正數(shù)x恒成立，等價于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0對任意正數(shù)x恒成立，即對任意正數(shù)x恒成立，設(shè)函數(shù)，則φ（x）的函數(shù)圖象為開口向上，與x正半軸至少有一個交點的拋物線，因此，根據(jù)題意，拋物線只能與x軸有一個交點，即，所以．19.已知函數(shù)在處的切線的斜率為1．(1)求a的值及的最大值；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：參考答案：（1）；（2）見證明【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用即可求出的值，再利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的增減性，于是求得最大值；（2）①當(dāng)，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立；驗證時，不等式成立即可.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為．求導(dǎo)數(shù)，得．由已知，得，即，∴．此時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴當(dāng)時，取得極大值，該極大值即為最大值，∴；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，左邊，右邊，∴左邊＞右邊，不等式成立．②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即．那么，由（1），知（，且）．令，則，∴，∴．即當(dāng)時，不等式也成立．根據(jù)①②，可知不等式對任意都成立．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，意在考查學(xué)生的計算能力，分析能力，邏輯推理能力，難度較大.20.求以橢圓9x+5y=45的焦點為焦點，且經(jīng)過M(2,)

的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（12分）參考答案：略21.（本題12分）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)時,，（1）求函數(shù)的解析式；（2）求的值；（3）若，求實數(shù)的值.參考答案：（本題12分）解：（1）當(dāng)時，有又是定義在R上的偶函數(shù)，所求函數(shù)的解析式是（2），（3）當(dāng)時，由得，當(dāng)時，由得，綜上可得所求實數(shù)的值為略22.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°． （Ⅰ）證明AB⊥A1C； （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值． 參考答案：【考點】用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角． 【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角． 【分析】（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進(jìn)而可得AB⊥A1C； （Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立坐標(biāo)系，可得，，的坐標(biāo)，設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即為所求正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B， 因為CA=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°， 所以△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB， 又因為OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C， 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C； （Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB， 所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直． 以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方