2023年安徽省合肥九中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，取值如下表：從所得的散點(diǎn)圖分析可知：與線性相關(guān)，且，則等于（）A． B． C． D．2．設(shè),，則（）A． B． C． D．3．學(xué)校新入職的5名教師要參加由市教育局組織的暑期3期上崗培訓(xùn)，每人只參加其中1期培訓(xùn)，每期至多派2人，由于時間上的沖突，甲教師不能參加第一期培訓(xùn)，則學(xué)校不同的選派方法有()A．種 B．種 C．種 D．種4．已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，.若存在實(shí)數(shù)，使得，且，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．15．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．6．若復(fù)數(shù)滿足，則的值是（）A． B． C． D．7．在中，，若，則A． B． C． D．8．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．20 B．10 C．30 D．609．已知，命題“若，則.”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知，則（）A．16 B．17 C．32 D．3311．若|x﹣1|≤x|x+1|，則（）A．x1 B．x≤1 C．x1 D．x12．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為1，則輸出的值為（）A． B．2 C．0 D．無法判斷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，給出下列結(jié)論：從中任取3球，恰有一個白球的概率是；從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為；從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為．其中所有正確結(jié)論的序號是______．14．設(shè)，則二項式的展開式中含項的系數(shù)為__________．15．____．16．若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓:經(jīng)過點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若，求直線的方程.18．（12分）某中學(xué)高中畢業(yè)班的三名同學(xué)甲、乙、丙參加某大學(xué)的自主招生考核，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個等次.若考核為合格，則給予分的降分資格；若考核為優(yōu)秀，則給予分的降分資格.假設(shè)甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等次相互獨(dú)立.（1）求在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；（2）記在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)所得降分之和為隨機(jī)變量，請寫出所有可能的取值，并求的值.19．（12分）某理財公司有兩種理財產(chǎn)品A和B，這兩種理財產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨(dú)立）：產(chǎn)品A投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率產(chǎn)品B投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率pq注：p＞0，q＞0（1）已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品A和產(chǎn)品B投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；（2）若丙要將家中閑置的10萬元人民幣進(jìn)行投資，以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù)，則選用哪種產(chǎn)品投資較理想？20．（12分）已知a、b、c都是正實(shí)數(shù)，且ab+bc+ca=1求證：21．（12分）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）.（1）若是實(shí)數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求的取值范圍.22．（10分）如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E為PB的中點(diǎn).(1)求證：AE//平面PDC；(2)若BC＝CD＝PD，求直線AC與平面PBC所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

計算平均數(shù)，可得樣本中心點(diǎn)，代入線性回歸方程，即可求得a的值．【詳解】依題意,得(0+1+4+5+6+8)=4,(1.3+1.8+5.6+6.1++7.4+9.3)=5.25.又直線y=0.95x+a必過中心點(diǎn)(),即點(diǎn)(4,5.25),于是5.25=0.95×4+a,解得a=1.45.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程，利用線性回歸方程恒過樣本中心點(diǎn)是關(guān)鍵．2、D【解析】

求對數(shù)函數(shù)的定義域求得集合，解一元二次不等式求得集合，求得集合的補(bǔ)集后與集合求交集，由此得出正確選項.【詳解】對于集合，，對于集合，，解得或，故，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對數(shù)函數(shù)定義域、一元二次不等式的解法，集合補(bǔ)集、交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由題意可知這是一個分類計數(shù)問題.一類是：第一期培訓(xùn)派1人；另一類是第一期培訓(xùn)派2人，分別求出每類的選派方法，最后根據(jù)分類計數(shù)原理，求出學(xué)校不同的選派方法的種數(shù).【詳解】解:第一期培訓(xùn)派1人時，有種方法,第一期培訓(xùn)派2人時，有種方法,故學(xué)校不同的選派方法有，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了分類計數(shù)原理，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，考查了分類討論思想.4、C【解析】

解方程求得，結(jié)合求得的取值范圍.將轉(zhuǎn)化為直線和在區(qū)間上有交點(diǎn)的問題來求得的最大值.【詳解】由得，注意到在上為增函數(shù)且，所以.由于的定義域?yàn)?，所以由?所以由得，畫出和的圖像如下圖所示，其中由圖可知的最大值即為.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)零點(diǎn)問題，考查指數(shù)方程和對數(shù)方程的解法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.5、C【解析】

由題意結(jié)合正態(tài)分布的對稱性得到關(guān)于a的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)a的值.【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合有，解得：.本題選擇C選項.【點(diǎn)睛】關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.6、C【解析】

先用復(fù)數(shù)除法進(jìn)行化簡，之后求共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)楣剩汗势涔曹棌?fù)數(shù)為：故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及共軛復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，用、表示出即可.【詳解】即：本題正確選項：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，根據(jù)棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可得幾何體直觀圖如下圖所示：可知三棱錐高：；底面面積：三棱錐體積：本題正確選項：【點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是能夠通過三視圖還原幾何體，從而準(zhǔn)確求解出三棱錐的高和底面面積.9、C【解析】

先寫出原命題的逆命題，否命題，再判斷真假即可,這里注意的取值,在判斷逆否命題的真假時，根據(jù)原命題和它的逆否命題具有相同的真假性判斷原命題的真假即可.【詳解】解：逆命題:設(shè)，若，則a＞b,由可得，能得到a＞b，所以該命題為真命題;否命題設(shè)，若a≤b，則,由及a≤b可以得到，所以該命題為真命是題；因?yàn)樵}和它的逆否命題具有相同的真假性，所以只需判斷原命題的真假即可，當(dāng)時，，所以由a＞b得到，所以原命題為假命題，即它的逆否命題為假命題;故為真命題的有2個.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查四種命題真假性的判斷問題，由題意寫出原命題的逆命題，否命題并判斷命題的真假是解題的關(guān)鍵.10、B【解析】

令，求出系數(shù)和，再令，可求得奇數(shù)項的系數(shù)和，令，求出即可求解.【詳解】令，得，令，得，所以，令，得，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了賦值法求多項式展開式的系數(shù)和，考查了學(xué)生的靈活解題的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

對按照，，進(jìn)行分類討論，分別解不等式，然后取并集，得到答案.【詳解】①當(dāng)時，，即，解得所以②當(dāng)時，，即解得或所以③當(dāng)時，，即解得所以綜上所述，故選A項.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解不含參的絕對值不等式，屬于簡單題.12、B【解析】

由條件結(jié)構(gòu)，輸入的x值小于0，執(zhí)行y＝﹣x，輸出y，等于0，執(zhí)行y＝0，輸出y，大于0，執(zhí)行y＝1x，輸出y，由x＝1＞0，執(zhí)行y＝1x得解．【詳解】因?yàn)檩斎氲膞值為1大于0，所以執(zhí)行y＝1x＝1，輸出1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖中的條件結(jié)構(gòu)，條件結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是，算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向，算法不循環(huán)執(zhí)行．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：①所求概率為，計算即得結(jié)論；

②利用取到紅球次數(shù)可知其方差為；通過每次取到紅球的概率可知所求概率為．詳解：①從中任取3球，恰有一個白球的概率是，故正確；

②從中有放回的取球6次，每次任取一球，

取到紅球次數(shù)，其方差為，故正確；

③從中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到紅球的概率，

∴至少有一次取到紅球的概率為，故正確．

故答案為：①②③．點(diǎn)睛：本題主要考查命題的真假判斷，涉及概率的計算，考查學(xué)生的計算能力．14、192【解析】因?yàn)?，所以，由于通項公式，令，則，應(yīng)填答案。15、【解析】

分別求得和的值，相加求得表達(dá)式的結(jié)果.【詳解】由于表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓的上半部分，故..故原式.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用幾何意義計算定積分的值，考查定積分的計算，屬于基礎(chǔ)題.16、2.【解析】分析：因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，先根據(jù)得出第二段函數(shù)表達(dá)式，然后再計算即可.詳解：由題可得：當(dāng)時，-x>0，故所以=0+2=2，故答案為2.點(diǎn)睛：考查偶函數(shù)的基本性質(zhì)，根據(jù)偶函數(shù)定義求出第二段表達(dá)式是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】

（1）由橢圓的離心率可得，，從而使橢圓方程只含一個未知數(shù)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程后，求得，進(jìn)而得到橢圓的方程為；（2）因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以只要求出直線的斜率即可，此時需對直線的斜率分等于0和不等于0兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，利用得到關(guān)于的方程，并求得.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，∴，，所以，橢圓的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，解得，則，，因此，橢圓的方程為.（2）①當(dāng)直線斜率為0時，與橢圓交于，，而.此時，故不符合題意.②當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程代入橢圓的方程，并化簡得，，解得或，由韋達(dá)定理可得，，，同理可得，所以，即解得：，符合題意因此，直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法、直線與橢圓的位置關(guān)系并與向量進(jìn)行交會，求解過程中要始終領(lǐng)會設(shè)而不求的思想，即利用坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題，考查運(yùn)算求解能力.18、（1）；（2）所有可能的取值為、、、，.【解析】

（1）計算出三名同學(xué)考核均為合格的概率，利用對立事件的概率公式可計算出所求事件的概率；（2）根據(jù)題意得出所有可能的取值為、、、，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率計算公式能求出．【詳解】（1）由題意知，三名同學(xué)考核均為合格的概率為，因此，甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率為；（2）由題意知，隨機(jī)變量的所有可能取值有、、、，則，，.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、對立事件概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中等題．19、（1）；（2）當(dāng)時，E(X)＝E(Y)，選擇產(chǎn)品A和產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望相同，可以在產(chǎn)品A和產(chǎn)品B中任選一個；當(dāng)時，E(X)＞E(Y)，選擇產(chǎn)品A一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)選產(chǎn)品A；當(dāng)時，E(X)＜E(Y)，選擇產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)選產(chǎn)品B．【解析】

（1）先表示出兩人全都不獲利的概率，再求至少有一人獲利的概率，列出不等式求解；（2）分別求出兩種產(chǎn)品的期望值，對期望中的參數(shù)進(jìn)行分類討論，得出三種情況.【詳解】（1）記事件A為“甲選擇產(chǎn)品A且盈利”，事件B為“乙選擇產(chǎn)品B且盈利”，事件C為“一年后甲，乙兩人中至少有一人投資獲利”，則，．所以，解得．又因?yàn)?，q＞0，所以．所以．（2）假設(shè)丙選擇產(chǎn)品A進(jìn)行投資，且記X為獲利金額（單位：萬元），則隨機(jī)變量X的分布列為X40-2p則．假設(shè)丙選擇產(chǎn)品B進(jìn)行投資，且記Y為獲利金額（單位：萬元），則隨機(jī)變量Y的分布列為Y20-1ppq則．討論：當(dāng)時，E(X)＝E(Y)，選擇產(chǎn)品A和產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望相同，可以在產(chǎn)品A和產(chǎn)品B中任選一個；當(dāng)時，E(X)＞E(Y)，選擇產(chǎn)品A一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)選產(chǎn)品A；當(dāng)時，E(X)＜E(Y)，選擇產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)選產(chǎn)品B．【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率以及期望的求法，注意求概率時“正難則反”，若直接求不容易求，則求其相反的事件的概