第2章-靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)-電磁場(chǎng)電磁波課件

第二章靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度電位靜電場(chǎng)中的物體高斯定理靜電場(chǎng)的邊界條件泊松方程與拉氏方程電容靜電場(chǎng)的能量恒定電場(chǎng)主要內(nèi)容7/25/2023靜電場(chǎng)

相對(duì)觀察者靜止且量值不隨時(shí)間變化的電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)。

本章任務(wù)：

闡述靜電荷與電場(chǎng)之間的關(guān)系，在已知電荷或電位的情況下求解電場(chǎng)的各種計(jì)算方法，或者反之。

靜電場(chǎng)是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場(chǎng),恒定磁場(chǎng)及時(shí)變場(chǎng)。

靜電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖7/25/2023一、庫(kù)侖定律2.1庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度N(牛頓)適用條件:兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的相互作用力;

無(wú)限大真空情況(式中F/m);可推廣到無(wú)限大各向同性均勻介質(zhì)中

庫(kù)侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律。大量試驗(yàn)表明:在真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷與之間的相互作用力為:圖2.1-1

兩點(diǎn)電荷間的作用力

庫(kù)侖力遵守牛頓第三定律7/25/2023電荷電場(chǎng)電荷場(chǎng)是一種特殊形態(tài)的物質(zhì)實(shí)物物質(zhì)場(chǎng)二、靜電場(chǎng)基本物理量——電場(chǎng)強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)證實(shí)了兩靜止電荷間存在相互作用的靜電力，但其相互作用究竟是怎樣實(shí)現(xiàn)的？1.靜電場(chǎng)7/25/20232.電場(chǎng)強(qiáng)度的定義

電場(chǎng)中某點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度

等于位于該點(diǎn)處的單位試驗(yàn)電荷所受的力，其方向?yàn)檎姾墒芰Ψ较?

電荷在電場(chǎng)中受力

（試驗(yàn)電荷為點(diǎn)電荷、且足夠小,故對(duì)原電場(chǎng)幾乎無(wú)影響）：場(chǎng)源電荷：試驗(yàn)電荷V/m(N/C)電場(chǎng)強(qiáng)度7/25/20233.點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度7/25/2023

路徑矢量R的單位矢量為：注意

公式中路徑矢量R為：

習(xí)慣上，將場(chǎng)源電荷Q所在位置稱為“源點(diǎn)”，用坐標(biāo)來(lái)表示；而將實(shí)驗(yàn)電荷q。所在位置稱為“場(chǎng)點(diǎn)”，用坐標(biāo)來(lái)表示。圖2.1-2

點(diǎn)電荷的電場(chǎng)7/25/20234.電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理由力的疊加原理得所受合力

點(diǎn)電荷

對(duì)的作用力

故處總電場(chǎng)強(qiáng)度

電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理(注意:是矢量疊加)7/25/20235.電荷連續(xù)分布情況電荷體密度體電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度a)

體電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度7/25/2023電荷面密度電荷線密度b)

面電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度c)

線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度7/25/2023電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分,然后再合成,即

點(diǎn)電荷的數(shù)學(xué)模型積分是對(duì)源點(diǎn)進(jìn)行的,計(jì)算結(jié)果是場(chǎng)點(diǎn)的函數(shù)。點(diǎn)電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個(gè)體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。當(dāng)時(shí)，電荷密度趨近于無(wú)窮大，通常用沖擊函數(shù)表示點(diǎn)電荷的密度函數(shù)。圖2.1－5

單位點(diǎn)電荷的密度分布點(diǎn)電荷的密度7/25/2023由對(duì)稱性有解:例2.1-1

正電荷均勻分布在半徑為的圓環(huán)上.計(jì)算在環(huán)的軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.電場(chǎng)強(qiáng)度7/25/2023電場(chǎng)強(qiáng)度7/25/2023討論（1）（點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度）（2）（3）電場(chǎng)強(qiáng)度7/25/2023體電荷一、靜電場(chǎng)的無(wú)旋性2.2電位1.

靜電場(chǎng)旋度7/25/2023故電場(chǎng)強(qiáng)度E

的旋度等于零!因?yàn)?/p>

根據(jù)靜電場(chǎng)的疊加性原理知，上述結(jié)論同樣適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。即任意形式的靜電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的旋度都恒等于零。電位靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)。7/25/20232.

靜電場(chǎng)的環(huán)路定律

在靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零，即電場(chǎng)線是不可能閉合的。場(chǎng)中不存在漩渦源。

電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān),靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。無(wú)旋場(chǎng)一定是保守場(chǎng)，保守場(chǎng)一定是無(wú)旋場(chǎng)。由斯托克斯定理，得

二者等價(jià)。7/25/2023

在靜電場(chǎng)中可通過(guò)求解電位函數(shù)(Potential)，再利用上式可方便地求得電場(chǎng)強(qiáng)度E

。式中負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。單位：伏特(V)。1.電位的引出根據(jù)矢量恒等式二、電位函數(shù)電位7/25/20232.已知電荷分布，求電位點(diǎn)電荷群連續(xù)分布電荷以點(diǎn)電荷為例推導(dǎo)電位：電位7/25/2023

在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向總是指向電位減少最快的方向，其大小等于電位的最大變化率。3.場(chǎng)強(qiáng)與電位的微分關(guān)系圖2.2-1E與的積分關(guān)系4.場(chǎng)強(qiáng)與電位的積分關(guān)系設(shè)P0為參考點(diǎn)，即7/25/20235.電位參考點(diǎn)的選擇原則

場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。

同一個(gè)物理問(wèn)題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義。例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)：表達(dá)式無(wú)意義

電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；

電荷分布在無(wú)限區(qū)域時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。7/25/2023(將單位正電荷從移到電場(chǎng)力作的功.)電位差（電壓）電位差是絕對(duì)的，與電位零點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)；電位大小是相對(duì)的，與電位零點(diǎn)的選擇有關(guān).

靜電場(chǎng)力的功

單位：伏特電位7/25/2023++++++++++++++例2.2-1

正電荷均勻分布在半徑為的細(xì)圓環(huán)上.求圓環(huán)軸線上距環(huán)心為處點(diǎn)的電位.7/25/2023例2.2-2“無(wú)限長(zhǎng)”帶電直導(dǎo)線的電位解：令能否選？7/25/20232.3靜電場(chǎng)中的物體一、靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電平衡(electrostaticequilibrium)：

+++++++++感應(yīng)電荷7/25/20231.靜電感應(yīng)靜電平衡條件++++++++++++7/25/2023++++++++導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度外電場(chǎng)強(qiáng)度感應(yīng)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度靜電平衡條件（1）導(dǎo)體內(nèi)部任何一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零。（2）導(dǎo)體表面電場(chǎng)強(qiáng)度的方向,都與導(dǎo)體表面垂直。（3）導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面是等位面。7/25/2023+++++++++++

為表面電荷面密度

作錢(qián)幣形高斯面S2.導(dǎo)體表面電場(chǎng)強(qiáng)度與電荷面密度的關(guān)系

表面電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與該表面電荷面密度成正比注意

導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體形狀以及周圍環(huán)境有關(guān)。7/25/2023屏蔽外電場(chǎng)外電場(chǎng)空腔導(dǎo)體可以屏蔽外電場(chǎng),使空腔內(nèi)物體不受外電場(chǎng)影響.這時(shí)整個(gè)空腔導(dǎo)體和腔內(nèi)的電勢(shì)也必處處相等空腔導(dǎo)體屏蔽外電場(chǎng)尖端放電、避雷針、靜電屏蔽等。

3.應(yīng)用7/25/20231.電介質(zhì)

電介質(zhì)與導(dǎo)體不同，介質(zhì)內(nèi)的電子被束縛在原子核周圍，沒(méi)有可自由運(yùn)動(dòng)的自由電荷。在電場(chǎng)的作用下，正負(fù)電荷會(huì)向相反方向產(chǎn)生微小位移，從而形成極化電荷。這些極化電荷構(gòu)成了新的附加場(chǎng)源，使原電場(chǎng)的分布發(fā)生變化。按照介質(zhì)分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不同，可將其分為兩類：一類是非極性分子，另一類是極性分子。此外，還有部分介質(zhì)是由離子組成的。我們主要討論由分子組成的介質(zhì)。二、靜電場(chǎng)中的介質(zhì)7/25/2023

在外電場(chǎng)E

作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生位移的現(xiàn)象稱為極化。

無(wú)極性分子的極化稱為位移極化，有極性分子的極化稱為取向極化。

極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場(chǎng)的源。無(wú)極性分子有極性分子圖2.3-2

電介質(zhì)的極化2.電介質(zhì)的極化7/25/20233.電偶極子

電偶極子是指相距很近的兩個(gè)等量異號(hào)電荷組成的系統(tǒng)。下面計(jì)算電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)（r>>d)。r1r2在球坐標(biāo)系中：用二項(xiàng)式展開(kāi)，又有，得7/25/2023

稱為電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。圖2.2-3

電偶極子的等位線和電場(chǎng)線代入上式，得接上頁(yè)遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)7/25/2023式中為極化后介質(zhì)中單位體積元內(nèi)電偶極矩的矢量和，P

的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。通常用極化強(qiáng)度P表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m24.極化強(qiáng)度若是體積中的平均偶極矩，N是單位體積內(nèi)的分子數(shù)（即分子密度），則極化強(qiáng)度也可表示為：C/m27/25/2023

已知單個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電位：根據(jù)疊加原理知，極化介質(zhì)體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：5.極化強(qiáng)度與極化電荷密度的關(guān)系

圖2.3-4

體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位7/25/2023矢量恒等式：靜電場(chǎng)中的介質(zhì)散度定理令極化電荷體密度極化電荷面密度xPzyr0圖2-8極化介質(zhì)的電位7/25/2023

在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度

根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和

有電介質(zhì)存在的場(chǎng)域中，任一點(diǎn)的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度表示為總而言之，導(dǎo)體和介質(zhì)的存在都對(duì)電場(chǎng)的分布產(chǎn)生了一定的影響。7/25/20236.電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度與極化強(qiáng)度的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性和均勻介質(zhì)中均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場(chǎng)的方向而改變，反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場(chǎng)的值而變化；式中：

——電介質(zhì)的極化率7/25/2023圖2.2－6

均勻場(chǎng)中放進(jìn)了介質(zhì)球的電場(chǎng)圖2.2－7

均勻場(chǎng)中放進(jìn)了導(dǎo)體球的電場(chǎng)圖2.2－8

點(diǎn)電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場(chǎng)圖2.2－9

點(diǎn)電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電場(chǎng)7/25/2023在真空中,通過(guò)任一閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量,等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以。（與面外電荷無(wú)關(guān)，該閉合曲面稱為高斯面。）2.4高斯定理一、真空中的高斯定理7/25/2023+

是指由過(guò)一點(diǎn)的射線，旋轉(zhuǎn)一周掃出的錐面所限定的空間部分．立體角的大小，是以角頂為球心的單位球面上截下的球面面積來(lái)度量的.若S為封閉面，則：1.立體角7/25/2023

設(shè)在無(wú)限大真空中O點(diǎn)有一點(diǎn)電荷q，以任意曲面S包圍該點(diǎn)電荷，則穿出這個(gè)封閉曲面的電通量為2.真空中的高斯定理對(duì)于點(diǎn)電荷系或分布電荷，由疊加原理可得出高斯定理為上式稱為真空中的高斯定理。其中是閉合面內(nèi)的總的凈電荷。

7/25/2023如果閉合面內(nèi)的電荷是密度為的體電荷，則前式可改寫(xiě)為：用散度定理對(duì)上式左邊進(jìn)行變換，得

上式為真空中高斯定理的微分形式。

高斯定律說(shuō)明靜電場(chǎng)是一個(gè)有源場(chǎng)，電荷就是場(chǎng)的散度源（通量源），電場(chǎng)線從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷。高斯定理7/25/2023圖2.4-1

閉合曲面的電通量

E

的通量?jī)H與閉合面S

所包圍的凈電荷有關(guān)。圖2.4-2

閉合面外的電荷對(duì)場(chǎng)的影響

S

面上的E

是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。高斯定理7/25/20231.高斯定律的微分形式（真空中）（電介質(zhì)中）定義電位移矢量則有介質(zhì)中的高斯定律的微分形式代入

,得二、介質(zhì)中的高斯定律7/25/2023其中—相對(duì)介電常數(shù)；—介電常數(shù)，單位（F/m）

在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中高斯定理本構(gòu)關(guān)系7/25/2023圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D線、E線和P線的分布。?D線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷；?P

線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。?E

線的起點(diǎn)與終點(diǎn)既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；電場(chǎng)強(qiáng)度在電介質(zhì)內(nèi)部是增加了，還是減少了？D線E線P線圖2.4-3

D、E與P

三者之間的關(guān)系思考：7/25/2023()()()qq

D

的通量與介質(zhì)無(wú)關(guān)，但不能認(rèn)為D

的分布與介質(zhì)無(wú)關(guān)。D通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的D

是由高斯面內(nèi)、外的所有電荷共同產(chǎn)生的。2.介質(zhì)中高斯定律的積分形式散度定理圖2.4-4

點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中置入任意一塊介質(zhì)()q7/25/20233.高斯定律的應(yīng)用解題步驟：

a）分析給定場(chǎng)分布的對(duì)稱性，判斷能否用高斯定律求解。

高斯定律適用于任何情況，但只有當(dāng)場(chǎng)的分布具有一定的對(duì)稱性，場(chǎng)的求解才較簡(jiǎn)單。b）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使容易積分。c)應(yīng)用高斯定理計(jì)算。7/25/2023例2.4-1

求電荷線密度為的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電體的電場(chǎng)。解：電場(chǎng)分布特點(diǎn)：

E線皆垂直于導(dǎo)線，呈輻射狀態(tài)；

等r

處E

值相等；取長(zhǎng)為L(zhǎng)，半徑為r的封閉圓柱面為高斯面。圖2.4-6電荷線密度為的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電體由得7/25/2023S例2.4-2

已知電荷按體密度分布于一個(gè)半徑為的球形區(qū)域內(nèi)，試計(jì)算球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度及其電位。解：顯然電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性，可以用高斯定理解題。

當(dāng)時(shí)所以球外電場(chǎng)為（）

球外電位為7/25/2023所以球內(nèi)電場(chǎng)為（）

球內(nèi)電位為當(dāng)時(shí)接例2.4-2S7/25/2023圖2.4-8球殼內(nèi)的電場(chǎng)圖2.4-7

球殼外的電場(chǎng)例2.4-3

試分析圖2.4-7與2.4-8的電場(chǎng)能否直接用高斯定律來(lái)求解？圖2.4-7

點(diǎn)電荷q置于金屬球殼內(nèi)任意位置的電場(chǎng)圖2.4-8

點(diǎn)電荷±q分別置于金屬球殼內(nèi)的中心處與球殼外的電場(chǎng)7/25/2023解：由于導(dǎo)體球和球外介質(zhì)都是球?qū)ΨQ的，故場(chǎng)分布也應(yīng)該是球?qū)ΨQ的，可以用高斯定理求解。當(dāng)時(shí)，顯然，導(dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零，即當(dāng)時(shí)，應(yīng)用介質(zhì)中的高斯定理，得當(dāng)時(shí)，應(yīng)用真空中的高斯定理，得例2.4-5

一個(gè)半徑為的導(dǎo)體球，帶電量為，在導(dǎo)體球外，套有半徑為的同心介質(zhì)球殼，殼外是空氣。試計(jì)算空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。7/25/2023

靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋、有源場(chǎng)，靜止電荷就是靜電場(chǎng)的源。這兩個(gè)重要特性的數(shù)學(xué)形式為：三、靜電場(chǎng)的基本方程積分形式：保守性高斯定理微分形式：無(wú)旋性通量源場(chǎng)強(qiáng)與電位的關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：7/25/2023

以分界面上點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一小扁圓柱高斯面（）。表明:分界面兩側(cè)的D

的法向分量不連續(xù)。當(dāng)時(shí)，

D的法向分量連續(xù)。則有

根據(jù)

2.5靜電場(chǎng)的邊界條件一、法向邊界條件圖2.5－1

法向邊界條件用電位表示的法向邊界條件7/25/2023圖2.5－2

切向邊界條件表明:分界面兩側(cè)E的切向分量連續(xù)。二、切向邊界條件

在分界面上作一小矩形回路()根據(jù)則有表明:

在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。用電位表示的切向邊界條件7/25/2023表明：（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電場(chǎng)線與導(dǎo)體表面垂直，電場(chǎng)僅有法向分量；（2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的D就等于該點(diǎn)的自由電荷密度。當(dāng)分界面為導(dǎo)體與介質(zhì)的交界面時(shí)，分界面上的銜接條件為：

圖2.5－4導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面或7/25/2023在交界面上不存在時(shí)，E、D滿足折射定律。折射定律圖2.5-6

分界面上E線的折射三、折射定律靜電場(chǎng)的邊界條件7/25/2023解：忽略邊緣效應(yīng)圖（a）圖2.5－7

平行板電容器（a）（b）例2.5-1

如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知和,圖(a)已知極板間電壓U0

,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場(chǎng)強(qiáng)度。靜電場(chǎng)的邊界條件7/25/2023圖（b）靜電場(chǎng)的邊界條件圖2.5－7

平行板電容器（a）（b）7/25/2023

例2.5-2

同心球電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為

，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為

，其間填充有兩種介質(zhì)，上半部分的介電常數(shù)為

，下半部分的介電常數(shù)為

，如圖所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體帶電分別為和

。求各部分的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度.

解：

在半徑為r的球面上作電位移的面積分，有由邊界條件得7/25/2023

泊松方程與拉普拉斯方程只適用于線性的、各向同性的、均勻媒質(zhì)。—拉普拉斯算子2.6泊松方程與拉氏方程泊松方程拉普拉斯方程7/25/2023例2.6-1

列出求解區(qū)域的微分方程

如果區(qū)域內(nèi)存在多種媒質(zhì)，需沿媒質(zhì)的分界面劃分成多個(gè)區(qū)域，分別求解。注意圖2.6－1

三個(gè)不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場(chǎng)7/25/2023解：由于極板面無(wú)限大，故板間電場(chǎng)為均勻場(chǎng)，且場(chǎng)源電荷僅與有關(guān)，所以板間電場(chǎng)和電位也只是的函數(shù).處電位為0，處電位為。根據(jù)題意有

例2.6-2

兩無(wú)限大平行板電極，板間距離為，電壓為，并充滿密度為的體電荷。求極板間電場(chǎng)強(qiáng)度。

泊松方程7/25/2023當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)

板間任意一點(diǎn)電位為板間任意一點(diǎn)電場(chǎng)為泊松方程7/25/2023

電容只與導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相對(duì)位置及周圍的介質(zhì)有關(guān)，與所帶電荷量無(wú)關(guān)。2.7電容與部分電容一、雙導(dǎo)體電容

電荷與電壓的比值稱為電容。孤立導(dǎo)體電容：

定義：?jiǎn)挝唬?/25/2023低壓瓷介電容器高壓瓷介電容器金屬薄膜電容器薄膜電容器電解電容器貼片基層電容器

7/25/2023

例2.7－1

試求球形電容器的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為,則同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時(shí)（孤立導(dǎo)體球的電容）

球形電容器電容的計(jì)算：設(shè)

7/25/2023單位長(zhǎng)度的電容解設(shè)兩金屬線的電荷線密度為例2.7-2兩半徑為的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線中心間距為，且,求單位長(zhǎng)度的電容.7/25/2023靜電獨(dú)立系統(tǒng)——D線從這個(gè)系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)中的其余帶電體，與外界無(wú)任何聯(lián)系，即

線性、多導(dǎo)體(三個(gè)以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)；部分電容概念圖2.7－2

三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)二、多導(dǎo)體系統(tǒng)和部分電容圖2.7－3

四導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)7/25/2023式中：部分電容：表明各導(dǎo)體間電壓對(duì)各導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)為互有部分電容為自有部分電容電容7/25/2023

靜電能量是在電場(chǎng)的建立過(guò)程中，由外力作功轉(zhuǎn)化而來(lái)的。2.8靜電場(chǎng)能量與靜電力

一、靜電場(chǎng)的能量1.帶電系統(tǒng)的能量設(shè)有n個(gè)帶電體構(gòu)成的系統(tǒng)中，每個(gè)帶電體的電量都同時(shí)從零開(kāi)始，按相同比例逐漸增加到它們的最終值。在此過(guò)程中的任一時(shí)刻t，各個(gè)帶電體都充電到它們終值，相應(yīng)的電位。7/25/2023當(dāng)?shù)趉個(gè)帶電體上的電量增加了時(shí)，外電源所作的功為：對(duì)n個(gè)帶電體充電時(shí)，外電源所作的總功為：根據(jù)能量守恒定律，這些功全部轉(zhuǎn)換為靜電場(chǎng)的能量，儲(chǔ)存于帶電系統(tǒng)中，即對(duì)于整個(gè)充電過(guò)程，電場(chǎng)的總儲(chǔ)能為：7/25/2023推廣：

點(diǎn)電荷系（或帶電導(dǎo)體）：

面電荷：

線電荷：靜電能儲(chǔ)存在整個(gè)場(chǎng)域空間，而不是僅僅在場(chǎng)源處。7/25/2023由高斯定理得：矢量恒等式：2.能量密度首先把把積分范圍擴(kuò)大到整個(gè)場(chǎng)域空間7/25/2023

靜電場(chǎng)儲(chǔ)能焦耳（J）電能密度在各向同性、線性的均勻介質(zhì)中：

直接反映場(chǎng)的概念，同樣適用于時(shí)變場(chǎng)。

反映了靜電場(chǎng)中靜止電荷所具有的靜電位能，其值與參考點(diǎn)選擇有關(guān)。僅適用于靜電場(chǎng)。7/25/2023例2.8－1

設(shè)真空中電荷均勻分布于半徑為的球形區(qū)域內(nèi)，試求場(chǎng)中的靜電能量。應(yīng)用高斯定理，得解法一電場(chǎng)能量7/25/2023球內(nèi)任一點(diǎn)的電位為解法二電場(chǎng)能量7/25/20232.

虛位移法

(VirtualDisplacementMethod)1.

由電場(chǎng)強(qiáng)度E的定義求靜電力，即二、靜電力設(shè)(n+1)個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng),只有P號(hào)導(dǎo)體發(fā)生位移，此時(shí)系統(tǒng)中帶電體的電壓或電荷將發(fā)生變化，其功能關(guān)系為:外源提供能量靜電能量增量=+電場(chǎng)力所作功7/25/2023常電荷系統(tǒng)（K打開(kāi)）

它表示取消外源后，電場(chǎng)力做功必須靠減少電場(chǎng)中靜電能量來(lái)實(shí)現(xiàn)。常電位系統(tǒng)（K合上）外源提供能量的增量靜電能量的增量

外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場(chǎng)力做功。圖2.8-3

多導(dǎo)體系統(tǒng)7/25/2023?上述兩個(gè)公式所得結(jié)果是相等的例2.8-2

試求圖示平行板電容器的電場(chǎng)力。解法一：常電位系統(tǒng)解法二：常電荷系統(tǒng)可見(jiàn)，兩種方法計(jì)算結(jié)果相同，電場(chǎng)力有使d減小的趨勢(shì)，即電容增大的趨勢(shì)。圖2.8-4

平行板電容器7/25/2023圖2.8-5

靜電分離圖2.8-6

靜電噴涂工程上，靜電力有廣泛的應(yīng)用7/25/20232.9恒定電場(chǎng)圖2.9-1

恒定電場(chǎng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖基本物理量J基本方程邊界條件特殊解（靜電比擬）一般解法電導(dǎo)與電阻邊值問(wèn)題?

維持恒定電流的電場(chǎng)稱為恒定電場(chǎng)（電流場(chǎng)）。歐姆定律J

的散度E的旋度電位7/25/20231.電流強(qiáng)度圖2.9－2電流密度矢量單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一橫截面的電量，簡(jiǎn)稱為電流。一、電流密度規(guī)定：正電荷流動(dòng)的方向?yàn)殡娏鞯恼较?.電流密度體電流密度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)正電荷的運(yùn)動(dòng)方向，其大小等于與正電荷運(yùn)動(dòng)方相垂直的單位面積上的電流強(qiáng)度，即電流是電荷的有規(guī)則的運(yùn)動(dòng)形成的。分為傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流兩類。7/25/2023

面電流密度圖2.9-3電流面密度矢量電流與面電流密度的關(guān)系是垂直于dl，且通過(guò)dl與曲面相切的單位矢量其中：

運(yùn)流電流體電流與體電流密度的關(guān)系可見(jiàn)穿過(guò)某一截面的電流就是穿過(guò)該截面電流密度的通量。運(yùn)流電流的電流密度與運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系為：7/25/2023

?

電路理論中的歐姆定律由它積分而得，即U=RI

式中

為電導(dǎo)率，單位s/m（西門(mén)子/米）歐姆定律的微分形式當(dāng)導(dǎo)電媒質(zhì)為各向同性、線性和均勻媒質(zhì)時(shí)，有圖2.9-5J與E之關(guān)系二、歐姆定律與焦?fàn)柖?.歐姆定律電導(dǎo)率越大表明媒質(zhì)的導(dǎo)電能力越強(qiáng)，即使在微弱的電場(chǎng)作用下，也可形成很強(qiáng)的電流。電導(dǎo)率為無(wú)限大的導(dǎo)體稱為理想導(dǎo)體；電導(dǎo)率為零的介質(zhì)稱為理想介質(zhì)。7/25/20232.焦耳定律恒定電場(chǎng)中導(dǎo)體由于電子運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生熱能（焦耳熱），存在功能轉(zhuǎn)換：電場(chǎng)力作功產(chǎn)生熱能。焦耳定律的微分形式（J/m）3

單位體積中消耗的功率為電路中的焦耳定律，可由它的積分而得，即對(duì)于整個(gè)導(dǎo)體消耗的總功率為 7/25/2023

提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能的裝置稱為電源。圖2.9-6恒定電流的形成3.電源與電動(dòng)勢(shì)

把單位正電荷從負(fù)極通過(guò)電源內(nèi)部移到正極時(shí)非靜電力所做的功稱為電源電動(dòng)勢(shì)。電動(dòng)勢(shì)與有無(wú)外電路無(wú)關(guān)，它表示電源本身的特征量。其中：Ee

是局外場(chǎng)、非保守場(chǎng)。恒定電場(chǎng)7/25/2023三、電荷守恒定律電荷守恒定律:任一封閉系統(tǒng)內(nèi)的電荷總量不變其中：是閉曲面內(nèi)的總電量，且對(duì)方程左邊應(yīng)用散度定理，有電流連續(xù)性方程的積分形式電流連續(xù)性方程的微分形式7/25/2023在恒定電場(chǎng)中所以上式表明恒定電流必定是連續(xù)的，電流線總是閉合曲線，恒定電場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)。恒定電場(chǎng)7/25/2023四、恒定電場(chǎng)的基本方程與邊界條件1.恒定電場(chǎng)的基本方程在恒定電場(chǎng)中，電荷的分布不隨時(shí)間變化,因此，電源外部的恒定電場(chǎng)的基本方程：微分形式積分形式恒定電場(chǎng)是無(wú)源無(wú)旋場(chǎng)由于恒定電場(chǎng)的旋度為零，因此也可引入電位，

,即滿足拉普拉斯方程本構(gòu)關(guān)系7/25/20232.恒定電場(chǎng)的邊界條件電流線的折射法向邊界條件切向邊界條件或者說(shuō)明分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，電流密度法向分量是連續(xù)的。分界面上電流線的折射關(guān)系7/25/2023五、恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬兩種場(chǎng)所滿足的基本方程和重要關(guān)系式導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)（電源外）靜電場(chǎng)兩種場(chǎng)對(duì)應(yīng)物理量靜電場(chǎng)導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)（電源外）I

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