1-2描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量資料課件

§1-2描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量一、時(shí)間和時(shí)刻(timeandmoment)

在坐標(biāo)系中考察質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí),質(zhì)點(diǎn)位置與時(shí)刻相對(duì)應(yīng),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程與時(shí)間相對(duì)應(yīng)。

時(shí)間表示一個(gè)過程對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔，是重要的物理量，國際單位制（SI）中七個(gè)基本物理量之一。時(shí)間具有單方向性，是標(biāo)量，單位是s(秒)。

某一瞬時(shí)稱為時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與質(zhì)點(diǎn)某一位置對(duì)應(yīng)的為某一時(shí)刻，在時(shí)間坐標(biāo)上是一個(gè)點(diǎn)。1

二、位置矢量(positionvector)

位矢包含兩方面信息：質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)參考系固定點(diǎn)O的方位；質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)參考系固定點(diǎn)O的距離大小。OP用黑體字母或帶箭頭的字母表示矢量。質(zhì)點(diǎn)P在任意時(shí)刻的位置,可用從原點(diǎn)O到質(zhì)點(diǎn)P所引的有向線段OP來表示，或用矢量來代表，這個(gè)矢量就稱為質(zhì)點(diǎn)P的位置矢量,簡(jiǎn)稱位矢。2質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng),位置在變化,位置矢量必定隨時(shí)間改變。位置矢量是時(shí)間的函數(shù)：在直角坐標(biāo)系中

上式稱為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道參量方程，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，它給出了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡,也給出了質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻所處的位置。3三、位移(displacement)和路程(distance,path)

位移：質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)位置的改變。LOBA質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A到點(diǎn)B所完成的位移等于點(diǎn)B的位置矢量與點(diǎn)A的位置矢量

之差。

位移是矢量，既表示質(zhì)點(diǎn)位置變更的大小(點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離)，又表示這種變更的方向(點(diǎn)B相對(duì)于點(diǎn)A的方位)。4位移平面運(yùn)動(dòng):三維運(yùn)動(dòng):BA5路程從P1到P2：路程(3)

位移是矢量，路程是標(biāo)量．位移與路程的區(qū)別(1)兩點(diǎn)間位移是唯一的．(2)一般情況．6注意的意義不同．，，7在直角坐標(biāo)系中zyxOBA路程：質(zhì)點(diǎn)在軌道上所經(jīng)過的曲線長度Δs位移矢量反映t內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置的移動(dòng)(大小、方位)矢量的“差之?！焙汀澳Ｖ睢币话闶遣幌嗟鹊?

路程s是一定時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過路線的總長度。t時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程是曲線AB的長度，是標(biāo)量。

質(zhì)點(diǎn)的位移和路程不同。位移運(yùn)算遵從矢量運(yùn)算的法則：平行四邊形定則。

一般位移矢量的模不等于路程

,只有在質(zhì)點(diǎn)作單方向直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們才相等。位移和路程單位相同,在國際單位制中為m(米)。9四、速度1平均速度在時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)位移為BAsD102瞬時(shí)速度（簡(jiǎn)稱速度）若質(zhì)點(diǎn)在三維空間中運(yùn)動(dòng)，其速度11當(dāng)時(shí),速度方向切線向前速度大小速度的值速率12

一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢的端點(diǎn)處，其速度大小為（A）（B）（C）（D）討論注意13（1）求時(shí)的速度．（2）作出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖．例1設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為其中式中x，y的單位為m(米)，t的單位為s(秒)，14速度的值，它與軸之間的夾角解

(1)

由題意可得時(shí)速度為已知：15（2）運(yùn)動(dòng)方程0軌跡圖246-6-4-2246消去參數(shù)可得軌跡方程為16ABl

例2如圖A、B

兩物體由一長為的剛性細(xì)桿相連，A、B

兩物體可在光滑軌道上滑行．如物體A以恒定的速率向左滑行,當(dāng)時(shí),物體B的速率為多少？17解

兩邊求導(dǎo)得ABl因選如圖的坐標(biāo)軸18即ABl

沿軸正向當(dāng)時(shí)，191平均加速度B與同方向五、加速度A在時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)速度增量為202(瞬時(shí))加速度21加速度大小加速度方向曲線運(yùn)動(dòng)指向凹側(cè)直線運(yùn)動(dòng)注意：物理量的共同特征是都具有矢量性和相對(duì)性．22根據(jù)加速度的定義式可得若求在t0到t時(shí)間內(nèi)速度的變化,可對(duì)上式積分：速度公式位矢的一般表達(dá)式23§1-3描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系一、直角坐標(biāo)系

(rectangularcoordinate)

通常采用的直角坐標(biāo)系屬右旋系,當(dāng)右手四指由x軸方向轉(zhuǎn)向y軸方向時(shí),伸直的拇指則指向z軸的正方向。在參考系上取一固定點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)O,過點(diǎn)O畫三條相互垂直的帶有刻度的坐標(biāo)軸,即x軸、y軸和z軸,就構(gòu)成了直角坐標(biāo)系

O-xyz。

xyzOP(x,y,z)24位置矢量可表示為可用方向余弦來表示位置矢量方向。位矢大小其中

、和

分別是x、y和z方向的單位矢量。25質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道參量方程式寫成分量形式速度表達(dá)式26任何一個(gè)方向的速度和加速度都只與該方向的位置矢量的分量有關(guān),而與其它方向的分量無關(guān)。加速度的表達(dá)式加速度大小27

質(zhì)點(diǎn)任意運(yùn)動(dòng)都可以看作是三個(gè)坐標(biāo)軸方向上各自獨(dú)立進(jìn)行的直線運(yùn)動(dòng)所合成的。如果質(zhì)點(diǎn)在某個(gè)方向(如x方向)上的速度不隨時(shí)間變化,即質(zhì)點(diǎn)在該方向上的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng),則在該方向上的位移可由位移公式求得

質(zhì)點(diǎn)的任意運(yùn)動(dòng)都可以分解為在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上各自獨(dú)立進(jìn)行的直線運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)疊加原理在直角坐標(biāo)系中的表現(xiàn)。28

如果質(zhì)點(diǎn)在某個(gè)方向(如x方向)上的加速度不隨時(shí)間變化,該方向上分運(yùn)動(dòng)為勻變速直線運(yùn)動(dòng),在x方向的速度變化可根據(jù)速度公式求得:29運(yùn)動(dòng)方程是運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的核心1.已知運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位置、速度以及加速度2.已知運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度函數(shù)（或加速度函數(shù)）以及初始條件求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題30

例3有一個(gè)球體在某液體中豎直下落,其初速度，它在液體中的加速度為，問：(1)經(jīng)過多少時(shí)間后可以認(rèn)為小球已停止運(yùn)動(dòng)；

(2)此球體在停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)歷的路程有多長？31解解得：解得：321033例4：通過絞車?yán)瓌?dòng)湖中小船拉向岸邊,如圖。如果絞車以恒定的速率u拉動(dòng)纖繩,絞車定滑輪離水面的高度為h,求小船向岸邊移動(dòng)的速度和加速度。解：以絞車定滑輪處為坐標(biāo)原點(diǎn),x軸水平向右,y軸豎直向下,如圖所示。xlhyoxxlh34設(shè)小船到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為l,任意時(shí)刻小船到岸邊的距離x總滿足x

2

=l

2

h

2

兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù),得

絞車?yán)瓌?dòng)纖繩的速率,纖繩隨時(shí)間在縮短,故;是小船向岸邊移動(dòng)的速率。負(fù)號(hào)表示小船速度沿x軸反方向。小船向岸邊移動(dòng)的加速度為3536

例5：拋體運(yùn)動(dòng)。假設(shè)物體以初速度v0沿與水平方向成角方向被拋出,求物體運(yùn)動(dòng)的軌道方程、射程、飛行時(shí)間和物體所能到達(dá)的最大高度。拋體運(yùn)動(dòng)可以看作為x方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和y方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)相疊加。xyO解：首先必須建立坐標(biāo)系,取拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,x軸水平向右,y軸豎直向上,如圖。運(yùn)動(dòng)疊加原理是求解復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的有力工具。

37解按已知條件，t=0時(shí)，有PO38α解得：軌跡方程為：39由于空氣阻力，實(shí)際射程小于最大射程．求最大射程當(dāng)真空中路徑實(shí)際路徑END40x1=0是拋射點(diǎn)的位置,

另一個(gè)是射程拋體運(yùn)動(dòng)軌道方程

令y=0，得41物體的飛行時(shí)間當(dāng)物體到達(dá)最大高度時(shí),必有物體達(dá)最大高度的時(shí)間最大高度實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌道是彈道曲線，射程和最大高度都比上述值要小。拋射角0=/4時(shí),最大射程42例題6

有一學(xué)生在體育館陽臺(tái)上以投射角θ=30°和速率v0=20m/s向臺(tái)前操場(chǎng)出一壘球。球離開手時(shí)距離操場(chǎng)水平面的高度h=10m。試問球投出后何時(shí)著地？在何處著地？著地時(shí)速度的大小和方向各如何？解：以投出點(diǎn)為原點(diǎn)，建立x，y坐標(biāo)軸如圖所示。運(yùn)動(dòng)方程的分量式43把已知條件y=-h=-10m,θ=30°,v0=20m/s代入方程得著地時(shí)速度大小此速度和水平面的夾角44求導(dǎo)求導(dǎo)積分積分1由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以求得質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的位矢、速度和加速度；

2已知質(zhì)點(diǎn)的加速度以及初始速度和初始位置,可求質(zhì)點(diǎn)速度及其運(yùn)動(dòng)方程．說明質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)兩類基本問題45補(bǔ)例1

已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

求：（1）軌道方程；（2）t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度以及加速度；（3）什么時(shí)候位矢恰好與速度垂直？解：(1)消去時(shí)間參數(shù)（2）46方向沿y軸的負(fù)方向（3）（4）兩矢量垂直47例7子彈(質(zhì)點(diǎn))射入固定在地面上的砂箱內(nèi)，假設(shè)射入時(shí)刻定為t=0，子彈速率為v0。加速度與速率成正比，比例系數(shù)為k，即求：1)2)解：1)建坐標(biāo)系如圖砂箱由有式48分離變量：兩邊分別積分：得結(jié)果:#492)由式有即兩邊分別積分得結(jié)果：#50補(bǔ)例2路燈距地面高度為h，身高為l的人以速度v0在路上勻速行走。求：（1）人影頭部的移動(dòng)速度；（2）影長增長的速率。Ox2xx1hl

解：

（1）兩邊求導(dǎo)：51（2）令為影長以代入得52*二、平面極坐標(biāo)系(planarpolarcoordinates)

取參考系上一固定點(diǎn)O作為極點(diǎn),過極點(diǎn)所作的一條固定射線OA稱為極軸。用平面極坐標(biāo)系處理圓周運(yùn)動(dòng)一類的平面運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)處于點(diǎn)P,連線OP稱為點(diǎn)P的極徑,用表示；自O(shè)A到OP轉(zhuǎn)過的角稱為點(diǎn)P的極角。點(diǎn)P位置可用(,

)來表示,這兩個(gè)量就稱為點(diǎn)P的極坐標(biāo)。(自看）AO53三、自然坐標(biāo)系(naturalcoordinates)

沿著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道所建立的坐標(biāo)系。取軌道上一固定點(diǎn)為原點(diǎn),規(guī)定兩個(gè)隨質(zhì)點(diǎn)位置變化而改變方向的單位矢量,一個(gè)是指向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向的切向單位矢量,用表示,另一個(gè)是垂直于切向并指向軌道凹側(cè)的法向單位矢量,用n表示。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度總是沿著軌道的切向,所以在自然坐標(biāo)系中,速度矢量可表示為54自然坐標(biāo)系下的速度和加速度自然坐標(biāo)系：把坐標(biāo)建立在運(yùn)動(dòng)軌跡上的坐標(biāo)系統(tǒng)。規(guī)定：sOP

切向坐標(biāo)軸沿質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)方向的切向?yàn)檎?，單位矢量?/p>

法向坐標(biāo)軸沿軌跡的法向凹側(cè)為正，單位矢量為Qs55路程：質(zhì)點(diǎn)位置：速度：sOPQs56第二項(xiàng)是由速度方向變化所引起的加速度分量，為法向加速度(normalacceleration)第一項(xiàng)表示由于速度大小變化所引起的加速度分量,大小等于速率變化率,方向沿軌道切向,稱切向加速度(tangentialacceleration)加速度矢量為

57LBA(t)

(t+t)

當(dāng)t→0時(shí),點(diǎn)B趨近于點(diǎn)A,等腰OAB頂角→0。O’(t)

(t+t)

B′

A′

極限方向必定垂直于,指向軌道凹側(cè),與法向單位矢量n一致，并且58討論當(dāng)：有方向59沿法線方向法向加速度：60一般情況下,質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量應(yīng)表示為如果軌道在點(diǎn)A的內(nèi)切圓的曲率半徑為,61綜上所述：加速度的大小：加速度的方向（以與切線方向的夾角表示）：例：拋體運(yùn)動(dòng)624圓周運(yùn)動(dòng)及其角量描述質(zhì)點(diǎn)所在的矢徑與x軸的夾角。角位移：角位置

：質(zhì)點(diǎn)從A到B矢徑轉(zhuǎn)過的角度。規(guī)定：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎槙r(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)角速度：角加速度：63角量表示勻加速圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式：角量和線量的關(guān)系：64可以把角速度看成是矢量！方向由右手螺旋法則確定。右手的四指循著質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向彎曲，拇指的指向即為角速度矢量的方向。線速度與角速度的關(guān)系：

65為切向加速度方向沿著運(yùn)動(dòng)的切線方向。方向指向圓心為法向加速度66例8求如圖所示的拋體軌道頂點(diǎn)處的曲率半徑解：在軌道頂點(diǎn)由得#67例9:半徑為r=0.2m的飛輪，可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知輪緣上一點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為=-t2+4t，求在1秒時(shí)刻M點(diǎn)的速度和加速度。解：ox68解：由題意，可得該點(diǎn)的速率為：

*例題10.一飛輪邊緣上一點(diǎn)所經(jīng)過的路程與時(shí)間的關(guān)系為，v0、b都是正的常量。（1）求該點(diǎn)在時(shí)刻t的加速度；（2）t為何值時(shí)，該點(diǎn)的切向加速度與法向加速度的大小相等？已知飛輪的半徑為R。上式表明，速率隨時(shí)間t而變化，該點(diǎn)做勻變速圓周運(yùn)動(dòng)。69（1）t

時(shí)刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:加速度方向由它和速度的夾角確定為Ro70（2）令at=an，即得71例11:汽車在半徑為的圓弧形公路上剎車,運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

（單位：秒，米）。求:時(shí)的加速度。

解：

72例12一質(zhì)點(diǎn)由靜止開始作直線運(yùn)動(dòng)，初始加速度為a