《生活中的優(yōu)化問題舉例》 全省一等獎(jiǎng)

生活中的優(yōu)化問題舉例考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3填填知學(xué)情課內(nèi)考點(diǎn)突破規(guī)律探究考綱解讀考向預(yù)測(cè)考點(diǎn)4考綱解讀導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次).(2)了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次）；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次）.(3)會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題.考向預(yù)測(cè)1.以解答題的形式考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求單調(diào)區(qū)間,求極值與最值.2.以實(shí)際問題為背景,考查利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題.3.以解答題的形式考查導(dǎo)數(shù)與解析幾何、不等式、平面向量等知識(shí)相結(jié)合的問題.

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)

(1)如果在(a,b)內(nèi),

,則f(x)在此區(qū)間是增函數(shù),(a,b)為f(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)如果在(a,b)內(nèi),

,則f(x)在此區(qū)間是減函數(shù),(a,b)為f(x)的單調(diào)減區(qū)間.2.函數(shù)的極值f′(x)>0f′(x)<0(1)函數(shù)極值的定義

①已知函數(shù)y=f(x),設(shè)x0是定義域(a,b)內(nèi)任一點(diǎn),如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)x,都有f(x)<f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取

,記作

.并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)

.②如果在x0附近都有f(x)>f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取

,記作

.并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)

.③極大值與極小值統(tǒng)稱為

.

與

統(tǒng)稱為極值點(diǎn).

極大值y極大=f(x0)極大值點(diǎn)極小值y極小=f(x0)極小值點(diǎn)極值極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)(2)求函數(shù)極值的方法解方程f′(x)=0,當(dāng)f′(x0)=0時(shí),①如果在x0附近左側(cè)

,右側(cè)

,那么f(x0)是極大值.②如果在x0附近左側(cè)

,右側(cè)

,那么f(x0)是極小值.③如果f′(x)在點(diǎn)x0的左、右兩側(cè)

，則f(x0)不是函數(shù)極值.3.函數(shù)的最值

(1)函數(shù)f(x)在［a,b］上有最值的條件如果在區(qū)間［a,b］上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條

的曲線,那么它必有最大值和最小值.函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得.f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0符號(hào)不變連線不斷(2)求函數(shù)y=f(x)在［a,b］上的最大值與最小值的步驟①求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的

.②將函數(shù)y=f(x)的各極值與

比較,其中

的一個(gè)是最大值,

的一個(gè)是最小值.

4.用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題解決優(yōu)化問題的基本思路是:最小極值端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)最大考點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍;(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0］上單調(diào)遞減,在［0,+∞)上單調(diào)遞增?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.【解析】

f′(x)=ex-a.(1)若a≤0,f′(x)=ex-a≥0恒成立,即f(x)在R上遞增.

若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+∞).(2)∵f(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增,∴f′(x)≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立.∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0.【分析】

(1)通過解f′(x)≥0求單調(diào)遞增區(qū)間;(2)轉(zhuǎn)化為恒成立問題求a;(3)假設(shè)存在a,則x=0為極小值點(diǎn),或利用恒成立問題.(3)解法一:由題意知ex-a≤0在(-∞,0］上恒成立.∴a≥ex在(-∞,0］上恒成立.∵ex在(-∞,0］上為增函數(shù).∴x=0時(shí),ex最大為1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0,+∞)上恒成立.∴a≤ex在［0,+∞)上恒成立.∴a≤1,∴a=1.解法二:由題意知,x=0為f(x)的極小值點(diǎn).∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便,但應(yīng)注意f′(x)>0(或f′(x)<0)僅是f(x)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)(或減函數(shù))的充分條件,在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a,b)上遞增(或遞減)的充要條件應(yīng)是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0,這就是說,函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處有f′(x0)=0,甚至可以在無窮多個(gè)點(diǎn)處f′(x0)=0,只要這樣的點(diǎn)不能充滿所給區(qū)間的任何一個(gè)子區(qū)間,因此,在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值范圍時(shí),應(yīng)令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立,解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立理論求解),然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去,若f′(x)不恒為0,則由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R.(1)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（）內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍.【解析】（1）f（x）=x3+ax2+x+1，f′(x)=3x2+2ax+1,當(dāng)Δ=（2a）2-3×4=4a2-12≤0,即≤a≤時(shí)，f′(x)≥0恒成立，此時(shí)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，單調(diào)區(qū)間為（-∞,+∞）.當(dāng)Δ=(2a)2-3×4=4a2-12＞0,即a＞或a＜，函數(shù)f′(x)存在零解，此時(shí)當(dāng)x＜時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)x＞時(shí),f′(x)＞0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)＜x＜時(shí),f′(x)＜0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.此時(shí)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為若a＞或a＜,則（-∞,）,（,+∞）為單調(diào)遞增區(qū)間;（）為單調(diào)遞減區(qū)間.(2)若函數(shù)在區(qū)間（）內(nèi)是減函數(shù),則說明f′(x)=3x2+2ax+1=0兩根在區(qū)間（）外,因此f′（）≤0,且f′（）≤0,由此可以解得a≥2.因此a的取值范圍是［2,+∞).考點(diǎn)2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)［2010年高考安徽卷］設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ex-2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln2-1且x>0時(shí)，ex>x2-2ax+1.【分析】求出f′(x),利用f′(x)>0,f′(x)<0,求出單調(diào)區(qū)間,再求極值.【解析】

(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.令f′(x)=0，得x=ln2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f′(x),f(x)的變化情況如下表：x(-∞,ln2)

ln2(ln2,+∞)

f′(x)-0+f(x)單調(diào)遞減2(1-ln2+a)單調(diào)遞增故f(x)的區(qū)間是(-∞,ln2)，區(qū)間是(ln2,+∞),f(x)在x=ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a)(2)證明:設(shè)g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.由(1)知當(dāng)a>ln2-1時(shí),g′(x)取最小值為g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.于是對(duì)任意x∈R,都有g(shù)′(x)>0,所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.于是當(dāng)a>ln2-1時(shí),對(duì)任x∈(0,+∞),都有g(shù)(x)>g(0).而g(0)=0,從而對(duì)任意x∈(0,+∞)都有g(shù)(x)>0.即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求函數(shù)的極值和證明函數(shù)不等式,考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問題的能力.設(shè)函數(shù)f(x)=-x(x-a)2(x∈R)，其中a∈R.(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程；(2)當(dāng)a≠0時(shí)，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值.(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,f′(x)=-3x2+4x-1,f′(2)=-12+8-1=-5,∴當(dāng)a=1時(shí)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為5x+y-8=0.(2)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,f′(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令f′(x)=0，解得x=或x=a.由于a≠0，以下分兩種情況討論.①若a>0,當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）,f(x)的變化情況如下表：因此，函數(shù)f(x)在x=處取得極小值f(),且f()=;函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值f(a),且f(a)=0.x(-∞,-)(,a)1(a,+∞)

-0+0-0↘↗↘②若a<0,當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）,f(x)的變化情況如下表：因此，函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值f(a),且f(a)=0;函數(shù)f(x)在x=處取得極大值f(),且f()=.x(-∞,a)a(a,)(,+∞)

-0+0-0↘↘↗考點(diǎn)3函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)［2009年高考遼寧卷］設(shè)f(x)=ex(ax2+x+1),且曲線y=f(x)在x=1處的切線與x軸平行.(1)求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)θ∈[0,]時(shí)，|f(cosθ)-f(sinθ)|<2.【解析】

(1)f′(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1).由條件知，f′(1)=0,故a+3+2a=0a=-1.于是f′(x)=ex(-x2-x+2)=-ex(x+2)(x-1).故當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(-2,1)時(shí)，f′(x)>0.從而f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，在（-2，1）內(nèi)單調(diào)遞增.(2)證明：由(1)知f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，故f(x)在［0,1］上的最大值為f(1)=e，最小值為f(0)=1.從而對(duì)任意x1,x2∈［0,1］，有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2.而當(dāng)θ∈[0,]時(shí)，cosθ,sinθ∈［0,1］.從而|f(cosθ)-f(sinθ)|<2.

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.

已知a為常數(shù)，求函數(shù)f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a≤0，則f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.∴當(dāng)x=0時(shí)，有最大值f(0)=0.若a＞0，則令f′(x)=0，解得x=±.∵x∈［0,1］,則只考慮x=的情況.如下表所示:【解析】

(1)0＜＜1，即0＜a＜1，當(dāng)x=時(shí),f(x)有最大值f()=2a.(2)≥1，即a≥1，當(dāng)x=1時(shí),f(x)有最大值f(1)=3a-1.綜上,當(dāng)a≤0,x=0時(shí)，f(x)有最大值0;

當(dāng)0＜a＜1,x=時(shí),f(x)有最大值2a;

當(dāng)a≥1，x=1時(shí)，f(x)有最大值3a-1.x0(0,)f′(x)+0-f(x)↗↘考點(diǎn)4最優(yōu)化問題一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它速度的立方成正比，已知在速度為每小時(shí)10公里時(shí)的燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元.問此輪船以多大速度航行時(shí)，能使行駛每公里的費(fèi)用總和最??？【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.

【解析】設(shè)船的速度為x(x＞0)（公里/小時(shí)）時(shí),燃料費(fèi)用為Q元，則Q=kx3.

由6=k×103可得k=,∴Q=x3.∴總費(fèi)用y=(x3+96)·=x2+.∴y′=x-.令y′=0得x=20.

當(dāng)x∈(0,20)時(shí),y′＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈(20,+∞)時(shí),y′＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.∴當(dāng)x=20時(shí)，y取得最小值.∴此輪船以20公里/小時(shí)的速度行駛時(shí)每公里的費(fèi)用總和最小.

（1）用導(dǎo)數(shù)解應(yīng)用題求最值的一般方法是：求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零;求y′=0的根，求出極值點(diǎn);最后寫出解答.

（2）在有關(guān)極值應(yīng)用的問題中，絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點(diǎn)使得f′(x)=0,且在兩側(cè)f′(x)的符號(hào)各異，一般稱為單峰問題，此時(shí)該點(diǎn)就是極值點(diǎn)，也是最值點(diǎn).從邊長(zhǎng)為2a的正