2019安徽中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練- 圓的綜合題

2019安徽中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練——圓的綜合題

所以∠AOP＝∠BOP＝90°.又∵AC是⊙O的切線，∴∠ACO＝90°，∠ACB＝60°，∴∠OCA＝30°，∠OAC＝60°，所以∠PAO＝∠OAC＝60°，∠PAC＝∠OCA＝30°，∴∠APC＝∠A＋∠PAC＝60°＋30°＝90°，所以∠P＝∠APC＝90°；(2)如解圖，連接OC，PC，BC，∵∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝4cm.又∵PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，∴OA＝OB＝4cm，∴PC＝2cm，OC＝23cm，∴△PCO是30°-60°-90°三角形，∴PO＝2cm，∴陰影部分的面積為△ABC－扇形OAB－△POC＝43cm2－4cm2·π/6＋2cm·23cm/2＝43cm2－23cm2·π/3＋23cm2＝43－23π/3＋23cm2.6.如圖，已知圓O的切線AD，切點(diǎn)為A，弦AB。過(guò)點(diǎn)B作BC//AD，交圓O于點(diǎn)C，連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CD//AB，交AD于點(diǎn)D。連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，交過(guò)點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且∠BCP=∠ACD。（1）判斷直線PC與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若AB=9，BC=6，求PC的長(zhǎng)度。解析：（1）連接CO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)E，連接EB。因?yàn)镃E是圓O的直徑，所以∠EBC=90°。又因?yàn)镃D∥AB，所以∠ACD=∠BAC。又因?yàn)椤螧AC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP。所以∠BCP+∠BCO=90°，即∠PCO=90°，所以O(shè)C⊥PC。因?yàn)镺C是圓O的半徑，所以PC是圓O的切線。（2）因?yàn)锳D是圓O的切線，所以O(shè)A⊥AD。因?yàn)锽C∥AD，所以AM⊥BC。所以BM=CM=BC=3，AC=AB=9。在直角三角形AMC中，由勾股定理得AM=√(AC2-CM2)=6。設(shè)OC=r，則OM=6-r。在直角三角形OMC中，由勾股定理得OM2+CM2=OC2，即(6-r)2+32=r2。解得r=8/7，即OC=8/7。所以O(shè)M=6-8/7=34/7。因?yàn)镺C⊥PC，所以∠MCP+∠MCO=90°。又因?yàn)锳M⊥BC，所以∠MOC+∠MCO=90°。所以∠MOC=∠MCP。因?yàn)椤螼MC=∠CMP，所以△OMC∽△CMP。所以O(shè)C/OM=PC/CM，即8/34=PC/3。解得PC=8/3。7.如圖所示，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且∠CBF=1/2∠CAB。（1）證明：直線BF是圓O的切線；（2）若AB=5，BC=25，求cos∠CBF。解析：（1）連接AE。因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以∠AEB=90°。因?yàn)锳B=AC，所以∠BAE=∠CAB。又因?yàn)椤螩BF=1/2∠CAB，所以∠BAE=∠CBF。所以∠EAB+∠ABE=90°，所以∠CBF+∠ABC=90°，即∠ABF=90°。因?yàn)锳B⊥BF，所以直線BF為圓O的切線。（2）因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以圓O的半徑為AB/2=5/2。因?yàn)椤螩BF=1/2∠CAB，所以∠CAB=2∠CBF。所以cos∠CBF=cos(1/2∠CAB)=√[(1+cos∠CAB)/2]=√[(1+2BC2/AB2)/2]=√[(1+2×252/52)/2]=3/5。(1)在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得AB=√(AC2+BC2)=√(100+25)=5√5，由于E是AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=AC/2=5，又因?yàn)镺E交CD于點(diǎn)F，所以O(shè)F=FC，而OE=EC=5/2，所以O(shè)F=5/2。根據(jù)勾股定理可得OD=√(OB2-BD2)=√(25-2π2)，所以DF=OD-OF=√(25-2π2)-5/2。由于EF=AE+AF=5+DF，所以EF=5+√(25-2π2)-5/2=5/2+√(25-2π2)。再根據(jù)勾股定理可得CE=√(AC2-AE2)=√(100-25)=5√3，所以2CE2=50×3=150，而AB·EF=5√5×(5/2+√(25-2π2))=25/2√5+5√(25-2π2)，所以要證明2CE2=AB·EF，只需證明25/2√5+5√(25-2π2)=150即可?；?jiǎn)可得√(25-2π2)=5/2√5，兩邊平方可得25-2π2=25/4×5，化簡(jiǎn)可得π2=25/4，所以π=5/2。代入可得25/2√5+5√(25-2π2)=25/2√5+5√(25-5)=25/2√5+5×2=25/2√5+10=150，所以2CE2=AB·EF成立。(2)由于DE是OE的垂直平分線，所以DE與⊙O相切。(3)根據(jù)(2)可得EF=AD，而△ACD∽△ABC，所以AD/AB=AC/BC，化簡(jiǎn)可得AD=AC2/AB=25，所以EF=25，代入2CE2=AB·EF可得150=25CE2，化簡(jiǎn)可得CE2=6，所以CE=√6。ACAD，即AC2=AB·AD，即2CE2=AB·EF，其中AB是⊙O的直徑，CD=BC，AC與BD交于點(diǎn)E。證明：由題意可知，CD=BC，∠BDC=∠DAC，∠DCE=∠ACD，因此△CDE∽△CAD，所以CD/AC=CE/AD，即CD2=CE·AC。解：如解圖所示，連接OE，設(shè)CE=x。因?yàn)锳E=2CE，所以AC=AE+CE=3x。由(1)知，CD2=x·3x=3x2，所以CD=3x，又因?yàn)镃D=BC，所以BC=3x。根據(jù)勾股定理，AB=AC2+BC2=23x/2，所以O(shè)A=OB=AB/2=3x/2，OB=OC=BC=3x，所以△BOC是等邊三角形。又因?yàn)镈E⊥AC，所以DE是AC的中線，即DE=EC=2x。由勾股定理得，OE=OB/2=x，所以DE是⊙O的切線。又因?yàn)锳D=2OE=3x，所以BD=AB-AD=23x/2-3x=5x/2。解：如圖②所示，連接OF，F(xiàn)G。因?yàn)镕是OA的中點(diǎn)，所以O(shè)F=AF=AB/2=5。又因?yàn)閠an∠BAD=19/4，所以∠BAD≈75.96°。由勾股定理得，OB=AB/2=5，所以O(shè)A=√(AB2-OB2)=√(100-25)=5√15。因?yàn)镈E是⊙O的切線，所以∠ODE=90°，所以∠OFG=∠ODF=∠OAD/2=45°。由勾股定理得，OG=OF·tan∠OFG=5·tan45°=5。又因?yàn)镕G=3/4，所以EG=EF+FG=2x+3/4。根據(jù)勾股定理得，OE=√(OB2-BD2)=√(25-25/4)=5/2。因此，DE=OE=5/2，所以CE=DE-DC=5/2-3=1/2。根據(jù)勾股定理得，OE=OF·sin∠OFE，所以sin∠OFE=OE/OF=1/√50。因?yàn)椤螼FE=∠OFG+∠GFE，所以cos∠OFE=cos(45°+∠GFE)=-sin(45°+∠GFE)=-cos(∠GFE-45°)。由tan∠BAD=19/4可得sin∠BAD=19/√425，所以cos∠BAD=-6/√425。因此，cos∠GFE=cos(∠OFE-∠OFG)=cos∠OFE·cos∠OFG+sin∠OFE·sin∠OFG=-1/√50·3/5+1/√50·4/5=7/√850。根據(jù)勾股定理得，OG=√(OE2+EG2-2OE·EG·cos∠OGE)=√(25/4+(2x+3/4)2-5(2x+3/4)·7/√850)=√(25/4+4x2+3x+9/16-35x/√850-21/4√850)=√(16x2-35x/√850+1/16√850)=5。因此，⊙O的半徑為OA=5√15。如圖1所示，連接OD，由OA=OD可得∠OAD=∠ODA。又因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠OAD=∠DAE，進(jìn)而得到∠ODA=∠DAE。因此，OD∥AE。又因?yàn)椤螦ED=90°，所以∠ODE+∠AED=180°。又∠ODE=90°，所以O(shè)D⊥DE。由于OD是⊙O的半徑，所以DE是⊙O的切線。如圖1所示，連接BC，交OD于點(diǎn)N。因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以∠BCA=90°。又因?yàn)镺D∥AE，O是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)N∥AC且ON=AC/2。又因?yàn)镺N=AC，所以∠ONB=90°。由于ON=3，OB=5，所以BN=4，ND=2，從而得到BD=√(42+22)=√20=2√5。如圖2所示，設(shè)FG與AD交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥HD，交HD于點(diǎn)M。根據(jù)題意，設(shè)AB=5x，AD=4x，則AF=x。因?yàn)镕H=AF·tan∠BAD=x·(5/12)=5x/12，AH=AF·cos∠BAD=x·(3/5)=3x/5。由（1）可知，∠HDG+∠ODA=90°。在Rt△HFA中，∠FAH+∠FHA=90°。因?yàn)椤螼AD=∠ODA，∠FHA=∠DHG，所以∠DHG=∠H