立方與與立方差公式

1/10立方和與立方差公式[例1]我們來計算(a+b)(a－b)=a2—ab+ab—b2=a2—b2，這就是說，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差,這個公式就叫做乘法的平方差公式，利用這個公式計算:?(1)(2x＋3y)(2x－3y)(2)(1＋2a)(1－2a)(3)(2x3+5y2)(2x3—5y2)(4)(－a2—b2)(b2—a2)提示:剛開始使用公式，運算格式可分兩步走，第一步先按公式特征寫出一個＂框架"，如(1) (2x+3y)(2x-3y)=()2-()2，第二步分析哪項相當于公式中的a，哪項相當于公式中的b,并在"框架”中填數(shù)計算.?參考答案:(1)(2x+3y)(2x－3y)=(2x)2-(3y)2=4x2－9y2?(2)(1＋2a)(1—2a)=12-(2a)2=1—4a2(3)(2x3+5y2)(2x3—5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6－25y4(4)(－a2-b2)(b2—a2)=(—a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2—(b2)2=a4－b4平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的特征是：?(1)左邊是兩個二項式相乘,并且這兩個二項式中有一項完全相同,另一項互為相反數(shù)。?(2)右邊是乘式中兩項的平方差：即用相同項的平方減去相反項的平方,在學習平方差公式時還應注意:②一定要認真仔細地對題目進行觀察研究，把不符合公式標準形式的題目加以調整，使它變化為符合公式標準的形式，如第(4)小題。[例2]計算(a＋b)2和(a-b)2，可知(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2＋ab+ab+b2=a2+2ab＋b2(a－b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab—ab+b2=a2—2ab+b2,即(a±b)2=a2±2ab+b2,這就2/10立方和與立方差公式是說,兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或者減去)它們積的2倍,這兩個公式叫做乘法的完全平方公式。利用這兩個公式計算(1)(x+5)2(2)(2-y)2(3)((5)(—a＋2b)2?(3a＋2b)2在套用完全平方公式進行計算時，一定要先弄清題目中的哪個數(shù)或式是a，哪個數(shù)或式是b。a+2b)2=(—a)2+2·(—a)·2b+(2b)2=a2—4ab+4b2為了區(qū)別,我們把前者叫做兩數(shù)和的完全平方公式,后者叫做兩數(shù)差的完全平方公式。、這兩個公式的結構特征是：左邊是兩個相同的二項式相乘，(即二項式的平方形式),右邊是三項式,是左邊二項式中兩項的平方和,加上(這兩項相加時)或減去(這兩項相減時)這3、公式中的字母a、b既可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項式或多項式等代數(shù)式。?4、只要符合這一公式的結構特征,就可以運用這一公式，在運用公式時，注意防止發(fā)生(a±b)2=a2±b2這樣的錯誤。[例3]計算(a+b)(a2—ab＋b2)和(a－b)(a2+ab＋b2)，可知(a+b)(a2-ab+b2)(a±b)(a2ab+b2)=a3±b3，這就是說,兩數(shù)和(或差)乘以它們的平方和與它們的積的差(或和)，等于這兩個數(shù)的立方和(或差),這兩個公式叫做乘法的立方和公式與立方差公式，利用這3/10立方和與立方差公式(1)(x＋2)(x2-2x＋4)；(2)(3－y)(9+3y+y2)；(3)(3x—4y)(9x2+12xy＋16y2);(5)(3x2—2y2)(9x4＋6x2y2＋4y4)先弄清題目是用立方和公式還是用立方差公式計算,再弄清題目中哪個數(shù)或式是a,哪個數(shù)或式是b，最后再代入公式計算。?參考答案:?(1)(x+2)(x2－2x＋4)=(x(2)(3-y)(9+3y+y2)=(3—y)(32+3·y+y2)=33—y3=27－y3(3)(3x—4y)(9x2+12xy+16y2)=(3x－4y)[(3x)2+3x·4y+(4y2)]=(3x)3—(4y)3=27x3—64y3(5)(3x2—2y2)(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2＋3x2·2y2+(2y2)2]＝(3x2)3—(2y2)3=27x6—8y61、注意對公式的理解和記憶(1)項數(shù)特征：兩項乘三項→積為二項,(2)符號特征：二，+，積的符號與二項因式的符號相同,二項的因式符號若為"+”,”—”，則三項的因式符號為+,+，+，積的符號與二項因式的符號相同，即是說公式在各種條件都相符的情況下,所得的積是兩數(shù)的"立方和＂還是兩數(shù)的”立方差”,主要看乘積中第一個乘式是＂兩數(shù)和＂,還是"兩數(shù)差”.2、公式中的字母a、b仍代表任意數(shù)或代數(shù)式.4/10立方和與立方差公式第二階梯[例1]利用乘法公式計算：(1)(x+3)(x—3)(x2+9)(2)(a+b)(a—b)(a2－b2)3()?(x-2)(x＋2)(x4+4x2+16)(4)(a—b)(a2＋ab+b2)(a6+a3b3＋b6)再使用完全平方公式;(3)小題先使用平方差公式，再使用立方差公式(4)小題兩次使用立方差公式。(1)(x+3)(x—3)(x2+9)=(x2－9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81?(2)(a+b)(a－b)(a2－b2)=(a2—b2)(a2—b2)=(a2—b2)2=(a2)2—2a2b2+(b2)2=a4－2a2b2+b4(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2＋16)=(x2－4)(x4+4x2+16)＝(x2)3—43＝x6－64?(4)(a明:?遇到多項式的乘法問題，首先應看看是否符合某個乘法公式,若有恰當?shù)墓绞褂肹例2]運用乘法公式計算：(1)(a＋b＋c)(a-b-c)(2)(a—2b+3c)(a+2b-3c)?(3)(x+2y+z)2(4)(2x－3y—4z)2提示:(1)(2)小題可利用平方差公式進行計算；(3)(4)小題可利用完全平方公式進行計算。?參考答案:(1)(a+b+c)(a－b—c)=[a+(b+c)][a—(b+c)]=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc＋c2)=a2-b2—2bc—c2?(2)(a—2b+3c)(a+2b－3c)=[a-(2b－3c)][a+(2b5/10立方和與立方差公式-3c)]=a2-(2b－3c)2＝a2—(4b2—12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2?(3)(x+2y+z)2=[x+(2y+z)]2=x2+2x(2y＋z)＋(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2(4)(2x—3y—4z)2=[2x－(3y+4z)]2=(2x)2—2·2x·(3y+4z)+(13y+4z)yyzz說明:?進行多項式乘法運算時,一定要認真仔細地對題目進行觀察研究，把不符合公式標準形式的題目加以調整。適當?shù)靥砑永ㄌ枺瑢⒂欣趹贸朔ü?添加括號方式的不同,可一題多解，如(4)小題還可添加括號為[(2x－3y)-4z]2，但得出的結果均相同。[例3]利用乘法公式計算:?(1)(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2—x+1)(2)(a＋b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2－ab+b2)提示：?(1)小題前兩個因式可利用平方差公式計算，后兩個因式也可利用平方差公式計算,也可以將第一個因式與第四個因式結合利用立方和公式，第二個因式與第三個因式結合利用立方差公式(2)小題類似。參考答案:(1)2-1)(x4+2x2+1-x2)＝(x2－1)[(x2)2+x2-1＋12](x2)3—13=x6-1解法二:(x+1)(x—1)(x2+x+1)(x2—x＋1)6/10立方和與立方差公式＝[(x+1)(x2－x+1)[(x-1)(x2+x+1)]?＝(x3+1)(x3－1)?2)(解法一：?(a+b)(a－b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)=(a2-b2)[(a2+b2)2-(ab)2]=(a2-b2)(a4+2a2b2＋b4-a2b2)?=(a2－b2)(a4+a2b2+b4)?＝(a2)3－(b2)3=a6－b6?解法二:(a＋b)(a-b)(a2+ab＋b2)(a2-ab+b2)=[(a+b)(a2—ab＋b2)][(a-b)(a2+ab+b2)]=(a3+b3)(a3－b3)?=(a3)2-(b3)2?=a6-b6?說明:?進則進行計算，以上兩道小題的解法中,顯然解法二先運用立方和，立方差公式，再運用平方差公式，這樣做既簡便又不易出錯.第三階梯(2)解方程:(2x+1)2－(x+1)(x—1)—3x(x－1)＝0?提示:?用乘法公式進行化簡?參考答案：?)1((x+2)(x2—2x＋4)+(x－1)(x2+x+1)?=x3＋8+x3-1=2x3+7?7/107x＝－2?說明:7x＝－2?說明:?(2)(2x+1)2-(x+1)(x-1)—3x(x-1)=0?4x2+4＋1—x2+1—3x2+3x=0(4x2+4x＋1)在化簡求值和解方程的過程中,如果遇到多項式的乘法,應先觀察能否運用乘法公式，如果能運用，很多乘法就可直接應用公式寫出結果,這充分簡化了計算過程。[例2]已知a+b=3，ab=-8，求下列各式的值.?(1)a2+b2(2)a2-ab＋b2(3)(a－b)2(4)a3＋b3?提示:?由完全平方公式(a＋b)2=a2+2ab+b2，可知a2+b2=(a+b)2—2ab，利用已知條件可求出a2+b2的值，再分別代入(2),(3),(4),可求出(2),(3),(4)式的值。注意，第(4)小題應逆用立方和公式。參考答案:?(1)a2+b2=(a+b2)—2ab=32-2×(-8)=9＋16=25(2)a2—ab+b2=a2+b2－ab＝25—(-8)＝25+8=33(3)(a-b)2=a2－2ab＋b2＝a2+b2—2ab＝25-2×(—8)=25+16=41(4)a3+b3=(a+b)(a2—ab+b2)=(a+b)(a2+b2—ab)=3×[25-(—8)]=3×33＝99說明：?靈活運用公式變形和逆用公式，這些都是常用的解題技巧.[例3]若兩個連續(xù)自然數(shù)的平方差是17，求這兩個自然數(shù)的和？設一個自然數(shù)為x，另一個自然數(shù)為x+1,根據(jù)題意，列出方程,求出這兩個自然數(shù)，進而求出它們的和?參考答案：?解：設這兩個連續(xù)自然數(shù)是x，x+18/10(x+1)2—x2=17∴x+1=8+1＝9∴x+(x+1)＝8＋9=17?立方和與立方差公式2x＋1=172??x=16x=8方程時還可逆用平方差公式(x＋1)2－x2=(x+1＋x)(x+1-x)=2x+1選擇題1?.下列各式能用平方差公式進行計算的是()A．(a+2)(-a—2)?B．(－x-y)(y－x)C。?D。(2x+y)(x－2y)2．若16x2+mxy＋81y2是一個完全平方式,則m的值為()?A.36B。72C。-72D.±723．?a3-27b3的一個因式是()AaabbBaabbCaabbD。a2－3ab+b24.若x+y=9，xy＝16，則x2＋y2=()A。81B.17C．49D。?541填空題1、(3x+2y)＝()=9x2—4y2?2、(—1+2a)(－1—2a)=(?)