人教版八年級數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 兩個等腰直角三角形共點(diǎn)專題

人教版八年級數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)兩個等腰直角三角形共點(diǎn)專題

本文介紹了兩個等腰直角三角形共點(diǎn)的相關(guān)知識和解題方法?；痉椒ǎ簩τ趦蓚€等腰直角三角形，如果它們共點(diǎn)，但頂點(diǎn)直角開口方向相反，可以通過平移其中一個三角形，使它們的底邊重合，從而進(jìn)行相關(guān)問題的求解。典型例題：考慮同側(cè)型問題，如圖所示，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DEF中，連接DC，M是中點(diǎn)，求EM,AM的大小關(guān)系。我們可以將DE平移到CF，或者將EM倍長到MF，然后證明△AEB≌△AFC，關(guān)鍵在于證明∠ABE=∠ACF。由于DE⊥BE，CG⊥BG，因此有∠ABE=∠ACF。這樣就可以得到EM=MF，AM=MC，即EM=AM/2。對于對側(cè)型問題，如圖所示，在兩個等腰直角三角形ABC和AEF中，頂角互補(bǔ)，我們可以將AE平移到BC，或者將中線AF倍長到BC，從而進(jìn)行相關(guān)問題的求解。提高：考慮如圖所示，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DBE中，且BE在AB邊上，取AE的中點(diǎn)F，CD的中點(diǎn)G，連接GF。我們需要探究FG與DC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，以及△BDE繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)180°時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立。首先可以證明四邊形BEFG是矩形，然后延長GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理可以得到FG與DC垂直且FG=DC/2。當(dāng)且僅當(dāng)FG=EF時，平行四邊形BEFG是正方形，即△BDE繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)180°時，(1)中的結(jié)論仍然成立。最后，我們還介紹了一個關(guān)于正方形的問題：如圖所示，在正方形ABCD和平行四邊形BEFG中，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG、PC。我們需要探究當(dāng)PG與PC的夾角為多少度時，平行四邊形BEFG是正方形。我們可以先證明四邊形BEFG是矩形，然后延長GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理可以得到PG與PC的夾角為60°時，平行四邊形BEFG是正方形。4、如圖，ABCD、DFGE均為正方形，連AG，作AG的中點(diǎn)H，連BH。首先，觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，AH=HG=GD=DF=FE=EC=CB=BA，即△ABH、△BHG、△CGD、△DFE、△FEC、△ECB、△CBA全都是等邊三角形。(1)由△BHE和△GHE可以得到BH:HE=BG:GE=1:1，即BH=HE。因?yàn)锳BCD是正方形，所以AG是對角線，且AG=2AB=2BH，所以BH:AG=1:2。(2)由△BHG和△BGD可以得到BH:GD=BH:HG=1:1，即BH=GD。因?yàn)镈FGE是正方形，所以GF是對角線，且GF=2DF=2GD，所以BH:GF=1:2。綜上所述，BH:AG=1:2，BH:GF=1:2，因此BH:HE=1:1:2。為鄰邊構(gòu)造平行四邊形CEBF，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)G為BF的中點(diǎn)，點(diǎn)H為DE的中點(diǎn)。（1）證明：△ADE≌△CBF；（2）求證：GH⊥BF；（3）若AB=6，求GH的長度。19.如圖，△ABC和△ADE分別是以AB、AE為底的等腰直角三角形，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，以CE、CB為鄰邊構(gòu)造平行四邊形CEBF，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)G為BF的中點(diǎn)，點(diǎn)H為DE的中點(diǎn)。（1）首先，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知，∠AED=∠ABC=45°，∠ADE=∠ACB=45°，因此△ADE和△ABC都是45°-45°-90°三角形。又因?yàn)锳D=AB，所以這兩個三角形全等，即△ADE≌△ABC。由平行四邊形的性質(zhì)可知，CE=BF，因此△CBF也是45°-45°-90°三角形，且與△ADE全等。（2）因?yàn)镚H是BF的中線，所以GH=BF/2。又因?yàn)椤鰿BF是45°-45°-90°三角形，所以BF=CB，因此GH=CB/2。又因?yàn)锳C=AB=6，所以CB=AC-AB=6-6cos45°=3\sqrt{2}，因此GH=3\sqrt{2}/2。最后，因?yàn)锽F和GH都垂直于AC，所以GH⊥BF。（3）根據(jù)上面的推導(dǎo)，GH=CB/2=3\sqrt{2}/2，因此GH的長度為3\sqrt{2}/2。邊長為5的正方形ABCD中，有點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在CD邊上，點(diǎn)P在BC邊上，且MN與AP垂直相交于點(diǎn)E?，F(xiàn)要求證AP=MN，以及在條件EF=EA下，DE的長度等于DG的長度的兩個問題。（1）要證明AP=MN，可以通過反證法進(jìn)行證明。假設(shè)AP≠M(fèi)N，則MN與AP不垂直，與已知條件矛盾。因此，可得AP=MN。（2）在條件EF=EA下，連接CF并設(shè)CF的中點(diǎn)為G，連接DG，要證明DE=DG。首先，根據(jù)三角形的勾股定理可得MN=√(AM^2+AN^2)和AP=√(AM^2+PM^2)。由于EF=EA，因此可得EF=AP-EP，即EF=√(AM^2+PM^2)-PM。又因?yàn)镸N⊥AP，所以ME^2+EN^2=AM^2+PM^2和EM^2+EP^2=EN^2+PN^2。將上述兩個式子相減可得ME^2-EM^2=PN^2-PM^2，即ME-EM=PN-PM。因此，EF=ME-EM，即EF=MN/2-EM。又因?yàn)镚是CF的中點(diǎn)，所以EG=GF=FC/2=BC/2=5/2。根據(jù)勾股定理可得DE=√(DN^2+EN^2)和DG=√(GN^2+GD^2)。代入已知條件可得DN=3/2和EN=√(MN^2-EN^2)=√(MN^2-1.5^2)。因此，DE=√(9/4+MN^2-1.5^2)=√(MN^2+1/4)=MN/2+1/2。將EF和DE代入可得MN/2-EM=MN/2+1