云南省保山市文山州2022-2023學年高二下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

【考試時間：7月14日15：00~17：00】保山市文山州2022—2023學年春季學期期末聯(lián)合質量監(jiān)測高二（數(shù)學）試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷第1頁至第2頁，第II卷第3頁至第4頁.考試結束后，請將答題卡交回.滿分150分，考試用時120分鐘.第I卷（選擇題，共60分）注意事項：1.答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的學校、班級、姓名、考場號、座位號、準考證號在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.在試題卷上作答無效.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合，根據(jù)補集和交集的概念可求出結果.【詳解】由得或，則或，則，又，所以.故選：A2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法算出，然后由復數(shù)的幾何意義選出答案.【詳解】由題意，，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，故復數(shù)對應的點為在第三象限，故選：C3已知，則（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式求出，再利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關系將弦化切，最后代入計算可得.【詳解】因為，所以.故選：B.4.蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成.巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個蜂巢的正六邊形開口，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量的運算以及正六邊形的性質求得正確答案.【詳解】A選項，，A選項錯誤.B選項，設，則是的中點，則，B選項錯誤.C選項，與的夾角為銳角，與的夾角為鈍角，所以，C選項錯誤.D選項，設正六邊形的中心為，則，所以，D選項正確.故選：D5.已知首項為1的等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列，則公比（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】利用等差中項公式與等比數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為成等差數(shù)列，所以，則，因為，整理得，解得.故選：C.6.在疫情防控期間，某社區(qū)開展了“疫情要防住，文明在行動”核酸檢測志愿服務活動.活動期間，要安排5名志愿者完成，，三項工作.已知每項工作至少有一人參加，每人只能參加一項工作，則不同的安排方式共有（）A.150種 B.120種 C.90種 D.60種【答案】A【解析】【分析】先將5名志愿者分成3組，一是1，1，3，二是1，2，2，再分配到三項工作中即可.【詳解】解；先將5名志愿者分成3組，再分配到三項工作中，故不同的安排方式共有種，故選：A.7.已知雙曲線的右焦點為，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線的兩個交點為．若，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結合圓的垂徑定理及點到直線距離公式求出焦點到準線的距離，求出離心率即可.【詳解】因，，所以三角形為正三角形，所以到直線的距離為，所以，因為，所以，所以，所以.故選：D8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時不等式成立，若，，，則，，的大小關系是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構造函數(shù),利用條件考查的單調性，分析的大小關系，根據(jù)函數(shù)的單調性即可比較大小.【詳解】構造函數(shù)，則由題意可知當時，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以是定義在上的偶函數(shù)，所以在區(qū)間上單調遞增，又，，，因為，，所以，所以，即，正確.故選：.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列結論錯誤的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】A選項可以舉反例來說明，B選項可以作差說明，C選項根據(jù)不等式的性質說明，D選項利用基本不等式取等號的條件進行判斷說明.【詳解】對于A，若，滿足，但不成立，故A錯誤；對于B，若，由作差法：，即，故B錯誤；對于C，若，由不等式的性質可得，故C正確；對于D，根據(jù)基本不等式，，當時取得等號，此方程顯然無解，取等號條件達不到，故D錯誤.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關于點對稱C.的最小值為0D.的圖象關于直線對稱【答案】BC【解析】【分析】先根據(jù)二倍角公式將降次，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質逐一分析每個選項.【詳解】，故的最小正周期為，故A錯誤；當時，，是的對稱中心，故的圖像關于點對稱，B正確；因為，所以的最小值為，故C正確；因為，當時，，不是的對稱軸，故D錯誤.故選：BC11.為隨機事件，已知，，下列結論中正確的是（）A.若互斥事件，則B.若為互斥事件，則C.若相互獨立，則D.若，則相互獨立【答案】ACD【解析】【分析】A選項根據(jù)互斥事件的加法公式進行判斷，B選項根據(jù)類似集合的運算和對立事件進行判斷，C選項結合和獨立事件乘法公式計算，D選項根據(jù)條件概率公式計算.【詳解】A選項，根據(jù)互斥事件的加法公式可得，，A選項正確；B選項，若為互斥事件,故，類似集合的運算：，由，故B選項不正確；C選項，由于是相互獨立事件，故，于是，C選項正確；D選項：，即，于是相互獨立，D選項正確.故選：ACD.12.《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，在《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐；鱉臑指四個面均為直角三角形的四面體.如圖，在塹堵中，，，則下列說法正確的是（）A.四棱錐為陽馬B.三棱錐為鱉臑C.當三棱錐的體積最大時，二面角的余弦值為D.記四棱錐的體積為，三棱錐的體積為，則【答案】ABC【解析】【分析】A.由為直三棱柱，又，得到平面判斷；B.由平面，平面判斷；C.易知為二面角的平面角，再由三棱錐的體積最大時，的面積最大求解判斷；D.由，判斷；【詳解】塹堵為直三棱柱，其中側棱平面，因為平面，所以，又，，平面，所以平面，所以四棱錐為陽馬，故A正確；三棱錐中，平面，平面，則三棱錐的四個面均為直角三角形，所以三棱錐為鱉臑，故B正確；易知平面，平面，平面，，為二面角的平面角，設所求二面角的平面角為，三棱錐的體積最大時，由于高，則的面積最大，而，所以，所以，當且僅當時，取等號，此時可求得，故C正確；，，則，故D錯誤，故選：ABC.第II卷（非選擇題，共90分）注意事項：第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是______.【答案】【解析】【分析】先由導數(shù)的幾何意義求得斜率，再根據(jù)點斜式方程即可求解.【詳解】由題意可知，，又，所以，所以曲線在點處的切線方程，即.故答案為：14.過點，且焦點在軸上的拋物線的標準方程是______.【答案】【解析】分析】利用待定系數(shù)法，設出拋物線方程，把點代入求解即可.【詳解】設方程為，則有，解得，即有.故答案為：.15.已知三棱錐中，平面，，，則三棱錐的外接球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意將三棱錐補成長方體，則長方體的體對角線就是三棱錐外接球的直徑，從而可求出其半徑，進而可求出其表面積.【詳解】如圖所示，三棱錐可補形為一個長方體，則三棱錐的外接球的半徑為，故三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：16.“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的第3個數(shù)6為第3行中兩個3的和.記“楊輝三角”第行的第個數(shù)為，請用組合數(shù)第行寫出______，則______.【答案】①.②.【解析】【分析】①根據(jù)題意，通過觀察分析即可.②當時，則有，結合二項式定理分析可得答案，并驗證，即可.【詳解】①根據(jù)題意分析可得；②由題意知，當時，.當時，，也適合，綜上，.故答案為：①；②.四、解答題（共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）設數(shù)列滿足：，記的前項和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過可知，兩個式子相減化簡后便可得出數(shù)列是一個等比數(shù)列，通過等比數(shù)列通項公式即可求解.（2）將代入后即可求出數(shù)列的通項公式，化簡后會發(fā)現(xiàn)是一個等比數(shù)列與等差數(shù)列相加，通過等比數(shù)列與等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【小問1詳解】解：①，當時，②，①?②得：，即，，數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，.【小問2詳解】，，所以的前項和.18.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，.（1）求的大小；（2）為上一點，從下列條件①、條件②中任選一個作為已知，求線段的最大值.條件①：為的角平分線；條件②：為邊上的中線.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理直接求解即可；（2）若選擇條件①，則先由余弦定理結合基本不等式可得，再由可表示出，再結合基本不等式可求出其最大值；若選擇條件②：（方法一），由余弦定理結合基本不等式可得，由題意可得，兩邊平方化簡，再結合基本不等式可求出其最大值；（方法二），，兩邊平方化簡，由余弦定理得，代入上式化簡再結合基本不等式可求得結果.【小問1詳解】由余弦定理可得：，所以，，又，故.【小問2詳解】選擇條件①：在中，由余弦定理，得，即，故，當且僅當時，等號成立，又因為，所以，所以，所以故的最大值為3.選擇條件②：（方法一）由題，平方得，在中，由余弦定理得，即，所以.當且僅當時，等號成立，故有，從而，故的最大值為3.選擇條件②：（方法二）由題，平方得，在中，由余弦定理得，代入上式得，由得，當且僅當時，等號成立，故有，從而，故的最大值為3.19.民族要復興，鄉(xiāng)村要振興，合作社助力鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興，農(nóng)民專業(yè)合作社已成為新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設的中堅力量，為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出了巨大的貢獻．已知某主要從事手工編織品的農(nóng)民專業(yè)合作社共有100名編織工人，該農(nóng)民專業(yè)合作社為了鼓勵工人，決定對“編織巧手”進行獎勵，為研究“編織巧手”是否與年齡有關，現(xiàn)從所有編織工人中抽取40周歲以上（含40周歲）的工人24名，40周歲以下的工人16名，得到的數(shù)據(jù)如表所示．“編織巧手”非“編織巧手”總計年齡40歲19年齡＜40歲10總計40（1）請完成答題卡上的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“編織巧手”與“年齡”是否有關；（2）為進一步提高編織效率，培養(yǎng)更多的“編織巧手”，該農(nóng)民專業(yè)合作社決定從上表中的非“編織巧手”的工人中采用分層抽樣的方法抽取6人參加技能培訓，再從這6人中隨機抽取2人分享心得，求這2人中恰有1人的年齡在40周歲以下的概率．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）填表見解析；認為“編織巧手”與“年齡”有關，此推斷犯錯的概率不大于0.010（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意補全列聯(lián)表，計算，并與臨界值對比分析；（2）先根據(jù)分層抽樣求各層的人數(shù)，結合古典概型分析運算.【小問1詳解】年齡在40周歲以上（含40周歲）的非“編織巧手”有5人，年齡在40周歲以下的“編織巧手”有6人．列聯(lián)表如下：“編織巧手”非“編織巧手”總計年齡40歲19524年齡<40歲61016總計251540零假設為：“編織巧手”與“年齡”無關聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為“編織巧手”與“年齡”有關，此推斷犯錯的概率不大于0.010．【小問2詳解】由題意可得這6人中年齡在40周歲以上（含40周歲）的人數(shù)是2；年齡在40周歲以下的人數(shù)是4．從這6人中隨機抽取2人的情況有種，其中符合條件的情況有種，故所求概率．20.如圖，四棱錐中，底面ABCD為等腰梯形，，，且平面平面ABCD，.（1）求證：；（2）與平面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質證明線線平行，先證平面即可.（2）用向量法求二面角.【小問1詳解】證明：取AB的中點，連接，則由題意知為正三角形，所以，由等腰梯形知，設，則，，故，即得，所以，因為平面平面，，平面平面，平面PAD，所以平面，又平面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以.【小問2詳解】由（1）得，，兩兩垂直，則以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，因為平面，所以平面所成的角為，設，則，，則，，，，則，，，設平面PAB的法向量為，則，即，取，則，設平面PBC的法向量為，則，即，取，則，所以，所以二面角的余弦值為.21.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，點A為橢圓C的右頂點，直線l與橢圓相交于不同于點A的兩個點，.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若以P，Q為直徑的圓恒過點A，求證：直線l恒過定點，并求出定點坐標.【