概率論獨(dú)家課件第三章

課程：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教師：沈其驊郵箱：辦公室：2號(hào)樓306室辦公室電話：67705091百度云網(wǎng)盤：密碼：math0310一、邊緣分布函數(shù)二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布

四、小結(jié)第二節(jié)

邊緣分布要點(diǎn)回顧1.

一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型

F

(

x)

=

P{

X

￡

x}

=

pk-￥xk

￡

xxf

(t

)

d

t連續(xù)型

F

(

x)

=

P{

X

￡

x}

=

且若f

(x)在點(diǎn)x

處連續(xù),則有F

(x)=f

(x).2.

二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)F

(

x,

y)

=

P{

X

￡

x,Y

￡

y}.離散型

F

(

x,

y)

=

pij

.xi

￡xy

j

￡

yf

(u,

v)

du

d

v.y

x-￥ -￥連續(xù)型

F

(

x,

y)

=

一、邊緣分布函數(shù)(X,Y)

聯(lián)合分布F(X,Y)整體地看二維聯(lián)合分布F(X,Y)全面地反映了二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.但作為一維隨機(jī)變量,

X,Y

也有自己的分布函數(shù).局部地看YF

(y)FX

(x)XY分別稱為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)轉(zhuǎn)化為一維時(shí)的情形F

(

x,

y)

=

P{

X

￡

x,Y

￡

y}

,

F

(

x)

=

P{

X

￡

x},問題:已知(X

,Y

)的分布,如何確定X

,Y

的分布?P{

X

￡

x}

=

P{

X

￡

x,Y

<

￥

}

=

F

(

x,

￥

)

=

FX

(

x)(X

,Y

)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù).由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布定義

設(shè)

F

(

x,

y)

為隨機(jī)變量

(

X

,Y

)

的分布函數(shù)

,則

F

(

x,

y)

=

P{

X

￡

x,Y

￡

y}

.令

y

fi

￥

,

稱

P{

X

￡

x}

=

P{

X

￡

x,Y

<

￥

}

=

F

(

x,

￥

)為隨機(jī)變量(X

,Y

)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù).記為

FX

(

x)

=

F

(

x,￥

).同理令

x

fi

￥

,FY

(

y)

=

F

(￥

,

y)

=

P{

X

<

￥

,Y

￡

y}

=

P{Y

￡

y}為隨機(jī)變量(X,Y

)關(guān)于Y

的邊緣分布函數(shù).例1：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

3

2

F

(x，

y)=

A

B

+

arctan

x

C

+

arctan

y

(-

￥

<

x

<

+￥

，

-

￥

<

y

<

+￥

)(2)X和Y的邊緣分布函數(shù)。

p

p

A

B

+

C

+

2

21

=試求(1)常數(shù)A,B,C;解:(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)有,F(+∞,+∞)=1;F(x,-∞)=0;F(-∞,y)=0;2

2

p

x

A

B

+

arctan

C

-

0

=2

3

p

y

A

C

+

arctan

B

-

0

=p2,C

=p2,

B

=1p

2

A

=

32

222F

(

x,

y)

=

1

p

+

arctan

x

p

+

arctan

y

p(-

￥

<

x

<

+￥

，

-

￥

<

y

<

+￥

)(2)

X的邊緣分布函數(shù)FX(x)=F(x,+∞)3

22

=

lim

1

p

+

arctan

x

p

+

arctan

y

yfi

+￥

p2

2x

?

(-

￥

,+￥

)2

=

1

p

+

arctan

x

p

2同理,Y的邊緣分布函數(shù)FY(y)=F(+∞,y)3

22

=

lim

1

p

+

arctan

x

p

+

arctan

y

xfi

+￥

p2

2y

?

(-

￥

,+￥

)

3

=

1

p

+

arctan

y

p

2二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律xi

￡x

j

=1￥定義設(shè)二維離散型隨機(jī)變量

(

X,Y

)的聯(lián)合分布律為

P{

X

=

xi

,Y

=

y

j

}

=

pij

,

i,

j

=

1,2,

.由于FX

(x)=F

(x,￥

)=

pij

,i

=

1,2,

,￥記

pi

?

=

pij

=

P{

X

=

xi

},j

=1稱pi

?(i

=1,2,)為(X,Y

)關(guān)于X

的邊緣分布律.于是FX

(x)=

pi

?xi

￡x同理可得￥FY

(

y)

=

F

(￥

,

y)

=

pijy

j

￡

y

i

=1￥j

=

1,2,,記

p?j

=

pij

=

P{Y

=

y

j},i

=1稱

p?j

(

j

=

1,2,)

為(

X,Y

)關(guān)于Y

的邊緣分布律

.于是FY

(y)=

p?jy

j

￡

y￥j

=1P

{

X

=

xi

}

=

pij

,

i

=

1,2,

;￥P{Y

=

y

j

}

=

pij

,

j

=

1,2,.i

=1XYx

1x

2x

iy1p

11p

12p

21p

22p

i

1y2p

i

2y

jp

1

jp

2

jp

ij例2

已知下列分布律求其邊緣分布律.Y

X0101212424211242642XY042124212124242610pi?

=

P{

X

=

xi

}j1

p

=

P{Y

=

y

}?j解++++477314737均不可能，因而相應(yīng)的概率均為0再由古典概率計(jì)算得：例3

把兩封信隨機(jī)地投入已經(jīng)編好號(hào)的3個(gè)郵筒內(nèi),設(shè)X

,Y分別表示投入第1,2個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目,求(X

,Y

)的分布律及邊緣分布率。解：X

,Y各自的取值為0,1,2由題設(shè)，(X

,Y

)取(1,2),(2,1),(2,2)32

329

9P{X

=

0,Y

=

0}

=

1

=

1

P{X

=

0,Y

=1}

=

2

=

232P{X

=

0,Y

=

2}

=

1

=

1329

9P{X

=1,Y

=1}

=

2

=

2P{X

=1,Y

=0},P{X

=2,Y

=0}可由對(duì)稱性求得所有計(jì)算結(jié)果列表如下：(X,Y

)關(guān)于Y的邊緣分布律(X,Y

)關(guān)于X的邊緣分布律X

和Y的邊緣分布律可由(X

,Y

)的分布律確定例4將２只紅球和２只白球隨機(jī)地投入已經(jīng)編好號(hào)的3個(gè)盒子中去,設(shè)X表示落入第1個(gè)盒子內(nèi)紅球的數(shù)目，

Y表示落入第2個(gè)盒子內(nèi)白球的數(shù)目,求(X

,Y

)的分布律及邊緣分布律。34解：不妨分別把2只紅球和2只白球看作是有差別的（例如編號(hào)），由古典概型計(jì)算得

2

2

2

2

1

1

16P{X

=1,Y

=1}

=

=81123類似地計(jì)算出下表內(nèi)的其它結(jié)果：比較一下例1的表和例2的表，立即可以發(fā)現(xiàn)，兩者有完全相同的邊緣分布，而聯(lián)合分布卻是不相同的。由此可知，由邊緣分布并不能唯一地確定聯(lián)合分布。聯(lián)合分布 邊緣分布稱其為隨機(jī)變量(X

,Y

)關(guān)于X

的邊緣概率密度.f

(

x,

y)d

y,f

(

x,

y)d

y]d

x,[定義

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量

(

X

,Y

),

設(shè)它的概率密度為

f

(

x,

y),

由于X記

f

(

x)

=XF

(

x)

=

F

(

x,￥

)

=x

￥￥-￥-￥ -￥三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布同理可得Y

的邊緣分布函數(shù)f

(

x,

y)d

x.f

(

y)

=+￥-￥YY

的邊緣概率密度.f

(

x,

y)d

x

d

y,FY

(

y)

=

F

(￥

,

y)

=-￥-￥y

+￥例5：區(qū)域D是由拋物線y=x2及直線y=x所圍，隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布。試求隨機(jī)變量x21

x01613

2

1A

=

dx

dy

=

10x

3

x

2

-=于是隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)f

(x，

y)=ˇ

D06

(x，

y)?

D(x，

y)隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布y

=

xy

=

x2Ox(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)和X,Y的邊緣密度函數(shù).y解:

(1)

區(qū)域D的面積(1,1)Df(

x,

y

)d

yXf

(

x

)

=+￥-￥Xf

(

x

,

y

)

d

y當(dāng)0

￡

x

￡

1

時(shí),+￥-￥f

(

x

)

==xx6

d

y2(2)隨機(jī)變量X的邊緣密度函數(shù)為(x，

y)?

D(x，

y)ˇ

D0f

(x，

y)=

6y

=

xy

=

x2Oxy(1,1)=

6(

x

-

x

2

).當(dāng)x

<0

或x

>1時(shí),f

(

x,

y

)

d

y

=

0.f

(

x

)

=+￥-￥X6(

x

-

x2

),因而得

f

X

(

x)

=

0

￡

x

￡

1,其他.0,y

=

xy

=

x2Oxy(1,1)當(dāng)0

￡

y

￡

1

時(shí),Yf

(

y

)

=+￥f

(

x

,

y

)

d

x-￥+￥-￥f

(

y)

=Y6(得fY

(y)=y

-y), 0

￡

y

￡

1,0,

其他.yy=

6

d

x=

6(

y

-

y

).當(dāng)y

<0

或y>1時(shí),y

=

xy

=

x2Of

(

x,

y

)d

x

=

0.xy

(1,1)(f x，

y

=

0)

6

(x，

y)?

D(x，

y)ˇ

D雖然(X

,Y

)的聯(lián)合分布是在G上服從均勻分布,但是它們的邊緣分布卻不是均勻分布。雖然(X

,Y

)的聯(lián)合分布是在G上服從均勻分布,但是它們的邊緣分布卻不是均勻分布。例6：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為xyy

=

x(

)0cxe

0

<

x

<

y

<

+￥

,其它.f

x,

y

=

-

y試求:

(1)常數(shù)c

; (2)X與Y的邊緣密度函數(shù).解:(1)由密度函數(shù)的性質(zhì),得

-

y1

=00+￥

ycxe

dxdy02yy2e-cdy

=

c+￥=所以,c

=1.xyy

=

x(2)

當(dāng)

x

>0

時(shí)，0xe

0

<

x

<

y

<

+￥

,其它.f

(x