中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)課件-培優(yōu)6-幾何變換問題

專題六幾何變換問題幾何變換可以分為以下幾類:1.平移:保持點(diǎn)沿同一方向移動(dòng)相同的距離,且保持線段平行的變

換.平移的性質(zhì)有保持角度不變,保持幾何圖形全等.2.軸對(duì)稱:將圖形沿直線翻折.軸對(duì)稱的性質(zhì)有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)

稱軸垂直平分,對(duì)應(yīng)線段所在直線的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上,保持幾何圖

形全等.3.旋轉(zhuǎn):將平面圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角,保持幾何

圖形全等.4.位似:將圖形關(guān)于一個(gè)點(diǎn)作放大或縮小變換.專題概述一旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):1對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。2旋轉(zhuǎn)角都相等。

3圖形全等.

二【旋轉(zhuǎn)問題備考策略】1利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

2運(yùn)用全等、相似、直角三角形的性質(zhì)、及方程思想等知識(shí).知識(shí)點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)

例1

將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí).求證:FD=CD;(2)當(dāng)α為何值時(shí),GC=GB?畫出圖形,并說(shuō)明理由.知識(shí)點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)解析(1)證明:設(shè)EF與AD交于點(diǎn)O,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°,EF=BC=AD,

∴∠AEB=∠ABE.又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF,∴∠EDA=∠DEF,∴DO=EO.又∵∠DOF=∠EOA,∠FDO=∠AEO=90°∴△DOF≌△EOA(ASA),∴FD=AE.又∵AE=AB=CD,∴CD=FD.(2)當(dāng)GB=GC時(shí),點(diǎn)G在BC的垂直平分線上.理由如下:分兩種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)G在AD右側(cè)時(shí),取BC的中點(diǎn)H,連接GH交AD于點(diǎn)M,連接

GD,GB,GC,∵GC=GB,H為BC中點(diǎn),∴GH⊥BC.∴四邊形ABHM是矩形,∴AM=BH=

AD=

AG,∴GM垂直平分AD,∴GD=GA=DA,∴△ADG是等邊三角形,∴∠DAG=60°,∴旋轉(zhuǎn)角α=60°;

②當(dāng)點(diǎn)G在AD左側(cè)時(shí),同理可得△ADG是等邊三角形,∴∠DAG=60°,∴旋轉(zhuǎn)角α=360°-60°=300°.如圖①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE.將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α.(1)問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)α＝0°時(shí)，＝________；

②當(dāng)α＝180°時(shí)，＝________．(2)拓展研究試判斷：當(dāng)0°≤α<360°時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖②的情況給出證明．旋轉(zhuǎn)練習(xí)1

解：(1)①

/2

②/2(2)無(wú)變化．證明：在題圖①中，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB.∴＝，∠EDC＝∠B＝90°.在題圖②中，∵△EDC在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形狀、大小不變，∴＝仍然成立．

又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△CEA∽△CDB.∴＝.在Rt△ABC中，AC＝4，∴=/2=即的大小不變．（3）BD=4或12/51．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)，連接PM、PN.(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是

，位置關(guān)系是

；(2)探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；圖1圖2旋轉(zhuǎn)練習(xí)2

★以一般等腰三角形為背景的旋轉(zhuǎn)問題練習(xí)3:(1)如圖①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，將AP繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP=∠BAC，連接BQ、CP，求證：BQ=CP.(2)將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC之外，(1)中的條件不變，“BQ=CP”還成立嗎？圖①圖②如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，且BG=PD,求證：△AGP是等邊三角形（圖△CEF無(wú)用）旋轉(zhuǎn)練習(xí)4

如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，且BG=PD,CF=PA求證：△PEF是等邊三角形.旋轉(zhuǎn)變式1

旋轉(zhuǎn)變式2

課后精練圖1圖2課后精練課后精練一折疊的性質(zhì):1折疊前后的兩部分圖形全等,即對(duì)應(yīng)邊、角、線段、周長(zhǎng)、面積等均相等;2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分.3找出折疊前后圖形中相等的線段，角。.二【折疊問題備考策略】1利用折疊的性質(zhì)

2運(yùn)用全等、相似、直角三角形的性質(zhì)、及方程思想等知識(shí).知識(shí)點(diǎn)2軸對(duì)稱如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的某一點(diǎn)D處，折痕為EF(點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上)．(1)若△CEF與△ABC相似．①當(dāng)AC＝BC＝2時(shí)，AD的長(zhǎng)為________．②當(dāng)AC＝3，BC＝4時(shí)，AD的長(zhǎng)為__________．(2)當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CEF與△ABC相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．軸對(duì)稱例1

例2

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2

,AC=2,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),沿DE所在直線把△BDE翻折到△B'DE的位置,B'D交AB于點(diǎn)F.若△AB'F為直角三角形,則AE的長(zhǎng)為

3或2.8

.

知識(shí)點(diǎn)2軸對(duì)稱解析易知∠B'AF不可能為直角.當(dāng)∠B'FA是直角時(shí),如圖1,

圖1∵∠C是直角,∠B=∠B,∴△BCA∽△BFD,∴

=

.又∵BC=2

,且易知BD=

,AB=4,∴BF=

×2=

.由翻折的性質(zhì)可知△DBE≌△DB'E,∴BE=B'E,∠B=∠EB'F=30°,∴BE=EB'=2EF,∴BE=

BF=1,∴AE=4-1=3.當(dāng)∠FB'A是直角時(shí),如圖2,

圖1連接B'C,AD,BB',由翻折的性質(zhì)可知△DBE≌△DB'E,∴B'D=BD=

BC=CD,∴∠BB'C=90°.∵∠FB'A=∠ACD=90°,∴Rt△ACD≌Rt△AB'D,∴AC=AB',又易證∠DB'B=∠CB'A,∴△DB'B∽△AB'C,

∴

=

=

,又

=

,故可證△BB'C∽△DCA,∴∠B'BC=∠CDA,∴AD∥BB',延長(zhǎng)DE交BB'于M,可得

=

=

(*),易知DM垂直平分BB',∴BM=

BB'.在Rt△BB'C中,由BB'2+B'C2=BC2=12,

=

,可求得BB'=

,∴BM=

.在Rt△DCA中,DA=

=

,將BM=

,AD=

代入(*)可得AE=2.8.綜上,AE=3或2.8.1、將正方形紙片ABCD沿MN折疊，使點(diǎn)D落在邊AB上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′,點(diǎn)C落在C′處，若AB=6,AD′=2,則折痕MN=?基礎(chǔ)演練ABCDD′C′MNG軸對(duì)稱練習(xí)1

1、將正方形紙片ABCD沿MN折疊，使點(diǎn)D落在邊AB上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′,點(diǎn)C落在C′處，若AB=6,AD′=2,則折痕MN=?基礎(chǔ)演練ABCDD′C′MNG┐┐123折疊矩形紙片ABCD時(shí),發(fā)現(xiàn)可以進(jìn)行如下操作:①把△ADE翻折,點(diǎn)A落在DC邊上的F處,折痕為DE,點(diǎn)E在AB邊上②把紙片展開并鋪平;③把△CDG翻折,點(diǎn)C落在線段AE上的點(diǎn)H處,折痕為DG,點(diǎn)G在BC邊上.若AB=AD+2,EH=1,則

AD=

.軸對(duì)稱練習(xí)2

解析設(shè)AD=x(x>0),則AB=x+2,∵把△ADE翻折,點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)F處,∴DF=AD,EA=EF,又∠DFE=∠A=90°,∴四邊形AEFD為正方形,∴AE=AD=x.∵把△CDG翻折,點(diǎn)C落在線段AE上的點(diǎn)H處,折痕為DG,點(diǎn)G在

BC邊上,∴DH=DC=x+2.∵HE=1,∴AH=AE-HE=x-1.在Rt△ADH中,∵AD2+AH2=DH2,∴x2+(x-1)2=(x+2)2,整理得x2-6x-3=0,解得x1=3+2

,x2=3-2

(舍去),∴AD=3+2

.3、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為為16,點(diǎn)E在邊AB上,AE=3.點(diǎn)F是邊BC上不與B,C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把△EBF沿EF折疊,點(diǎn)B落在B′處,若△CDB’恰為等腰三角形,則DB′的長(zhǎng)為？BACDEB’FABCDEFB′ABCDEFB′GM知識(shí)拓展正方形ABCD的邊長(zhǎng)為為16,點(diǎn)E在邊AB上,AE=3.點(diǎn)F是邊BC上不與B,C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把△EBF沿EF折疊,點(diǎn)B落在B′處,若△CDB’恰為等腰三角形,則DB′的長(zhǎng)為？BACDEB’FABCDEFB′ABCDEFB′┐M┐N知識(shí)拓展5131248DB′=DCDB′=CB′CB′=CD例3

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+3過(guò)點(diǎn)A(5,m)且與y軸交于點(diǎn)B,把點(diǎn)A向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,得到點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)C且與y=2x平行的直線交y軸于點(diǎn)D.(1)求直線CD的解析式;(2)直線AB與CD交于點(diǎn)E,將直線CD沿EB方向平移,平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)

B的位置結(jié)束,求直線CD在平移過(guò)程中與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取

值范圍.知識(shí)點(diǎn)3平移解析(1)∵直線y=-x+3過(guò)點(diǎn)A(5,m),∴-5+3=m,解得m=-2,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,-2).由平移可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,2).∵直線CD與直線y=2x平行,∴設(shè)直線CD的解析式為y=2x+b.∵點(diǎn)C(3,2)在直線CD上,∴2×3+b=2.解得b=-4,∴直線CD的解析式為y=2x-4.(2)直線CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,此時(shí)直線的解析式為y=2x-4.令y=0,得x=2.∵直線y=-x+3與y軸交于點(diǎn)B,∴B(0,3).當(dāng)直線CD平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,3)的位置時(shí),設(shè)此時(shí)直線的解析式為y=2x+m,把(0,3)代入y=2x+m,得m=3,∴此時(shí)直線的解析式為y=2x+3.令y=0,得x=-

,

∴直線CD在平移過(guò)程中與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為-?≤x≤2.

與相似或位似有關(guān)的綜合變換問題的難點(diǎn)是確定相似三角

形,解題時(shí)要充分挖掘已知條件,尋找相等的角.另外,解答以原點(diǎn)

為位似中心的變換問題時(shí),千萬(wàn)不要忘記分類討論.知識(shí)點(diǎn)4相似和位似圖形中的圖形變換問題例4

(2018菏澤)如圖,△OAB與△OCD是以原點(diǎn)O為位似中心的

位似圖形,相似比為3∶4,∠OCD=90°,∠AOB=60°,若點(diǎn)B的坐標(biāo)

是(6,0),則點(diǎn)C的坐標(biāo)是

(2,

)

.

知識(shí)點(diǎn)4位似圖形解析如圖,分別過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB,CF⊥OB,交OD于點(diǎn)E,F.∵∠OCD=90°,∠AOB=60°,又△OAB與△OCD是以原點(diǎn)O為位似

中心的位似圖形,∴∠ABO=∠CDO=30°,∠OCF=30°.∵相似比為34,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6,0),∴D(8,0),則DO=8,故OC=4,則FO=2,CF=CO·cos30°=4×

=2

,故點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,2

).故答案為(2,2

).3.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(m,n)是線段AB上一點(diǎn),以

原點(diǎn)O為位似中心把△AOB放大到原來(lái)的2倍,得到△A‘OB’,則點(diǎn)

P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

(B)A.(2m,2n)B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.

D.

或

11.(2018四川成都)如圖,在菱形ABCD中,tanA=

,點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC上,將四邊形AMNB沿MN所在直線翻折,使AB的對(duì)應(yīng)線段

EF經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)D,當(dāng)EF⊥AD時(shí),

的值為

.

解析延長(zhǎng)NF與DC交于點(diǎn)H,∵∠ADF=90°,∴∠A+∠FDH=90°.∵∠DFN+∠DFH=180°,∠A+∠B=180°,∠B=∠DFN,∴∠A=∠DFH,∴∠FDH+∠DFH=90°,∴NH⊥DC.在Rt△EDM中,tanE=tanA=

,設(shè)DM=4k(k>0),則DE=3k,EM=5k,∴AD=9k=DC,DF=6k.14.(2018天津)在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形AOBC是矩形,點(diǎn)O(0,

0),點(diǎn)A(5,0),點(diǎn)B(0,3),以點(diǎn)A為中心,順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得

到矩形ADEF,點(diǎn)O,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D,E,F.(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí),AD與BC交于點(diǎn)H.①求證:△ADB≌△AOB;②求點(diǎn)H的坐標(biāo);(3)記K為矩形AOBC對(duì)角線的交點(diǎn),S為△KDE的面積,求S的取值

范圍(直接寫出結(jié)果即可).

圖①

圖②解析(1)∵點(diǎn)A(5,0),點(diǎn)B(0,3),∴OA=5,OB=3.∵四邊形AOBC是矩形,∴AC=OB=3,BC=OA=5,∠OBC=∠C=90°.∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到的,∴AD=AO=5.在Rt△ADC中,有AD2=AC2+DC2,∴DC=

=

=4,∴BD=BC-DC=1,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,3).(2)①證明:由四邊形ADEF是矩形,得∠ADE=90°.又點(diǎn)D在線段BE上,得∠ADB=90°.由(1)知,AD=AO,又AB=AB,∠AOB=90°,∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL).②由Rt△ADB≌Rt△AOB,得∠BAD=∠BAO.又∵在矩形AOBC中,OA∥BC,∴∠CBA=∠BAO,∴∠BAD=∠CBA,∴BH=AH.設(shè)BH=t(0<t<5),則AH=t,HC=BC-BH=5-t.在Rt△ACH中,有AH2=AC2+HC2,∴t2=32+(5-t)2,解得t=

,∴BH=

,∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為

.(3)

≤S≤

.15.(2018湖北武漢)已知點(diǎn)A(a,m)在雙曲線y=

上且m<0,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,垂足為B.(1)如圖1,當(dāng)a=-2時(shí),P(t,0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn),將點(diǎn)B繞點(diǎn)P順時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)C.①若t=1,直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo);②若雙曲線y=

經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,求t的值;(2)如圖2,將圖1中的雙曲線y=

(x>0)沿y軸折疊得到雙曲線y=-

(x<0),將線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),點(diǎn)A剛好落在雙曲線y=-

(x<0)上的點(diǎn)D(d,n)處,求m和n的數(shù)量關(guān)系.

解析(1)①C(1,3).②依題意,得點(diǎn)C的坐標(biāo)是(t,t+2).∵雙曲線y=

經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,∴t(t+2)=8,解得t=2或-4.(2)∵點(diǎn)A,D分別在雙曲線y=

和y=-

上,∴m=

,n=-

,即a=

,d=-

.∵OA=OD,∴a2+m2=d2+n2,∴

+m2=

+n2,∴(m-n)(m+n)(mn+8)(mn-8)=0.∵m<0,n>0,∴m-n<0,mn-8<0,∴m+n=0或mn=-8,∴m和n的數(shù)量關(guān)系是m+n=0或mn=-8.16.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=

,AC=2,過(guò)點(diǎn)B作直線m∥AC,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C(點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A',B'),射線CA',CB'分別交直線m于點(diǎn)P,Q.(1)如圖1,當(dāng)P與A'重合時(shí),求∠ACA'的度數(shù);(2)如圖2,設(shè)A'B'與BC的交點(diǎn)為M,當(dāng)M為A'B'的中點(diǎn)時(shí),求線段PQ

的長(zhǎng);(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)P,Q分別在CA',CB'的延長(zhǎng)線上時(shí),試探究四

邊形PA'B'Q的面積是否存在最小值.若存在,求出四邊形PA'B'Q的

最小面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=A'C=2.∵∠ACB=90°,AB=

,AC=2,∴BC=

=

.∵∠ACB=90°,m∥AC