大二上答案線性代數(shù)代課件

1.2

矩陣的運算一、矩陣的加法二、數(shù)乘矩陣三、矩陣與矩陣相乘四、矩陣的轉置運算五、小結、思考題１、定義mn mn

a

+

b

a

+

b

a

+

bm

2m

2m1m

1a2

n

+

b2

n

A

+

B

=

a21

+

b21a1n

+

b1na12

+

b12a22

+

b22

a11

+

b11一、矩陣的加法,那末矩陣,

B

=

bij設有兩個m

·

n矩陣A

=aijA

與B

的和記作A

+B，規(guī)定為說明

只有當兩個矩陣是同維矩陣時，才能進行加法運算.例如

148

3

30

+

6

1

-

9

56

212

3

-

5

1

8

98

+

1

3

+

3

3

+

8

-

5

+

9=

1

+

6

-

9

+

56

+

212

+

194.

613

11

40

+

4

=

7

-

482、矩陣加法的運算規(guī)律1)A

+

B

=

B

+

A;2)

A

+

B)+

C

=

A

+

B

+

C

).mn

-

a

-

a

-

am1

m

1-

a1n

-

a12-

a22

-

a11(3)-

A

=

-

a21ij-

a2

n

=

-

a

,稱為矩陣A的負矩陣.4)A

+

-

A)=

O,

A

-

B

=

A

+

-

B).mn

m1m1la2n

.

la11lA

=

Al

=

la21

la12

la1n

la22

la

la

la二、數(shù)與矩陣相乘1、定義數(shù)l與矩陣A的乘積記作lA或Al,規(guī)定為2、數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律（設A、B為m

·

n

矩陣，l

,m為數(shù)）lm

)A

=

l

mA);l

+

m

)A

=

lA

+

mA;l

A

+

B)=

lA

+

lB.矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.三、矩陣與矩陣相乘引例某IT集團公司向兩家代理商發(fā)送三種電腦的數(shù)量（單位：套）如下表所示：商品名代理商WorkPadTablet

PCNC甲a11a12a13乙a21a22a23表格中的數(shù)據(jù)對應矩陣：21

22 23

a

aaa12

a13

A

=

a11這三種電腦的單價及單件重量也可以列成矩陣：b31bb12

21 22

b32

b11B

=

b其中，bi1表示第i種電腦的單價，bi

2表示第i種電腦的單件重量(i

=1,2,3).試問：該IT公司向代理商乙所發(fā)送電腦的總重量是多少？1311

12a21

a22

a23

a

a

aA

=

3231b

bb12

b11B

=

b

b

21

22顯然，由A、B的意義即可知a21b12

+a22b22

+a23b32即為所求.于是，可得該公司向兩家代理商所發(fā)送電腦的總價值與總重量矩陣：21

11

22

21

23

31

21

12

22

22

23 32

a

b

+

a

b

+

a

ba

b

+

a

b

+

a

bC

=

a11b11

+

a12b21

+

a13b31

a11b12

+

a12b22

+

a13b32

我們可以認為矩陣C是矩陣A、B的“乘積”.于是，有１、矩陣乘積的定義scij

=

ai

1b1

j

+

ai

2

b2

j

+

+

aisbsj

=

aik

bkjk

=1i

=

1,2,m;

j

=

1,2,,

n),并把此乘積記作C

=

AB.設A

=aij是一個m

·

s

矩陣，B

=

bij

是一個s

·

n

矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個m

·

n

矩陣

C

=

cij

，其中2·22·2

-

2

4

2

4

C

=

1

-

2

-

3

-

616

2

·

2設4

0

1

0

-

1

2A

=

-

1

1

3

05

-

1

3

0

3

4

1

2

1

1

-

1

-

1

2

1

B

=

例2-

16

-

32=

8

?

(-2)

·

2

+

4

·(-3)

=例１求AB.故1

-

1-

1

33

4

1

2

1

124

0

5

-

101

3

1

0

-

1

2

0C

=

AB

=

-

1解4·3,

A

=

aij

3·4

,

B

=

bij\

C

=

cij

3·3

.-

567

=

10

2

-

6.-

2

17

10注意

只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.9

5

1

6

83

2 1

8

6

0

1

1

2

3例如

1

3

(1

2

3)

2

=

1·

3

+

2

·

2

+

3

·1)

=

10).不存在.

而２、矩陣乘法的運算規(guī)律B

+

C

)A

=

BA

+

CA;（其中l(wèi)

為數(shù)）;AB)C

=

A BC

);A B

+

C

)=

AB

+

AC

,l

AB

)=

lA)B

=

A

lB4)AI

=

IA

=

A;5若A是n

階矩陣，則Ak為A的k

次冪，即Ak=A

A

A

并且Am

Ak=

Am

+k

,(Am

)k

=

Amk

.k個m,k為正整數(shù))運算可行前提下注意

矩陣一般不滿足交換律，即：AB?

BA,

(AB)k

?

Ak

Bk

.例

設1

-

1A

=

1

B

=

1

-

1

-

1

-

1

1

則0,2

,AB

=

0

BA

=

2

0

0

-

2

-

2故

AB

?

BA.但也有例外，比如設0,A

=

2

0

2-

1,B

=

1

-

1

1

則有

,AB

=

2

-

2-22

BA

=

2

-

2-

221

1AB

=

1

-

1

-

1

-

1

1

AB

=

BA.同理，由-

1

0

0

=

0

0即可知，AB

=O

一般推不出A

=O或B

=O.注意

矩陣一般不滿足消去律，亦即：AX

=AY

一般推不出X

=Y

.例3

計算下列乘積：(1)

)

3

2

1

2

(

2

2解

(1)

2(1

2)=

32

·12

·

2

2

·13

·13

·

2

3

6

4.

2

42

·

2

=

2例4

：A93

,

求1 1

2

3

-

3已知A

=-21解

3

1 1

2

-

3

3

-

2

11

12

-

3=

-

21

3

3

8A9233

.2

1

3-1

-

3

-32=

-

2

-1

-

1 1

2 3

-

3

3

=

-

2·18

·1定義

把矩陣A

的行換成同序數(shù)的列得到的例,

1

2

2

4

5

8A

=

2

8

1

4T

A

=

2

5;B

=

18,

6),18

6

TB

=

.１、轉置矩陣四、矩陣的轉置運算新矩陣，叫做A的轉置矩陣，記作AT

.即:若A=(aij)

則AT=(aji)轉置矩陣的運算性質(1)(AT

)T

=

A;=

AT

+

BT

;(2)(A

+

B)T(3)(lA)T

=

lAT

;(4)(AB)T=

BT

AT

.例5

已知1

2

0

-

1,1

3

1

7

-

1

B

=

4

2

3

,2

0A

=

2求(AB)T

.解法11

2

1

7

-

1

0

-

1

4

2

31

3

2

0

AB

=

2,

0

14

-

317

13 10=

(

)

0

17-3

10

=

14

13.T\

AB解法2(AB)T=

BT

AT21

-

12

2 1

4

=

7

2

0

0

-

1

3

113.

0

17-3

103

=

141

2

1

7

-

1

0

-

1,1

3

B

=

4

2

3

,2

0A

=

22、對稱陣與反對稱陣定義

設

A

為

n

階方陣，如果滿足A

=

AT，即aij=

a

ji

i

,

j

=

1,2,

,n那末A

稱為對稱陣.

6

112

6

1

例如

A

=

6

8

0

為對稱陣.0說明對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等。如果

AT

=

-

A

,則矩陣A稱為反對稱矩陣.即滿足

aij

=

-a

ji

.

顯然，反對稱矩陣中，

aii

=

0.與反對稱陣之和.例6

證明任一

n

階矩陣

A

都可表示成對稱陣證明設C

=A

+AT=

AT

-

A

=

-B,則CT

=

(A

+

AT

)T

=

AT

+

A

=

C

,所以C為對稱矩陣.設B

=

A

-

AT

,

則BT

=

(A

-

AT

)T所以B為反對稱矩陣.于是2

2+A

+

AT

A

-

ATA

==

C

+

B

,2

2命題得證.例7

設列矩陣滿足T1

2

nX

=

(x

,

x

,,