線性二次型最優(yōu)控制

線性二次型最優(yōu)控制第1頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月線性二次型最優(yōu)控制(2/12)對于線性系統(tǒng),若取狀態(tài)變量x(t)和控制變量u(t)的二次型函數(shù)的積分作為性能指標泛函,這種動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題稱為線性系統(tǒng)的最優(yōu)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題,簡稱為線性二次型問題。該類問題的優(yōu)點是能得到最優(yōu)控制解u*(t)的統(tǒng)一解析表達形式和一個簡單的且易于工程實現(xiàn)的最優(yōu)狀態(tài)反饋律。因此,線性二次型問題對于從事自動控制研究的理論工作者和工程技術(shù)人員都具有很大吸引力。近40年來,人們對各種最優(yōu)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)以及設(shè)計方法進行了多方面的研究,并且有許多成功的應(yīng)用。第2頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月線性二次型最優(yōu)控制(3/12)線性二次型問題是最優(yōu)控制理論中發(fā)展最為成熟、最有系統(tǒng)性、應(yīng)用最為廣泛和深入的分支。本節(jié)將陸續(xù)介紹線性二次型問題及其解的存在性、唯一性和最優(yōu)控制解的充分必要條件。線性系統(tǒng)的二次型性能指標的最優(yōu)控制問題可表述如下。第3頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月線性二次型最優(yōu)控制(4/12)線性二次型最優(yōu)控制問題設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出量測方程為式中,x(t)是n維狀態(tài)向量,u(t)是r維控制向量,y(t)是m維輸出向量。A(t)、B(t)和C(t)分別是n×n、n×r和m×n維的分段連續(xù)的時變矩陣。假定系統(tǒng)的維數(shù)滿足0<mrn,且u(t)不受約束。用z(t)表示預(yù)期的輸出,它為m維向量,則定義輸出誤差向量如下e(t)=z(t)-y(t)第4頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月線性二次型最優(yōu)控制(5/12)控制的目標是尋找最優(yōu)控制函數(shù)u*(t),使下列二次型性能指標泛函為最小式中,F為m×m維非負定的常數(shù)矩陣;Q(t)為m×m維時變的分段連續(xù)的非負定矩陣;R(t)為r×r維時變的分段連續(xù)的正定矩陣,且其逆矩陣存在并有界;末態(tài)時刻tf是固定的。第5頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月線性二次型最優(yōu)控制(6/12)下面對上述性能指標泛函作細致的討論:1)性能指標泛函J[u(·)]中的第1項e(tf)Fe(tf),是為了突出對末端目標的控制誤差的要求和限制而引進的,稱為末端代價函數(shù)。非負定的常數(shù)矩陣F為加權(quán)矩陣,其各行各列元素的值的不同,體現(xiàn)了對誤差向量e(t)在末態(tài)時刻tf各分量的要求不同、重要性不同。若矩陣F的第i行第i列元素值較大,代表二次項的重要性較大,對其精度要求較高。第6頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月線性二次型最優(yōu)控制(7/12)2)性能指標泛函J[u(·)]中的被積函數(shù)中的第1項e(t)Q(t)e(t),表示在系統(tǒng)工作過程中對控制誤差向量e(t)的要求和限制。由于時變的加權(quán)矩陣Q(t)為非負定的,故該項函數(shù)值總是為非負的。一般情況下,e(t)越大,該項函數(shù)值越大,其在整個性能指標泛函所占的份量就越大。因此,對性能指標泛函求極小化體現(xiàn)了對誤差向量e(t)的大小的約束和限制。在e(t)為標量函數(shù)時,該項可取為e2(t),于是該項與經(jīng)典控制理論中判別系統(tǒng)性能的誤差平方積分指標一致。第7頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月線性二次型最優(yōu)控制(8/12)非負定的時變矩陣Q(t)為加權(quán)矩陣,其各行各列元素的值的不同,體現(xiàn)了對相應(yīng)的誤差向量e(t)的分量在各時刻的要求不同、重要性不同。時變矩陣Q(t)的不同選擇,對閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)的性能的影響較大。第8頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月線性二次型最優(yōu)控制(9/12)3)性能指標泛函J[u(·)]中的被積函數(shù)的第2項u(t)R(t)u(t),表示在系統(tǒng)工作過程中對控制向量u(t)的大小的要求和限制。由于時變的加權(quán)矩陣R(t)為正定的,故該項函數(shù)值在u(t)為非零向量時總是為正的。而且u(t)越大,該項函數(shù)值越大,其在整個性能指標泛函所占的分量就越大。因此,對性能指標泛函求極小化體現(xiàn)了對控制向量u(t)的大小的約束和限制。如u(t)為與電壓或電流成正比的標量函數(shù)時,該項為u2(t),并與功率成正比,而u2(t)dt則與在[t0,tf]區(qū)間內(nèi)u(t)所做的功或所消耗的能量成正比。第9頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月線性二次型最優(yōu)控制(10/12)因此,該項Lu是用來衡量控制功率大小的代價函數(shù)。正定的時變矩陣R(t)亦為加權(quán)矩陣,其各行各列元素的值的不同,體現(xiàn)了對相應(yīng)的控制向量u(t)的分量在各時刻的要求不同、重要性不同。時變矩陣R(t)的不同選擇,對閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)的性能的影響較大。綜上所述,可見線性系統(tǒng)的二次型性能指標泛函的最優(yōu)控制問題的實質(zhì)在于用不大的控制量,來保持較小的控制誤差,以達到所耗費的能量和控制誤差的綜合最優(yōu)。第10頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月線性二次型最優(yōu)控制(11/12)現(xiàn)在討論上述線性二次型問題的幾種特殊情況。1)若令C(t)=I,z(t)=0,則y(t)=x(t)=-e(t)。這時,線性二次型問題的性能指標泛函變?yōu)樵搯栴}轉(zhuǎn)化成:用不大的控制能量,使狀態(tài)x(t)保持在零值附近,稱為狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。2)若令z(t)=0,則y(t)=-e(t)。這時,線性二次型問題的性能指標泛函變?yōu)樵搯栴}轉(zhuǎn)化成:用不大的控制能量,使輸出值y(t)保持在零值附近,稱為輸出調(diào)節(jié)器問題。第11頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月線性二次型最優(yōu)控制(12/12)3)若z(t)≠0,則e(t)=z(t)-y(t)。這時,線性二次型問題為:用不大的控制能量,使輸出y(t)跟蹤期望信號z(t)的變化,稱為輸出跟蹤問題。下面將陸續(xù)介紹狀態(tài)調(diào)節(jié)器、輸出調(diào)節(jié)器和最優(yōu)跟蹤問題的求解方法、解的性質(zhì)以及最優(yōu)狀態(tài)反饋實現(xiàn),具體內(nèi)容為：時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器第12頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器(1/3)7.5.1時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器前面已經(jīng)指出,狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題為:用不大的控制能量,使狀態(tài)x(t)保持在零值附近的二次型最優(yōu)控制問題。該問題的描述如下。第13頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器(2/3)有限時間LQ調(diào)節(jié)器問題設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件為式中,控制量u(t)不受約束。尋找最優(yōu)控制函數(shù)u*(t),使下列二次型性能指標泛函為最小式中,F和Q(t)為非負定矩陣;R(t)為正定矩陣;末態(tài)時刻tf是固定的。第14頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器(3/3)由于所討論的系統(tǒng)為線性系統(tǒng),給定的性能指標泛函對狀態(tài)變量x(t)和控制量u(t)均連續(xù)可微,因此,狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題可用變分法、極大值原理和動態(tài)規(guī)劃方法中的任一種求解。本節(jié)采用變分法給出最優(yōu)控制解存在的充分必要條件及最優(yōu)控制問題解的表達式,討論最優(yōu)控制解的存在性、唯一性等性質(zhì)及解的計算方法。內(nèi)容為：最優(yōu)控制的充分必要條件矩陣P(t)的若干性質(zhì)最優(yōu)控制的存在性與唯一性第15頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)控制的充分必要條件(1/10)—定理7-141.最優(yōu)控制的充分必要條件定理7-14(有限時間LQ調(diào)節(jié)器)對于有限時間LQ調(diào)節(jié)器問題,為其最優(yōu)控制的充分必要條件是最優(yōu)軌線為下述狀態(tài)方程的解,而最優(yōu)性能值為式中,P(t)為下述矩陣黎卡提微分方程的正定或半正定解。第16頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)控制的充分必要條件(2/10)第17頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)控制的充分必要條件(10/10)上述具有充分必要的最優(yōu)控制實際上是一個線性狀態(tài)反饋,因此,可以將線性系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制表示成如圖7-6所示的狀態(tài)反饋形式,其閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為圖7-6線性系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器上述結(jié)論是線性時變系統(tǒng)的結(jié)論,當系統(tǒng)是線性定常的時候,上述結(jié)論仍然成立,而且計算還要簡單。第18頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣P(t)的若干性質(zhì)(1/3)2.矩陣P(t)的若干性質(zhì)對黎卡提微分方程的解P(t),有如下性質(zhì)。1)P(t)是黎卡提微分方程末值問題的解,與初始狀態(tài)無關(guān)。當在區(qū)間[t0,tf]內(nèi)A(t)、B(t)、R(t)和Q(t)為分段連續(xù)的時間函數(shù),R(t)為正定且其逆矩陣有界,Q(t)矩陣為非負定時,則根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性理論,

P(t)的解在區(qū)間[t0,tf]內(nèi)唯一存在。第19頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣P(t)的若干性質(zhì)(2/3)2)對于任意t[t0,tf],P(t)是對稱矩陣。事實上,將黎卡提微分方程和邊界條件的兩邊作轉(zhuǎn)置,并考慮到R(t),Q(t)和F都為對稱矩陣,則有因此,矩陣P(t)和它的轉(zhuǎn)置P(t)滿足同一個矩陣微分方程和邊界條件。根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性理論,則對任意t[t0,tf],有P(t)=P(t),即P(t)是對稱的。第20頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣P(t)的若干性質(zhì)(3/3)3)于矩陣P(t)的對稱性,則n×n維的黎卡提矩陣微分方程實質(zhì)上是一個由n(n+1)/2個非線性標量微分方程組成的微分方程組。因此,求解P(t),只要求解n(n+1)/2個非線性微分方程即可。第21頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)控制的存在性與唯一性(1/13)—定理7-153.最優(yōu)控制的存在性與唯一性對于一般的最優(yōu)控制問題,論證最優(yōu)控制解的存在性是很困難的,但對于最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,可以證明最優(yōu)控制解的存在性和唯一性。對此,有如下定理。定理7-15對線性時變系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,當tf<時,最優(yōu)控制u*(t)存在且唯一。第22頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)控制的存在性與唯一性(5/13)—例7-11例7-11已知一階被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和性能指標分別為式中,f0,q0,r>0。試求其最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)軌線。解根據(jù)定理7-14,可以求出該問題的最優(yōu)控制為式中,p(t)是如下黎卡提微分方程及邊界條件的解第23頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)控制的存在性與唯一性(6/13)由上述微分方程可知,p(t)的解滿足積分上式,可得其中第24頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)控制的存在性與唯一性(7/13)最優(yōu)狀態(tài)軌線為下列一階時變微分方程的解于是得第25頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)狀態(tài)軌線為對上述線性定常系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,其最優(yōu)狀態(tài)反饋律和閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程都呈現(xiàn)時變的性質(zhì)。最優(yōu)控制的存在性與唯一性(8/13)圖7-7狀態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖這是最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器在tf<的一個重要性質(zhì)。圖7-7是例7-11的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)圖。圖中信號p(t)是對黎卡提微分方程進行電子電路模擬的結(jié)果,其初始信號p(0)是對黎卡提微分方程的解在t=0時的值。第26頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(1/12)7.5.2定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器前面已經(jīng)指出,即使被控系統(tǒng)是線性定常的,性能指標泛函中的矩陣Q(t)和R(t)也為定常的,在末態(tài)時刻為有限時間(tf<)時,其最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的最優(yōu)狀態(tài)反饋律也是時變的。這樣就為控制方法的實施帶來了相當大的困難,控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜。顯然,最優(yōu)狀態(tài)反饋律為時變的癥結(jié)在于P(t)是時變的。因此,建立P(t)為定常矩陣的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的條件就是得到定常最優(yōu)狀態(tài)反饋律的條件。以定常最優(yōu)狀態(tài)反饋律構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng),既大大減少了控制系統(tǒng)實施的困難性,簡化了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),又便于維護使用,無論在理論上和工程上都具有較大價值。第27頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(2/12)從例7-11的一階線性定常系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題可以看出,隨著末態(tài)時刻tf的無限增長,黎卡提微分方程的解p(t)趨于常數(shù),而最優(yōu)狀態(tài)反饋律也轉(zhuǎn)化為定常的。因此,對線性定常系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,若其泛函指標中矩陣Q(t)和R(t)均為定常,最優(yōu)狀態(tài)反饋律為定常的條件與末態(tài)時刻tf無限有關(guān)。下面將先給出線性定常系統(tǒng)在無限時間時最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,再給出和證明最優(yōu)狀態(tài)反饋律為定常的條件以及定常的最優(yōu)狀態(tài)反饋解。線性定常系統(tǒng)在無限時間時最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的描述如下。第28頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(3/12)無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件為式中,系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B為常數(shù)矩陣;控制量u(t)不受約束。尋找最優(yōu)控制函數(shù)u*(t),使下列二次型性能指標泛函為最小式中,Q為非負定常數(shù)矩陣;R為正定常數(shù)矩陣。第29頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(4/12)上述無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的性能指標泛函中沒有末態(tài)性能指標項S(x(tf),tf)。這是因為,對無限時間調(diào)節(jié)器問題,使性能指標泛函最小的末態(tài)x()必定為原點,否則,J[u(·)]將趨于。因此,x()必為原點,此時再規(guī)定末態(tài)性能指標項是無意義的。前面已經(jīng)指出,上述線性定常系統(tǒng)的無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的最優(yōu)狀態(tài)反饋律為定常的條件與末態(tài)時刻tf為無限的有關(guān)。該結(jié)論可簡單說明如下。第30頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(5/12)由黎卡提微分方程解的性質(zhì)可知,矩陣P(t)是如下黎卡提微分方程末值問題的解。式中,矩陣A、B、Q和R都為定常矩陣。由于P(t)與末態(tài)時刻tf有關(guān),可記為P(t,tf)。由微分方程理論可知,上述定常微分方程的解P(t,tf)的值只與tf-t有關(guān),與時刻t無直接關(guān)系。因此,有第31頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(6/12)即當tf→時定常微分方程(7-178)的解P(t,tf)與時間t無關(guān)。因此,只要黎卡提微分方程(7-178)的解P(t,tf)存在且為有限矩陣,則P(t,tf)必為常數(shù)矩陣。所以,該黎卡提微分方程可記為如下代數(shù)矩陣方程也稱為黎卡提矩陣代數(shù)方程。因此,上述結(jié)論可歸納為如下線性定常系統(tǒng)的無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理。第32頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(7/12)—定理7-16定理7-16(無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理)無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)控制存在且唯一,并可由下式?jīng)Q定u*=-R-1BPx式中,n×n維矩陣P是黎卡提矩陣代數(shù)方程的唯一非負定的解。此時,最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為從任意初始狀態(tài)開始的最優(yōu)性能指標為第33頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器(8/12)關(guān)于線性定常系統(tǒng)的無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的定理,有如下說明。1)在該定理中,強調(diào)了被控的線性定常系統(tǒng)狀態(tài)要能鎮(zhèn)定的(即能穩(wěn)的)。由6.3節(jié)知識可知,狀態(tài)能穩(wěn)性的意義是:一定存在一個狀態(tài)反饋,使狀態(tài)能穩(wěn)的系統(tǒng)閉環(huán)漸近穩(wěn)定。無限時間的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題要求調(diào)節(jié)被控系統(tǒng)在末態(tài)時刻tf→時的狀態(tài)x()為零狀態(tài)(原點)。如果被控系統(tǒng)是狀態(tài)能控的,當然就存在線性定常狀態(tài)反饋律,使被控系統(tǒng)的反饋閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,即狀態(tài)x(t)可逐漸衰減至零;或存在時變的狀態(tài)反饋律