線性規(guī)劃的建模與應用

線性規(guī)劃的建模與應用第1頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月本章內容要點線性規(guī)劃問題的四種主要類型線性規(guī)劃的建模與應用第2頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月本章節(jié)內容3.1資源分配問題3.2成本收益平衡問題3.3網絡配送問題3.4混合問題3.5線性規(guī)劃模型的應用第3頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月本章主要內容框架圖第4頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1資源分配問題資源分配問題是將有限的資源分配到各種活動（決策）中去的線性規(guī)劃問題。這一類問題的共性是在線性規(guī)劃模型中每一個函數約束均為資源約束,并且每一種資源都可以表現(xiàn)為如下的形式：使用的資源數量可用的資源數量對任何資源分配問題，有三種數據必須收集：（1）每種資源的可供量；（2）每一種活動所需要的各種資源的數量,對于每一種資源與活動的組合,單位活動所消耗的資源量必須首先估計出來；（3）每一種活動對總的績效測度（如總利潤）的單位貢獻（如單位利潤）。第5頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1資源分配問題例3.1

某公司是商務房地產開發(fā)項目的主要投資商。目前，該公司有機會在三個建設項目中投資： 項目1：建造高層辦公樓； 項目2：建造賓館； 項目3：建造購物中心。每個項目都要求投資者在四個不同的時期投資：在當前預付定金，以及一年、二年、三年后分別追加投資。表3－1顯示了四個時期每個項目所需資金（百萬元）。投資者可以按一定的比例進行投資和獲得相應比例的收益。年份辦公樓項目賓館項目購物中心項目0（現(xiàn)在）408090160805029080203107060凈現(xiàn)值457050公司目前有2500萬元資金可供投資，預計一年后，又可獲得2000萬元，兩年后獲得另外的2000萬元，三年后還有1500萬元以供投資。那么，該公司要在每個項目中投資多少比例，才能使其投資組合獲得最大的總凈現(xiàn)值？第6頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1資源分配問題解：這是一個資源分配問題。(1)決策變量設：x1，x2，x3分別為在辦公樓項目、賓館項目、購物中心項目中的投資比例(2)目標函數本問題的目標是總凈現(xiàn)值最大。第7頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1資源分配問題(3)約束條件本題的約束條件是公司在各期可獲得的資金限制（資源約束）。但要注意的是：前一期尚未使用的資金，可以在下一期使用（為了簡化問題，不考慮資金可獲得的利息）。因此，每一時點的資金限制就表現(xiàn)為累計的資金。表3－2顯示了累計的資金數據。年份辦公樓項目賓館項目購物中心項目可用資金0（現(xiàn)在）40809025110016014045219024016065320031022080凈現(xiàn)值457050第8頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1資源分配問題數學模型（線性規(guī)劃模型）第9頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1資源分配問題電子表格模型第10頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2成本收益平衡問題成本收益平衡問題與資源分配問題的形式完全不同，這種差異主要是因為兩種問題的管理目標不同而造成的。在資源分配問題中，各種資源是受限制的因素（包括財務資源），問題的目標是最有效地利用各種資源，使獲利最大。而對于成本收益平衡問題，管理層采取更為主動的姿態(tài)，他們指明哪些收益必須實現(xiàn)（不管如何使用資源），并且要以最低的成本實現(xiàn)所指明的收益。這樣，通過指明每種收益的最低可接受水平，以及實現(xiàn)這些收益的最小成本，管理層期望獲得成本和收益之間的適度平衡。因此，成本收益平衡問題是一類線性規(guī)劃問題，這類問題中，通過選擇各種活動水平的組合，從而以最小的成本來實現(xiàn)最低可接受的各種收益水平。第11頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2成本收益平衡問題成本收益平衡問題的共性是，所有的函數約束均為收益約束，并具有如下的形式：

完成的水平最低可接受的水平如果將收益的含義擴大，所有以“”表示的函數約束均為收益約束。在多數情況下，最低可接受的水平是作為一項政策由管理層制定的，但有時這一數據也可能是由其他條件決定。成本收益平衡問題需要的三種數據：（1）每種收益的最低可接受水平（管理決策）；（2）每一種活動對每一種收益的貢獻（單位活動的貢獻）；（3）每種活動的單位成本。第12頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2成本收益平衡問題排班問題是成本收益平衡問題研究的最重要的應用領域之一。在這一領域中，管理層意識到在向顧客提供令人滿意的服務水平的同時必須進行成本控制，因此，必須尋找成本和收益之間的平衡。于是，研究如何規(guī)劃每個輪班人員才能以最小的成本提供令人滿意的服務。例3.2

某航空公司正準備增加其中心機場的往來航班，因此需要雇傭更多的服務人員。不同時段有最少需要服務人員數，有5種排班方式，每8小時為一班。第13頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2成本收益平衡問題例3.2（續(xù)）5種排班方式排班1：6AM～2PM，即早上6點上班；排班2：8AM～4PM，即早上8點上班；排班3：中午～8PM，即中午12點上班；排班4：4PM～午夜，即下午4點上班；排班5：10PM～6M，即晚上10點上班。時段排班1排班2排班3排班4排班5最少需要人數6AM～8AM√488AM～10AM√√7910AM～中午√√65中午～2PM√√√872PM～4PM√√644PM～6PM√√736PM～8PM√√828PM～10PM√4310PM～午夜√√52午夜～6PM√15每人每天工資(元)170160175180195第14頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2成本收益平衡問題解:這是一個純成本收益平衡問題。（1）決策變量本問題的決策是不同排班的人數。設：xi為排班i的人數(i＝1,2,,5)（2）目標函數本問題的目標是人員總費用（工資）最少，即第15頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2成本收益平衡問題（3）約束條件

①每個時段的在崗人數必須不少于最低可接受水平（最少需要人數）②非負第16頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2成本收益平衡問題數學模型（線性規(guī)劃模型）第17頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2成本收益平衡問題電子表格模型第18頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3網絡配送問題通過配送網絡能以最小的成本完成貨物的配送，所以稱之為網絡配送問題。網絡配送問題將在第4、5章中重點介紹。與確定資源和收益一樣，在網絡配送問題中，必須確定需求以及相應地確定需求的約束條件。確定需求約束的形式如下：提供的數量＝需求的數量第19頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3網絡配送問題例3.3

某公司網絡配送問題。某公司在兩個工廠生產某種產品?，F(xiàn)在收到三個顧客的下個月定單要購買這種產品。這些產品會被單獨運送，表3—4顯示了從每個工廠到每個顧客的運送一個產品的成本。該表同樣表明了每個顧客的訂貨量和每個工廠的生產量?，F(xiàn)在公司的物流經理要決定從每個工廠運送多少個產品到每個顧客那里才能使總成本最??？

單位運輸成本（元/個）產量（個）顧客1顧客2顧客3工廠170090080012工廠280090070015訂貨量(個)108927(產銷平衡)第20頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3網絡配送問題解:由于“總產量（27）＝總訂貨量（27）”，所以本問題是一個平衡運輸問題。（1）決策變量本問題的決策為從每個工廠運送多少個產品到每個顧客那里。設：xi-j為從工廠i運輸到顧客j的產品數量（i＝F1,F2;j=C1,C2,C3)（2）目標函數本問題的目標是使得公司總運輸成本最低。第21頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3網絡配送問題（3）約束條件①從工廠運送出去的產品數量等于其產量②顧客收到的產品數量等于其訂貨量③非負第22頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3網絡配送問題數學模型（線性規(guī)劃模型）第23頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3網絡配送問題電子表格模型第24頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4混合問題前面討論了線性規(guī)劃問題的三種類型：資源分配問題、成本收益平衡問題以及網絡配送問題。如表3—5所總結的，每一類問題都是以一類約束條件為特色的。實際上，純資源分配問題的共性是它所有的函數約束均為資源約束而成本收益平衡問題的共性是它所有的函數約束均為收益約束網絡配送問題中，主要的函數約束為一特定類型的確定需求約束。第25頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4混合問題但許多線性規(guī)劃問題并不能直接歸入三類中的某一類，一些問題勉強可以歸入一類，因其主要的函數約束與表3—5的相應函數約束大致相同。另一些問題卻沒有一類占主導地位的函數約束，不能歸入前三類中的某一類。因此，混合問題是第四類線性規(guī)劃問題，這一類型將包括所有未歸入前述三類中的線性規(guī)劃問題。一些混合問題僅包含兩類函數約束，而更多的是包含三類函數約束。第26頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4混合問題表3—5各類函數約束類型形式*解釋主要用于資源約束LHSRHS對于特定的資源使用的數量

可獲得的數量資源分配問題混合問題收益約束LHSRHS對于特定的收益到達的水平

最低可接受水平成本收益平衡問題混合問題確定需求約束LHS=RHS對于一些數量提供的數量=需求的數量網絡配送問題混合問題*LHS=左式（一個SUMPRODUCT函數）RHS=右式（一般為常數）第27頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4混合問題配料問題。這類問題的一般提法是：由多種原料制成含有m種成分的產品，已知產品中所含各種成分的比例要求、各種原料的單位價格以及各原料所含成分的數量。考慮的問題是：應如何配料，可使產品的總成本最低。例3.4配料問題。某公司計劃要用Ａ、Ｂ、C三種原料混合調制出三種不同規(guī)格的產品甲、乙、丙，產品的規(guī)格要求和單價、原料的供應量和單價等數據如表3—6所示。問：該公司應如何安排生產，可使總利潤收入最大？第28頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4混合問題表3—6混合配料數據表ABC產品單價（元/千克）甲50%35%不限90乙40%45%不限85丙30%50%20%65原料供應量（千克）200150100原料單價（元/千克）603530第29頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4混合問題解：（1）決策變量本問題的難點在于給出的數據是非確定數值，而且各產品與原料的關系較為復雜。為了方便，設xij表示原料i（i=A，B，C）用于產品j（j=1為甲，j=2為乙，j=3為丙）的數量。（2）目標函數 本問題的目標是使利潤最大，利潤＝產品收入－原料支出第30頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4混合問題（3）約束條件本題的約束條件：原料供應量限制3個、規(guī)格要求7個和決策變量非負。在例3.4中，有9個決策變量和10個函數約束條件，包括5個資源約束、2個收益約束和3個確定需求約束。第31頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4混合問題電子表格模型第32頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用前面按照函數約束的分類，介紹了四種線性規(guī)劃問題：資源分配問題（,資源約束）、成本收益平衡問題（，收益約束）、網絡配送問題（=，確定需求約束）和混合問題（包含兩種或三種類型的約束函數）。本節(jié)按照應用方面介紹線性規(guī)劃在生產計劃問題、資金管理問題、市場調查問題和混合配料問題等方面的應用第33頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用建立線性規(guī)劃模型的過程可以分為四個步驟：

(1)設立決策變量；

(2)用決策變量的線性函數表示目標，并確定是求最大（Max）還是最?。∕in）；

(3)明確約束條件并用決策變量的線性等式或不等式表示；

(4)根據決策變量的物理性質研究變量是否有非負性。第34頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用生產計劃問題是企業(yè)生產過程中常常遇到的問題，其中最簡單的一種形式可以描述如下（資源分配問題）：用若干種原材料（資源）生產某幾種產品，原材料（或某種資源）供應量有一定的限制，要求制定一個產品生產計劃，使其在給定的資源限制條件下能得到最大收益。第35頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.5

某工廠生產甲、乙、丙三種產品，都要經過鑄造、機加工和裝配三個車間。甲、乙兩種產品的鑄件可以外包協(xié)作，也可以自行生產，但產品丙必須本廠鑄造才能保證質量。有關情況的數據如表3—9所示。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產品各生產多少件？甲、乙兩種產品的鑄件由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應多少件？第36頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用表3—9自行生產或外包的有關數據產品甲產品乙產品丙工時限制單件鑄造工時（小時）51078000單件機加工工時（小時）64812000單件裝配工時（小時）32210000自產鑄件成本（元/件）354外協(xié)鑄件成本（元/件）56－機加工成本（元/件）213裝配成本（元/件）322產品售價（元/件）231816第37頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用解：（1）決策變量此問題的難度是由于產品甲和乙的鑄件既可以外包協(xié)作，也可以自行生產，從而使問題復雜化。如果只設甲、乙、丙產品的產量分別為x1、x2、x3，則由于產品甲和乙的鑄件來源不同造成單位利潤不同，因此目標函數中x1和x2的系數不是常數，目標函數成為非線性函數，但是如果把它們區(qū)分開來，另設兩個變量（采用第7章的可分離規(guī)劃技術），則可以較容易地建立問題的線性規(guī)劃模型。設x1、x2、x3分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產品的件數；x4、x5分別為由外協(xié)鑄造再由本公司機加工和裝配的甲、乙兩種產品的件數。第38頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用（2）目標函數本問題的目標是使得公司獲得的利潤最大。為了建立目標函數，首先計算各決策變量的單位利潤：單位利潤＝售價-成本（鑄造、機加工、裝配）第39頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用（3）約束條件（3個資源約束、非負約束） ①鑄造工時限制 ②機加工工時限制 ③裝配工時限制 ④非負第40頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用數學模型（線性規(guī)劃模型）第41頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用電子表格模型第42頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.6

某工廠生產A、B兩種產品，均需經過兩道工序，每生產1噸A產品需要經第一道工序加工2小時，第二道工序加工3小時；每生產1噸B產品需經過第一道工序加工3小時，第二道工序加工4小時?？晒├玫牡谝坏拦ば蚬r為15小時，第二道工序工時為25小時。生產產品B的同時可產出副產品C，每生產1噸產品B，可同時得到2噸產品C而不需要外加任何費用。副產品C一部分可以盈利，但剩下的只能報廢，報廢需要有一定的費用。各項費用的情況為：出售產品A每噸能盈利400元；出售產品B每噸能盈利800元；每銷售1噸副產品C能盈利300元；當剩余的產品C報廢時，每噸損失費為200元。經市場預測，在計劃期內產品C的最大銷量為5噸。問：如何安排A、B兩種產品的產量可使工廠總的盈利為最大？第43頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用解：（1）決策變量本問題的難度是由于副產品C的出現(xiàn)而使問題復雜化了。如果只設A、B、C產品的產量分別為x1、x2、x3

，則由于產品C的單位利潤不同（贏利300元或損失200元），因此目標函數中x3的系數不是常數，目標函數成為非線性函數，但是如果把產品C的銷售量和報廢量區(qū)分開來，設作兩個變量（采用第7章的可分離規(guī)劃技術），則可以容易地建立線性規(guī)劃模型。設A、B產品的產量分別為x1、x2；C產品的銷售量和報廢量分別為x3、x4。第44頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用（2）目標函數本問題的目標是使工廠的總盈利最大，即

（3）約束條件（3個資源約束、1個確定需求約束、非負約束） ①第一道工序 ②第二道工序 ③產品B與產品C ④產品C的最大銷量 ⑤非負 第45頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用線性規(guī)劃模型（數學模型）第46頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用電子表格模型第47頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.7

某公司根據訂單進行生產。已知半年內對某產品的需求量、單位生產費用和單位存儲費用,還已知公司每月的生產能力為100，每月倉庫容量為50。問：如何確定產品未來半年內每月最佳生產量和存儲量，以使總費用最少。月份123456需求量504050455530單位生產費用825775850850775825單位存儲費用403035204040第48頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用解：（生產與庫存問題，更多請參見第9章，動態(tài)規(guī)劃）(1)決策變量本問題的決策為產品未來半年內每月的最佳生產量和庫存量。設每月生產量為xi(i=1,2,,6)，每月月末庫存量為si(i=1,2,,6)。(2)目標函數本問題的目標是總費用最小，而總費用＝生產總費用+存儲總費用，即第49頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用(3)約束條件①對于每個月上月庫存量＋本月生產量－市場需求＝本月月末庫存量②公司每月的生產能力為100③每月倉庫容量為50④非負第50頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用數學模型（線性規(guī)劃模型）第51頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.7的電子表格模型第52頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用資金管理問題線性規(guī)劃在資金管理方面的應用主要包括投資組合優(yōu)化、連續(xù)投資、財務計劃、資本預算等。本小節(jié)將介紹線性規(guī)劃在投資組合優(yōu)化與連續(xù)投資方面的應用。更多的例子請見第9章。投資組合優(yōu)化問題研究如何選擇投資對象，例如，如何選擇不同的債券或股票，在滿足某些要求的前提下，使得利潤最大或風險最小。因此，其決策變量是對各種可能的投資對象的投資組合，其目標函數通常是期望回報最大化或風險最小化，而約束條件則可包括總投資額、公司政策、法律法規(guī)等。例3.8是期望回報額最大化，采用線性規(guī)劃模型。當考慮投資風險（成本）與收益之間的平衡時，更多的是采用非線性規(guī)劃模型，具體見第7章。第53頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.8

投資組合優(yōu)化問題。某公司董事會決定將20萬現(xiàn)金進行債券投資。經咨詢，現(xiàn)有五種債券是較好的投資對象，它們是：黃河汽車，長江汽車，華南電器，西南電器，縝山紙業(yè)。它們的投資回報率如表3—12所示。為減少風險，董事會要求，對汽車業(yè)的投資不得超過12萬，對電器業(yè)的投資不得超過8萬，其中對長江汽車業(yè)的投資不得超過對汽車業(yè)投資的65%，對紙業(yè)的投資不得低于對汽車業(yè)投資的20%。該公司應如何投資，才能在滿足董事會要求的前提下使得總回報額最大？債券名稱黃河汽車長江汽車華南電器西南電器縝山紙業(yè)回報率6.5%9.2%4.5%5.5%4.2%第54頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用解：（1）決策變量本問題的決策變量是對五種投資對象的投資額。設：該公司對五種債券的投資額分別為x1，x2，x3，x4，x5（萬元）。（2）目標函數本問題的目標是使得公司總回報額最大，即第55頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用（3）約束條件 ①總投資額為20萬現(xiàn)金 ②汽車業(yè)的投資不得超過12萬 ③電器業(yè)的投資不得超過8萬 ④對長江汽車業(yè)的投資不得超過對汽車業(yè)投資的65% ⑤對紙業(yè)的投資不得低于對汽車業(yè)投資的20% ⑥非負第56頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用數學模型（線性規(guī)劃模型）第57頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.8的電子表格模型第58頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.9

連續(xù)投資問題。某部門在今后五年內考慮給下列項目投資，已知：

項目A：從第一年到第四年每年年初都可以投資，并于次年年末收回本利115%；

項目B：第三年年初可以投資，到第五年年末能收回本利125%，但規(guī)定最大投資額不超過4萬元；

項目C：第二年初可以投資，到第五年末能收回本利140%，但規(guī)定最大投資額不超過3萬元；

項目D：五年內每年初都可以購買公債，于當年末歸還，并加利息6%。該部門現(xiàn)有資金10萬元，問應如何確定這些項目的每年投資額，使得第五年年末擁有的資金的本利總額最大？第59頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用解：（1）決策變量本題是一個連續(xù)投資問題，由于需要考慮每年年初對不同項目的投資額，為了便于理解，建立雙下標決策變量。設xij為第i年初給項目j的投資額（萬元）根據給定條件，將決策變量列于表3—13中（P82）（2）約束條件

每年投資額＝可投資額（P82－83）最大投資額、非負第60頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用項目A項目B項目C項目D第一年x1A——x1D第二年x2A—x2Cx2D第三年x3Ax3B—x3D第四年x4A——x4D第五年———x5D年份項目第61頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用（3）目標函數該問題要求在第五年末擁有的資金的本利總額最大目標也可以是投資的總回報額最大但不是用Excel求解即可明白第62頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用數學模型（線性規(guī)劃模型）第63頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.9的電子表格模型第64頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.9的靈敏度分析

從影子價格（“陰影價格”列）可知：第一年初增加或減少投資1萬元，將導致第五年末擁有資金的本利增加或減少1.40萬元，目前第一年投資額為10萬元；第二年初增加或減少投資1萬元，將導致第五年末擁有資金的本利增加或減少1.32萬元，目前第二年的投資金額來自第一年投資于項目D而收回的106％的本利3萬元（從“終值”列得知）；同樣可知第三年初、第四年初、第五年初增加或減少投資1萬元，將導致第五年末擁有資金的本利分別增加或減少1.22萬元、1.15萬元、1.06萬元。第65頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.10

某市場調查公司受某廠的委托，調查消費者對某種新產品的了解和反應情況。該廠對市場調查公司提出了以下要求：（1）共對500個家庭進行調查；（2）在被調查家庭中，至少有200個是沒有孩子的家庭，同時至少有200個是有孩子的家庭；（3）至少對300個被調查家庭采用問卷式書面調查，其余家庭可采用口頭調查；（4）在有孩子的被調查家庭中，至少有50％的家庭采用問卷式書面調查；（5）在沒有孩子的被調查家庭中，至少有60％的家庭采用問卷式書面調查。第66頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用對不同家庭采用不同調查方式的費用如表3—16所示。問：市場調查公司應如何進行調查，使得在滿足廠方要求的條件下，使得總調查費用最少？表3—16市場調查費用表家庭類型調查費用（元）問卷式書面調查口頭調查有孩子的家庭5030沒有孩子的家庭4025第67頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用解：（1）決策變量根據題意，本問題的決策變量如下：

x1：對有孩子的家庭采用問卷式書面調查的數目，

x2：對有孩子的家庭采用口頭調查的數目，

x3：對沒有孩子的家庭采用問卷式書面調查的數目，

x4：對沒有孩子的家庭采用口頭調查的數目。（2）目標函數本問題的目標是使得總調查費用最小。第68頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用（3）約束條件 ①共對500個家庭進行調查； ②至少有200個是沒有孩子的家庭； ③至少有200個是有孩子的家庭； ④至少有300個采用問卷式書面調查； ⑤有孩子的家庭中，至少50％采用問卷式書面調查； ⑥沒有孩子的家庭中，至少60％采用問卷式書面調查； ⑦非負。第69頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用數學模型（線性規(guī)劃模型）第70頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.10的電子表格模型第71頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.11

某公司經營一個回收中心，專門從事四種固體廢棄物的回收，并將回收物處理、混合成為可銷售的三種產品。根據混合時各種材料的比例（規(guī)格），可將產品分成三種不同等級:A、B和C，它們的混合成本和售價也不同，具體如表3—19所示。回收中心可以從一些渠道定期收集到所需的固體廢棄物，表3—20給出了中心每周可以收集到每種材料的數量以及處理成本。該公司是一家專門從事與環(huán)保有關的公司，公司的收益