穩(wěn)態(tài)誤差的計算

穩(wěn)態(tài)誤差的計算第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3-6

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量(例如t>ts的輸出分量）反映了系統(tǒng)跟蹤給定控制信號或希望輸出信號的準(zhǔn)確度或抑制擾動信號的恢復(fù)能力。通常用穩(wěn)態(tài)誤差來衡量。它與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用的形式有關(guān)，也與元件的不靈敏、零點漂移、老化及各種傳動機械的間隙、摩擦等因素有關(guān)。本書只討論由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用等因素所引起的穩(wěn)態(tài)誤差，即原理性誤差。

給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）

擾動穩(wěn)態(tài)誤差（由擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）

給定輸入量變化時，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。給定輸入量不變時，需要分析輸出量在擾動作用下所受到的影響，因而用擾動穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義和基本概念

系統(tǒng)的誤差e(t)的基本定義為輸出量的希望值與實際值之差。典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，其誤差定義有兩種形式：（1）輸出端定義法：式中：

為系統(tǒng)輸出量的希望值；

C(t)為輸出量的實際值。（2）輸入端定義法：式中：r(t)為給定輸入；b(t)為系統(tǒng)主反饋信號。H（s）是測量裝置的傳遞函數(shù)（通常我們認(rèn)為是理想的），故此時誤差就是給定輸入與測量裝置的輸出量之差。R(s)-B(s)E(s)N(s)+C(s)圖典型反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖1/H(s)-E’(s)e(t)誤差的定義第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)>>step(feedback(tf(50*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35)C(t)=b(t)H(s)=1注意：誤差、誤差響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)分量、瞬態(tài)分量、動態(tài)誤差、穩(wěn)態(tài)誤差等概念單位反饋情況：從圖形和公式中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差一第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)>>step(feedback(tf(50*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),2),0:.01:35)C(t)r(t)=1(t)H(s)=2非單位反饋情況：從圖形和公式中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)態(tài)誤差的定義：對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，以表示?；竟阶⒁猓簝煞N誤差定義的統(tǒng)一性其關(guān)鍵在于反饋傳遞函數(shù)H(s)的確定性、可靠性、準(zhǔn)確性。穩(wěn)態(tài)誤差的定義一第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月二、給定輸入作用下系統(tǒng)的誤差分析這時，不考慮擾動的影響?？梢詫懗鲭S動系統(tǒng)的誤差：-顯然，與輸入和開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)。給定輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差假設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)的形式如下：第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月式中：開環(huán)放大系數(shù)；開環(huán)傳遞函數(shù)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；開環(huán)傳遞函數(shù)去掉積分和比例環(huán)節(jié)；給定輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月式中：稱為位置誤差系數(shù)；單位階躍函數(shù)輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)輸入為時（單位階躍函數(shù)）的大小反映了系統(tǒng)在階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。越大，越小。所以說反映了系統(tǒng)跟蹤階躍輸入的能力。如果要求對于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系統(tǒng)。習(xí)慣上，階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)>>step(feedback(tf(10*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35)>>step(feedback(tf(10*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35)>>step(feedback(tf(1*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35)從圖形中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)輸入為時（單位斜坡函數(shù)）式中：稱為速度誤差系數(shù)；單位斜坡函數(shù)輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時不能跟蹤斜坡輸入Ⅰ型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時能跟蹤斜坡輸入，但存在一個穩(wěn)態(tài)位置誤差Ⅱ型及Ⅱ型以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時能準(zhǔn)確跟蹤斜坡輸入信號，不存在位置誤差結(jié)論：第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月輸入K=5K=1K=0.3階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)：零穩(wěn)態(tài)誤差斜坡響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)誤差為常數(shù)指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*[0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),u,t)第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)輸入為時（單位加速度函數(shù)）式中：稱為加速度誤差系數(shù)；單位加速度函數(shù)輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差反映了系統(tǒng)跟蹤拋物線輸入的能力。0型與Ⅰ型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時不能跟蹤加速度輸入Ⅱ型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時能跟蹤加速度輸入，但存在一個穩(wěn)態(tài)位置誤差Ⅱ型以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時能準(zhǔn)確跟蹤加速度輸入信號，不存在位置誤差第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月>>t=0:.01:100;>>u=1/2*t.^2;>>lsim(feedback(tf(0.14*conv([8,1],[4,1]),conv([1,0],conv([1,0],[6,1]))),1),u,t)K=0.14,0.04,0.0094誤差K＝0.0094K＝0.04K＝0.14r(t)第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月取不同的νr(t)=R·1(t)ess=1+ksνRlim→0sr(t)=V·tess=

s·Vlim→0sksνr(t)=At2/2ess=

s2·Alim→0sksνⅠ型0型Ⅱ型R·1(t)

R1+kV

kV·t000∞Ak∞∞At2/2R·1(t)V·tAt2/2kkk000∞∞∞靜態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)：123Kp=?Kv=?Ka=?啥時能用表格？誤差為無窮時系統(tǒng)還穩(wěn)定嗎？第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-11單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求：(1)位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù)；(2)當(dāng)參考輸入為r×1(t)，rt×l(t)和rt2×1(t)時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：根據(jù)誤差系數(shù)公式，有位置誤差系數(shù)為速度誤差系數(shù)為加速度誤差系數(shù)為第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)參考輸入為r×1(t)，即階躍函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為當(dāng)參考輸入為rt×l(t)，即斜坡函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為參考輸入為rt2×1(t)，即拋物線函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月如果系統(tǒng)承受的輸入信號是多種典型函數(shù)的組合，例如則根據(jù)線性疊加原理，可將每一輸入分量單獨作用于系統(tǒng)，再將各穩(wěn)態(tài)誤差分量疊加起來，得到顯然，這時至少應(yīng)選用2型系統(tǒng)，否則穩(wěn)態(tài)誤差將為無窮大。無窮大的穩(wěn)態(tài)誤差，表示系統(tǒng)輸出量與輸入量之間在位置上的誤差隨時間t而增長，穩(wěn)態(tài)時達(dá)無窮大。由此可見，采用高型別系統(tǒng)對提高系統(tǒng)的控制準(zhǔn)確度有利，但應(yīng)以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性為前提，同時還要兼顧系統(tǒng)的動態(tài)性能要求。第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-12設(shè)圖示系統(tǒng)的輸入信號r(t)=10+5t，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并求出其穩(wěn)態(tài)誤差。解由圖求得系統(tǒng)的特征方程為R(s)-C(s)例12圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖1.先判穩(wěn)第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月由特征方程列勞斯表21+0.5K3K要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須K>0,1+0.5K>0,3(1+0.5K)－2K>0解得K>0，K>-2，K<6所以，當(dāng)0<K<6時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（1）由圖可知，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)分別為K2.再求穩(wěn)態(tài)誤差第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為上述結(jié)果表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與K成反比，K值越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，但K值的增大受到穩(wěn)定性的限制，當(dāng)K>6時，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。（2）求穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)（3）求穩(wěn)態(tài)誤差3.說明：第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)：給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用有關(guān)。對同一系統(tǒng)加入不同的輸入，穩(wěn)態(tài)誤差不同。與時間常數(shù)形式的開環(huán)增益有關(guān)；對有差系統(tǒng)，K↑，穩(wěn)態(tài)誤差↓，但同時系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性變差。與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)有關(guān)。積分環(huán)節(jié)的個數(shù)↑，穩(wěn)態(tài)誤差↓，但同時系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性變差。由此可見對穩(wěn)態(tài)誤差的要求往往與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性的要求是矛盾的。第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月三、擾動穩(wěn)態(tài)誤差

控制系統(tǒng)除了受到給定輸入的作用外，通常還受到擾動輸入的作用。系統(tǒng)在擾動輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的大小，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。

令R(s)=0R(s)-B(s)+N(s)圖a擾動輸入作用下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖C(s)E(s)第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例2設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-26所示，其中給定輸入，擾動輸入,試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。R(s)-+N(s)C(s)E(s)解當(dāng)系統(tǒng)同時受到給定輸入和擾動輸入的作用時，其穩(wěn)定誤差為給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差的疊加。令n(t)=0時，求得給定輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為所以給定穩(wěn)態(tài)誤差為:圖3-26擾動輸入作用下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月由上式計算可以看出，r(t)和n(t)同是階躍信號，由于在系統(tǒng)中的作用點不同，故它們產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。此外，由擾動穩(wěn)態(tài)誤差的表達(dá)式可見，提高系統(tǒng)前向通道中擾動信號作用點之前的環(huán)節(jié)G1(s)的放大系數(shù)（即），可以減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。該系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為

令r(t)=0時，求得擾動輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為所以擾動穩(wěn)態(tài)誤差為第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月為了分析系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響，我們假設(shè)圖3-26中

給定輸入和擾動輸入保持不變。這時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按上述相同的方法求出，即R(s)-+N(s)C(s)E(s)系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

比較以上兩次計算的結(jié)果可以看出，若要消除系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差，則系統(tǒng)前向通道中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)都起作用。若要消除系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差，則在系統(tǒng)前向通道中只有擾動輸入作用點之前G1(s)的積分環(huán)節(jié)才起作用。因此，若要消除由給定輸入和擾動輸入同時作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，則串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)應(yīng)集中在前向通道中擾動輸入作用點之前(即G1(s)中).

第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月四、減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法前面的討論表明，為了減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可以增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目或提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。但是，串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)一般不超過2，而開環(huán)放大系數(shù)也不能任意增大，否則系統(tǒng)將可能不穩(wěn)定。為了進(jìn)一步減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，還可以采用加前饋控制的復(fù)合控制方法，即從給定輸入或擾動輸入處引出一個前饋控制量（擾動必須是可以測量的），加到系統(tǒng)中去，通過適當(dāng)選擇補償裝置和作用點，就可以達(dá)到減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的目的。第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月在下圖所示系統(tǒng)中，為了消除由r(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反饋控制的基礎(chǔ)上，從給定輸入處引出前饋量經(jīng)補償裝置加到系統(tǒng)控制量中。此時系統(tǒng)誤差信號的拉氏變換式為經(jīng)整理得顯然，如果選擇補償裝置的傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差為零。R(s)E(s)C(s)-+按給定輸入補償?shù)膹?fù)合控制第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月在下圖所示系統(tǒng)中，為了消除由n(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反饋控制的基礎(chǔ)上，從擾動輸入引出前饋量經(jīng)補償裝置加到系統(tǒng)中，若設(shè)r(t)=0，提問：E(s)應(yīng)該放在a還是b處？為什么？R(s)N(s)E(s)--+C(s)A圖3-28按擾動輸入補償?shù)膹?fù)合控制ab顯然，如果選擇補償裝置的傳遞函數(shù)為第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)：根據(jù)基本公式和各種典型輸入型號進(jìn)行討論。消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法小結(jié)：（1）重點集中在前向通路最前端的傳遞函數(shù)中（如G1(s)中）。措施：a.增加穩(wěn)態(tài)增益；b.增加積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；（2）使用給定前饋補償和擾動前饋補償近似消除部分已知和可測信號造成的穩(wěn)態(tài)誤差。第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月本章小結(jié)1、時域分析是通過直接求解系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時域響應(yīng)來分析系統(tǒng)的性能的。通常是以系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標(biāo)來評價系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。2、

二階系統(tǒng)在欠阻尼時的響應(yīng)雖有振蕩，但只要阻尼取值適當(dāng)（如左右），則系統(tǒng)既有響應(yīng)的快速性，又有過渡過程的平穩(wěn)性，因而在控制系統(tǒng)中常把二階系統(tǒng)設(shè)計為欠阻尼。3、

如果高階系統(tǒng)中含有一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，則該系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)就可以近似地用這對主導(dǎo)極點所描述的二階系統(tǒng)來表征。

第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月4、穩(wěn)定是系統(tǒng)所能正常工作的首要條件。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定是系統(tǒng)固有特性，它取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號的形式和大小無關(guān)。不用求根而能直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱為穩(wěn)定判據(jù)。穩(wěn)定判據(jù)只回答特征方程式的根在s平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)值。5、

穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的度量，也是系統(tǒng)的一個重要性能指標(biāo)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，也與控制信號的形式、大小和作用點有關(guān)。6、

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度與動態(tài)性能在對系統(tǒng)的類型和開環(huán)增益的要求上是相矛盾的。解決這一矛盾的方法，除了在系統(tǒng)中設(shè)置校正裝置外，還可用前饋補償?shù)姆椒▉硖岣呦到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月則可使輸出不受擾動n(t)的影響，故系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差為零。從直觀上看，當(dāng)滿足時，擾動信號經(jīng)兩條通道到達(dá)A點，兩個分支信號正好大小相等，符號相反，因而實現(xiàn)了對擾動的全補償。由于物理上可實現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總是滿足分母的階次大于或等于其分子的階次，要求構(gòu)造出分子的階次大于或等于其分母階次的補償裝置，這通常是不可能的。此外，由于傳遞函數(shù)的元件參數(shù)隨著時間的推移也會發(fā)生變化，這就使得全補償條件不可能成立。所以，實際上只能實現(xiàn)近似補償?？梢宰C明（有條件），前饋控制加入前后，系統(tǒng)的特征方程保持不變（前邊的傳遞函數(shù)可直接看出），因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將不會發(fā)生變化。第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例題求圖示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。2R(s)C(s)N(s)0.2s+11s(s+1)2其中r(t)=t,n(t)=-1(t)解：令n(t)=0,Er(s)=-C(s)R(s)H(s)=s(s+1)(0.2s+1)+40.5s(s+1)(0.2s+1)s2.1因為系統(tǒng)穩(wěn)定，所以essr=limsEr(s)=s→0令r(t)=0,En(s)=-Cn(s)

=s(s+1)(0.2s+1)+42(0.2s+1)s.1essn=limsEn(s)=21s→0總誤差ess=essr+essn∴ess=8121+85=81第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)：1.公式小結(jié)（1）（2）（3）（4）（5）（1）基本公式給定輸入單獨作用時第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月擾動單獨作用時給定輸入和擾動共同作用時（6）（7）（8）（9）（10）（11）第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月4.穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法(1).拉氏變換的終值定理當(dāng)輸入信號為時,可用終值定理計算靜態(tài)誤差,諧波(正弦,余弦)輸入時不能應(yīng)用此定理。(2).根據(jù)誤差定義求穩(wěn)態(tài)誤差的方法a.求誤差響應(yīng)傳遞函數(shù)第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月b.誤差響應(yīng)的象函數(shù)c.誤差響應(yīng)的原函數(shù)d.求極值即為穩(wěn)態(tài)誤差。如系統(tǒng)同時存在輸入信號和擾動信號,則系統(tǒng)誤差的求法如下：R(s)N(s)E(s)++第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月