Ch2-1-隨機(jī)變量分布函數(shù)及離散型課件

第二章隨機(jī)變量第一節(jié)隨機(jī)變量

一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生在實(shí)際問(wèn)題中，常把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果用數(shù)來(lái)表示，即把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.

1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；七月份北京的最高溫度；每天從西客站下火車的人數(shù)；昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)；2、有些試驗(yàn),可以通過(guò)用把樣本點(diǎn)編號(hào)的辦法,用數(shù)量來(lái)描述不同的樣本點(diǎn).0反面1正面某人拋擲籃球3次可能0未中未中未中也可能1未中未中中也可能1未中中未中還可能2未中中中又可能1中未中未中還可能2中未中中還可能2中中未中另外可能3中中中3、還有許多試驗(yàn),我們往往比關(guān)心樣本點(diǎn)更關(guān)心試驗(yàn)后的某個(gè)數(shù)量.未中未中未中未中未中中未中中未中未中中中中未中未中中未中中中中未中中中中Ω=0123這是Ω到實(shí)數(shù)軸R的一個(gè)映射如果記做X,則X把映射到X()定義2.1.1

設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn),Ω是其樣本空間.如果對(duì)每個(gè)Ω,總有一實(shí)數(shù)X()與之對(duì)應(yīng),則稱這個(gè)Ω到實(shí)數(shù)軸的映射(也叫Ω上的實(shí)值函數(shù))X()為E的一個(gè)隨機(jī)變量.

(randomvariable)隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量常簡(jiǎn)記為r.v.

這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù).w.X(w)R這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？注意點(diǎn)(1)(1)隨機(jī)變量X()是樣本點(diǎn)的函數(shù)，

其定義域?yàn)?，其值域?yàn)镽=(，)若X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則{X=1.5}

是不可能事件.

(2)若X

為隨機(jī)變量，則

{X=k}、{a

<

Xb}、……

均為隨機(jī)事件.即{a

<

Xb}={：a

<

X()b

}注意點(diǎn)(2)(3)注意以下一些表達(dá)式：

{X=k}={Xk}{X<k}；{a

<

Xb}={Xb}{Xa}；{X>b}={Xb}.(4)同一樣本空間可以定義不同的隨機(jī)變量.例2

擲一顆骰子，令

X：出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．則X就是一個(gè)隨機(jī)變量．表示擲出的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4這一隨機(jī)事件；表示擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)這一隨機(jī)事件．它的取值為1，2，3，4，5，6．我們還可以定義其它的隨機(jī)變量，例如我們可以定義：而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫(xiě)字母x,y,z等.隨機(jī)變量通常用大寫(xiě)字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律

從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測(cè)量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機(jī)變量X,然后我們可以提出關(guān)于X的各種問(wèn)題.

如

P{X>1.7}=？

P{X≤1.5}=?P{1.5<X<1.7}=?三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

設(shè)X()是一個(gè)隨機(jī)變量.稱函數(shù)

F(x)=P{X≤x},-∞<x<∞

為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).分布函數(shù)的性質(zhì)（1）a<b,總有F(a)≤F(b)(單調(diào)非減性),并且定義F(x)是r.vX取值不大于

x

的概率.證明:∵{a<X≤b}={X≤b}-{X≤a},而

{X≤a}{X≤b}.

∴

P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a).

又∵P{a<X≤b}≥0,∴F(a)≤F(b).它表明隨機(jī)變量X落在區(qū)間(a,b]上的概率可以通過(guò)它的分布函數(shù)來(lái)計(jì)算.（2）xR1,總有0≤F(x)≤1(有界性),且（3）F(x)是一個(gè)右連續(xù)的函數(shù)四、隨機(jī)變量的分類

常見(jiàn)有如下兩類：如“取到次品的個(gè)數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量所有取值可以逐個(gè)一一列舉例如，“電視機(jī)的壽命”，實(shí)際中常遇到的“測(cè)量誤差”等.全部可能取值不僅無(wú)窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間.…….這兩種類型的隨機(jī)變量因?yàn)槎际请S機(jī)變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點(diǎn).隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量學(xué)習(xí)時(shí)請(qǐng)注意它們各自的特點(diǎn)和描述方法.

第二章第二節(jié)

離散型隨機(jī)變量

設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是x1,x2,….為了描述隨機(jī)變量X

，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率.

這樣，我們就掌握了X這個(gè)隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值是0,1,2取每個(gè)值的概率為例1且其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是概率分布一、離散型隨機(jī)變量概率分布的定義定義1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律.或表示為X

x1

x2

……xn

……P

p1

p2

……pn

……二、表示方法（1）列表法：（2）公式法再看例1任取3個(gè)球X為取到的白球數(shù)X可能取的值0,1,2解:依據(jù)概率分布的性質(zhì):P{X=k}≥0,

a≥0從中解得欲使上述函數(shù)為概率分布應(yīng)有這里用到了常見(jiàn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式例2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.三、舉例例3.

某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解：X可取0、1、2為值

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81

且P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1常常表示為：這就是X的概率分布.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

pk:=P{X=xk},k=1,2,…,四、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)X的分布函數(shù):當(dāng)x<0時(shí)，{X

x}=，故F(x)=0例4，求F(x).當(dāng)0x<1時(shí)，

F(x)=P{X

x}=P{X=0}=F(x)=P{X

x}解:X的分布律為當(dāng)1x<2時(shí)，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當(dāng)x2時(shí)，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1F(x)=P{X

x}解:例4，求F(x).X的分布律為故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來(lái)看一下.概率函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫(huà)分布函數(shù)圖對(duì)離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)：

(1)F(x)是遞增的階梯函數(shù);

(2)其間斷點(diǎn)均為右連續(xù)的;

(3)其間斷點(diǎn)即為X的可能取值點(diǎn);

(4)其間斷點(diǎn)的跳躍高度是對(duì)應(yīng)的概率值.例5設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為則X的概率分布為五、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布(I)兩點(diǎn)分布（0-1分布）

設(shè)E是一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用Ω={1,

2}表示其樣本空間.P({1})=p,P({2})=1-p

來(lái)源X()=記為X~B(1,p)稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布

200件產(chǎn)品中,有196件是正品,4件是次品,今從中隨機(jī)地抽取一件,若規(guī)定例6

則P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02

故X服從參數(shù)為0.98的兩點(diǎn)分布.

即X~B(1,0.98).X()=擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A或，或者形象地把兩個(gè)互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”.新生兒：“是男孩”，“是女孩”抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)(“重復(fù)”是指這次試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件相同)貝努里概型和二項(xiàng)分布(II)這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作n重貝努里試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努里試驗(yàn)或貝努里概型.

每次試驗(yàn)成功的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p.用X表示n重貝努里試驗(yàn)中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則稱r.v.X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p)binomial(二項(xiàng)式)X的概率分布是：男女X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為p.X可取值0,1,2,3,4.X~B(4,p)，例7

設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù).我們來(lái)求X的概率分布.例8某類燈泡使用時(shí)數(shù)在2000小時(shí)以上視為正品.已知有一大批這類的燈泡,其次品率是0.2.隨機(jī)抽出20只燈泡做壽命試驗(yàn),求這20只燈泡中恰有k只是次品的概率.解:設(shè)X為20只燈泡中次品的個(gè)數(shù),則.X~B(20,0.2)，次品數(shù)少于2的概率至少有1件次品的概率例9一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的．某學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)4道題以上的概率是多少？則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗(yàn)．第二章隨機(jī)變量及其分布解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄所以第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄

一、泊松分布的定義設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~P().(III)泊松分布（poission

）易見(jiàn)Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布．例如，可以證明，電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時(shí)間間隔內(nèi)來(lái)到某服務(wù)臺(tái)要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量泊松分布表附表一(P239)查P{X=5}查P{X>5}查P{X<5}查P{X≤5}查P{X≥5}例10

一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過(guò)去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來(lái)描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解:設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)λ=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件,求滿足P{X≤m}>0.95的最小的m.進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)求滿足P{X≤m}>0.95的最小的m.查泊松分布表得P{X>m}≤0.05也即于是得m+1=10,或m=9件歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的.二、二項(xiàng)分布與泊松分布命題對(duì)于二項(xiàng)分布B(n,p),當(dāng)n充分大,p又很小時(shí),則對(duì)任意固定的非負(fù)整數(shù)k,有近似公式由泊松定理，n重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等例11

為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來(lái)處理.問(wèn)至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?我們先對(duì)題目進(jìn)行分析：

300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01.一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理.

問(wèn)至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?

設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺(tái)出故障概率p=0.01.可看作n=300的貝努里概型.X~B(n,p)，n=300,p=0.01可見(jiàn)，

300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01.一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理.

問(wèn)至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X~B(n,p)，n=300,

p=0.01設(shè)需配備N個(gè)維修人員，所求的是滿足