復(fù)變函數(shù)論第一章優(yōu)秀課件

復(fù)變函數(shù)論第一章引言16世紀(jì)，人們在解代數(shù)方程時引入復(fù)數(shù)；在17和18世紀(jì)，隨著微積分的發(fā)明和發(fā)展，人們研究了復(fù)變函數(shù)，特別是把實(shí)變數(shù)初等函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形，得到一些重要結(jié)果；19世紀(jì)，柯西等奠定了復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)；復(fù)變函數(shù)論的建立和發(fā)展與解決實(shí)際問題相聯(lián)系。《復(fù)變函數(shù)論》課程目的學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)基本理論。為后繼課程的學(xué)習(xí)打下重要基礎(chǔ)。培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力。盡量做到課前預(yù)習(xí)要講的內(nèi)容，提高聽課效率。上課認(rèn)真聽課做筆記。對于不清楚的地方大膽提問。獨(dú)立完成作業(yè)?！稄?fù)變函數(shù)論》課程學(xué)習(xí)要求總課時：48（16次課）成績構(gòu)成：平時表現(xiàn)10％(作業(yè)，出勤，課堂表現(xiàn))

半期考及平時小測驗(yàn)20％期末考70％考試方式：閉卷《復(fù)變函數(shù)論》課程安排《復(fù)變函數(shù)論》（第三版）鐘玉泉編，（高等教育出版社，2004年，高等學(xué)校教材）

《復(fù)變函數(shù)論》教材第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章解析函數(shù)

第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法

第五章解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用《復(fù)變函數(shù)論》課程目錄第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1復(fù)數(shù)§2復(fù)平面上的點(diǎn)集§3復(fù)變函數(shù)§4復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)89§1.1復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)域3、復(fù)數(shù)的模與輻角2、復(fù)平面上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁4、復(fù)數(shù)的乘冪與方根5、共軛復(fù)數(shù)6、復(fù)數(shù)在幾何上的應(yīng)用舉例101、復(fù)數(shù)域1.1虛單位:對虛數(shù)單位的規(guī)定:(2)i可以與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算11虛數(shù)單位的性質(zhì):……12虛部記作：y=Imz實(shí)部記作：x=Rez1.2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的定義:13兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等復(fù)數(shù)相等注：如果兩個數(shù)不全是實(shí)數(shù),就不能比較大小設(shè)：z1=x1+i·y1

z2=x2+i·y214例1解令151.3復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1.兩復(fù)數(shù)的和:2.兩復(fù)數(shù)的積:3.兩復(fù)數(shù)的商:注：

1.復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算2.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算保持一致16定理:

全體復(fù)數(shù)關(guān)于上述運(yùn)算做成一個數(shù)域.稱為復(fù)數(shù)域，用C表示.則復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律1.加法交換律2.加法結(jié)合律3.乘法交換律4.乘法結(jié)合律5.乘法對加法的分配律172、復(fù)平面18復(fù)數(shù)z=x+iy可以用復(fù)平面上的點(diǎn)(x,y)表示。復(fù)數(shù)z=x+iy可以用復(fù)平面上的點(diǎn)向量表示。復(fù)數(shù)的向量表示法19結(jié)論:

兩個復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.20復(fù)數(shù)的模(或絕對值):向量的長度稱為復(fù)數(shù)z的模，記為：模的性質(zhì)：3、復(fù)數(shù)的模與輻角三角不等式:21復(fù)數(shù)的輻角:如果是其中一個輻角，那么z的全部輻角為：22輻角的主值23例1.2求及解：2425三角表示法利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成稱為復(fù)數(shù)z的指數(shù)表示式.指數(shù)表示法利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成26例1.4將下來復(fù)數(shù)寫成指數(shù)形式。274、復(fù)數(shù)的乘冪與方根

1)

乘積與商

兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.則有28

幾何意義復(fù)數(shù)相乘就是把模相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為29

兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.則有30(a)n次冪:利用復(fù)數(shù)的三角表示，考慮復(fù)數(shù)的乘冪：對于任意的正整數(shù)n，有：n為負(fù)整數(shù)時，有：2)冪與根31(b)棣莫佛公式32實(shí)部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).5、共軛復(fù)數(shù):33例2解34共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):以上各式證明略.35例3解36例4證376、復(fù)數(shù)在幾何上的應(yīng)用舉例例1.15證明三角形的內(nèi)角和等于。38練習(xí)1解39練習(xí)2解40作業(yè)1P42：1，2，341第二節(jié)復(fù)平面上的點(diǎn)集1、復(fù)平面點(diǎn)集的幾個基本概念2、區(qū)域與約當(dāng)(Jordan)曲線3、典型例題4、小結(jié)與思考421、復(fù)平面點(diǎn)集的幾個基本概念定義1.1鄰域:記作:N(z0)N(z0)={z||z-z0|<}記作：N0(z0)={z|0<|z-z0|<}43定義1.2聚點(diǎn)、外點(diǎn)、孤立點(diǎn)

如果z0屬于E，但不是E的聚點(diǎn)，則稱z0為E的孤立點(diǎn).

如果z0不屬于E，又不是E的聚點(diǎn)，則稱z0為E的外點(diǎn).z0為E的孤立點(diǎn)>0:N(z0)E={z0}z0為E的外點(diǎn)>0:N(z0)E=44定義1.3內(nèi)點(diǎn):

如果在z0的任意一個鄰域內(nèi),都有屬于E

的點(diǎn),也有不屬于E的點(diǎn),則稱z0為E的邊界點(diǎn)。z0為E的內(nèi)點(diǎn)>0:N(z0)E點(diǎn)集E的全體邊界組成的集合稱為E的邊界。記為：E邊界點(diǎn):45定義1.4有界集和無界集:

如果E內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那末E稱為開集.如果E內(nèi)沒有聚點(diǎn)，或者所有聚點(diǎn)都屬于它,那末E稱為閉集.46定義1.5區(qū)域:

如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個條件,則稱它為一個區(qū)域.(1)D是一個開集；(2)D是連通的,就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.2、區(qū)域與約當(dāng)(Jordan)曲線D加上D的邊界稱為閉區(qū)域。記為D＝D+D

z1z2D47注：(2)區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.(1)區(qū)域都是開的.(1)圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.48定義1.6連續(xù)曲線:平面曲線C的復(fù)數(shù)表示:C的復(fù)參數(shù)方程起點(diǎn)z()C終點(diǎn)z()zxyCC的正向：起點(diǎn)終點(diǎn)o49

沒有重點(diǎn)的曲線C稱為簡單曲線(或若爾當(dāng)曲線).重點(diǎn)重點(diǎn)重點(diǎn)即：簡單曲線自身不相交.50簡單閉曲線的性質(zhì)約當(dāng)定理

任意一條簡單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成C,I(C),E(C)三個互不相交的點(diǎn)集.滿足：I(C)E(C)邊界（2）I(C)是一個有界區(qū)域（稱為C的內(nèi)部）.（3）E(C)是一個無界區(qū)域（稱為C的外部）.（4）若簡單折線P的一個端點(diǎn)屬于I(C)，另一個端點(diǎn)屬于E(C)

，則P必與C相交.（1）彼此不相交51光滑曲線:

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.特點(diǎn)

（1）光滑曲線上的各點(diǎn)都有切線

（2）光滑曲線可以求長52單連通域與多連通域的定義:

復(fù)平面上的一個區(qū)域B,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域.一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域533、典型例題例1

指明下列不等式所確定的區(qū)域,是有界的還是無界的,單連通的還是多連通的.解無界的單連通域54是角形域,無界的單連通域無界的多連通域

55表示到1,–1的距離之和為定值4的點(diǎn)的軌跡,是橢圓,有界的單連通域56有界的單連通域.57例2解

滿足下列條件的點(diǎn)集是什么,如果是區(qū)域,指出是單連通域還是多連通域?是一條平行于實(shí)軸的直線,不是區(qū)域.單連通域.58是多連通域.不是區(qū)域.5960單連通域.614、小結(jié)與思考應(yīng)理解區(qū)域的有關(guān)概念:鄰域、去心鄰域、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、邊界、開集、閉集、區(qū)域、有界區(qū)域、無界區(qū)域理解單連通域與多連通域62第三節(jié)復(fù)變函數(shù)1、復(fù)變函數(shù)的概念2、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性3、小結(jié)與思考631、復(fù)變函數(shù)的概念(1)復(fù)變函數(shù)的定義64(2)單(多)值函數(shù)的定義65(3)定義集合和函數(shù)值集合:66(4)復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系:例如,若令z=rei,則w=f(z)=u(r,)+iv(r,)67(5)復(fù)變函數(shù)的幾何意義取兩張復(fù)平面，分別稱為z平面和w平面6869且是全同圖形.7071根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知,72(如下頁圖)73W

將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個長方形.74(6)反函數(shù)的定義75根據(jù)反函數(shù)的定義,當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時,今后不再區(qū)別函數(shù)與映射.76例177解78解79解仍是扇形域.80例2解81所以象的參數(shù)方程為82作業(yè)2P42：6（2）（6）（7），9，11（1）（2）832、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)(1)函數(shù)極限注:定義:84

極限計算的性質(zhì)定理1.285證根據(jù)極限的定義(1)必要性.86(2)充分性.[證畢]87注：88定理與實(shí)變函數(shù)的極限性質(zhì)類似.89例3證根據(jù)定理一可知,90(2)函數(shù)的連續(xù)性（1）

f(z)在z0處有定義

（2）f(z)在z0處有極限

（3）f(z)在z0處的極限值等于函數(shù)值連續(xù)的三要素:91連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)92定理1.3例如,9394例1.26試證：f(z)在原點(diǎn)無極限，從而在原點(diǎn)不連續(xù)證明：95特殊的:(1)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)(2)有理分式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的.96例5證97有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1.7

設(shè)E是有界閉集，f(z)C(E)，則有：

（1）

f(z)在E上一致連續(xù)。即>0,>0，當(dāng)z1,z2E且|z1-z2|<，有|f(z1)-f(z2)|<（2）f(z)在E上有界：

M>0zE|f(z)|<M

（3）|f(z)|在E上有最值。即：

z1,z2EzE有：|f(z)|<|f(z1)|，|f(z)|>|f(z2)|98復(fù)平面點(diǎn)集的幾個基本定理定理1.4(Bolzano-Weierstrass)聚點(diǎn)定理每一個有界無窮點(diǎn)集,至少有一個聚點(diǎn)定理1.5(Conton閉集套定理)設(shè)有無窮閉集列{Fn},FnFn定理1.6(Heine-Borel定理)992.熟悉復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性的運(yùn)算法則與性質(zhì).1.復(fù)變函數(shù)以及映射的概念是本章的一個重點(diǎn).3、小結(jié)與思考100思考題1011.4

復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)1、復(fù)球面2、擴(kuò)充復(fù)平面上的幾個概念3、小結(jié)與思考1021、

復(fù)球面(1)南極、北極的定義xyONSz103xxON