第十九章排列組合二項式定理

§10.3二項式定理教材回顧夯實雙基基礎(chǔ)梳理1．二項式定理

(a＋b)n＝．nCr

n－r

rna

b

叫做二項展開式的通項，記作

.nnC

a

＋C

a—0

n 1

n 1nb

＋…＋C

a—n1

r n r

r n n *b

＋…＋C

b

(n∈N

)右邊的多項式叫做(a＋b)n

的二項展開式，其中各項的系數(shù)Cr

(r＝0,1，…，n)叫做

二項式系數(shù)

，式中的第

r＋1

項＋r

1

nT

＝C

a—r

n

rbr2．二項式系數(shù)的性質(zhì)nnn二項式系數(shù)相等，即C

＝C

，C

＝C—n0

n

1

n

1

2n，C

＝C—n

2n，…，C

＝C—r

n

rn

n.n(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)Ck，當(dāng)k<n＋12時，二項式系數(shù)是遞增的；當(dāng)k>n＋12當(dāng)

n

是奇數(shù)時，中間兩項

和

相等，且同時取得最大值．(1)對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個時，二項式系數(shù)是遞減的．n當(dāng)

n

是偶數(shù)時，中間一項

n

取得最大值．C

2

n-1nC

2nC

2

n+1(3)各二項式系數(shù)的和(a＋b)n

的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即C0＋C1＋n

nn

n

nC2＋…＋Cr

＋…＋Cn＝

.n

n

n

n

n式系數(shù)之和，即

C1＋C3＋C5＋…＝C0＋C2＋…＝

.2n(4)二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項2n－1思考探究(a＋b)n的展開式中與(b＋a)n的展開式中第r＋1項一定相同嗎？n提示：不一定．(a＋b)

的第

rn＋1

項為C

a—r

n

r

rnb

，而(b＋a)

的n第r＋1

項為C

b—r

n

r

ra

.要注意二者之間的前后對應(yīng)關(guān)系．課前熱身1．(教材改編)(2x－

1

)6

的展開式倒數(shù)第三項為(

)xA．—16060B.

xC．240x160D．—

x答案：B22．(1＋x)5

的展開式中

x2

的系數(shù)為(

)A．10

B．55C.2

D．1答案：C3．(1＋x)2n(n∈N*)的展開式中，系數(shù)最大的項是(

)nA．第2＋1

項B．第n

項C．第n＋1

項D．第n

項與第n＋1

項答案：Cn*

0

nn5．設(shè)n∈N

，則C

2

－C

2n1

n－1

k

k

n－k＋…＋(－1)

C

2

＋…n＋(－1)nCn等于

．4．(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a1＋a2＋…＋a8＝

.答案：255答案：1考點探究講練互動考點突破考點

1

二項展開式中指定項的有關(guān)問題求展開式中某特定項(如有理項、常數(shù)項)或某指定項(如第

r＋1項、含xr項)以及某指定項的系數(shù)、二項式系數(shù)等問題，通常是抓住通項公式不放．例1(2011·高考重慶卷)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝(

)A．6

B．7C．8

D．9【思路分析】

本題考查二項展開式中特定項及系數(shù)的求法；主要利用系數(shù)概念求出n.【解析】

(1＋3x)n

的展開式中含

x5

的項為

C5(3x)5＝C535x5，n

n展開式中含x6

的項為C636x6，由兩項的系數(shù)相等得C5

·35＝n

nnC6·36，解得n＝7.【答案】

B【解題感受】

弄清某指定項的系數(shù)與展開式的二項式系數(shù)的區(qū)別．考點2

二項展開式的系數(shù)和問題這類問題，一般采取“賦值”法，令二項式中的字母取特殊的數(shù)，構(gòu)造出要求的和的形式．例2若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a7＋a6＋…＋a1；(2)a7＋a5＋a3＋a1；(3)a6＋a4＋a2＋a0.【思路分析】

所求結(jié)果與各項系數(shù)有關(guān)，可以考慮用“特殊值”法，即“賦值法”整體解決．【解】

(1)令

x＝0，則

a0＝－1；令

x＝1，則

a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，

①∴a7＋a6＋…＋a1＝129.(2)令x＝－1，則－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②2得：2a7＋a5＋a3＋a1＝1[128－(－4)7]＝8

256.(3)由①＋②2得2a6＋a4＋a2＋a0＝1[128＋(－4)7]＝－8

128.【思維總結(jié)】

求所有項的系數(shù)和，令變量取“1”，構(gòu)造a0＋a1＋a2＋…＋an的形式．3．賦值法在二項式定理中的應(yīng)用是高考?？嫉膬?nèi)容，二項式定理實質(zhì)是關(guān)于a、b、n的恒等式．除了正用、逆用這個恒等式，還可以根據(jù)系數(shù)和的特征，讓a，b取相應(yīng)的特殊值，從而得到要求(或證)的式子．至于特殊值a，b如何選取，視具體問題而定．例如：若(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則設(shè)f(x)＝(ax＋b)n.有：(1)常數(shù)項為a0＝f(0)；(2)各項系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋an＝f(1)；(3)a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝f(－1)；(4)奇數(shù)項系數(shù)之和為a

＋a

＋a

＋a

＋…＝f(1)＋f(－1)2；0

2

4

6(5)偶數(shù)項系數(shù)之和為1

3

5

7a

＋a

＋a

＋a

＋…＝f(1)－f(－1)2.4．應(yīng)用二項式定理證明整除性問題時，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項式，其基本思路是：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項都能被另一個式子整除即可．因此一般要把被除式化為含有相關(guān)除式的二項式，然后再展開．此時可采用“配湊法”、“消去法”結(jié)合整除的有關(guān)知識來求解．失誤防范要正確區(qū)分展開式中的“項”、“項的系數(shù)”、“項的二項式系數(shù)”等概念的異同．“賦值法”是求二項展開式系數(shù)問題常用方法．注意取值有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組

值．解題易出現(xiàn)漏項等情況，應(yīng)引起注意．切不可盲目代入x＝1或x＝－1.

3．利用二