群論群的等價表示

群論群的等價表示1第1頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月●兩種觀點（互為逆變換）主動觀點：坐標系不動，系統(tǒng)轉動（√）被動觀點：系統(tǒng)不動，坐標系轉動如：要描述N個粒子的系統(tǒng)，需要3N個坐標來描寫為了書寫方便，用一個字母x描寫N粒子系統(tǒng)的全部坐標用標量函數ψ(x)和ψ'(x)描寫變換前后標量場的分布變換記為R則：經過R變換后，在x點的場變到了x'點因標量場在變換前后保持不變變換后的標量場在x'點的值應等于變換前的場在x點的值2第2頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月3.標量函數的變換算符PR

定義PR是一個算符，把變換前的標量函數ψ變成新的標量函數ψ'則（定義）（x=R-1x'）（標量場）因為自變量要取遍定義域上所有的值，符號上用x'或x都一樣則有說明1）變換算符PR對任意函數ψ(x)的作用規(guī)則所有的標量函數都滿足上式，即

先把原來的函數ψ(x)的自變量換成R-1x

再把它看成x的函數，就得到新的函數形式PRψ=ψ'3第3頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月2）PR顯然是線性算符3）ψ與PRψ=ψ'是兩種不同的函數形式上式給出了這兩個函數值上的聯系

PR作用在ψ上變成新的函數ψ'

再做S變換時，PS作用在ψ'上，即而不是4）PR構成群PG，稱為群G的線性實現——對稱變換群算符PR與變換R間一一對應它們的乘積仍按同一規(guī)則一一對應即變換R集合構成的群G與算符PR構成的群PG同構4第4頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月練習由函數基ψ1(x,y)=x2,ψ2(x,y)=xy,ψ3(x,y)=y2,架設的三維函數空間對下列二維空間轉動變換R保持不變，試計算變換R對應的標量函數算符PR在此函數基中的矩陣形式D(R):5第5頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月二、等價表示1.表示空間表示所作用的線性空間正則表示空間：即是群代數基：表示空間中基的選擇不唯一如：在給定的不變函數空間中，線性變換群PG作用在ψμ(x)上，得到一個線性表示，這個線性函數空間就是表示空間而對m維方矩陣構成的矩陣群，群元素描寫m維空間的線性變換，則這m維空間就是矩陣群自身表示的表示空間當一組基做線性組合時PR的矩陣形式做相似變換6第6頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月7第7頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月2.等價表示定義兩個等價表示維數相同；相似變換矩陣X也是同維非奇異矩陣等價于同一表示的兩個表示互相等價（傳遞性）等價表示無實質上的區(qū)別（只是表現形式不同）若群G所有元素R在兩個表示D(G)和D(G)中表示矩陣存在同一相似變換關系，即則這樣的兩個表示稱為等價表示，記作說明尋找群G所有表示的問題尋找群G所有不等價表示問題8第8頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月3.判斷兩個表示是否等價的充要條件對有限群，每個元素在兩個表示中的特征標對應相等，即注：特征標是類的函數，同類中的元素表示矩陣的特征標相等，這樣，只需從每類元素中選出一個元素，檢驗它們在兩個表示中的特征標是否相等即可。三、表示的幺正性定理一：有限群的線性表示等價于幺正表示，而且兩個等價的幺正表示一定可以通過幺正的相似變換相聯系推論：有限群的實表示等價于實正交表示，而且兩個等價的實正交表示一定可以通過實正交的相似變換相聯系9第9頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月四、不可約表示1.準備知識兩個子空間直和：n維線性空間中，m個矢量及其所有線性組合構成m維線性空間，稱為n維線性空間的子空間子空間：零空間（m=0），全空間（m=n）兩個平庸子空間：子空間的矢量關于線性算符不變

PRR=S∈V子不變（真）子空間：設W和W'是線性空間V的子空間，若對任意x∈V，可找到y(tǒng)∈W，z∈W'，并唯一的將x表示為x=y+z，或V=W+W'，W∩W'={Ο}則稱V是W和W'的直和，W和W'為互補子空間記為V=W+W'10第10頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月2.不可約表示定義若群G的表示D(G)的每一個表示矩陣D(R)都能通過一個相似變換X化成同一形式的階梯矩陣則此表示稱為可約表示，否則稱為不可約表示。說明上式中兩個子矩陣D(1)(R)和D(2)(R)的集合分別構成群G的線性表示元素在可約表示中的特征標等于子表示中的特征標之和

可約表示的表示空間存在非平庸不變子空間在表示空間中存在非平庸不變子空間的表示稱為可約表示否則是不可約表示11第11頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月3.完全可約表示若D(G)的表示空間存在兩個互補的不變子空間，可在兩個子空間分別取一組基，構成整個空間的一組完備基，在這組基下，D(R)都取同一形式的方塊矩陣該表示稱為完全可約表示，表示的這種形式成為已約表示（可約且完全可約）有時表示空間雖存在非平庸不變子空間，但無論如何選擇，其相補子空間都不是不變的，這樣的表示仍然可約，但稱為不能完全約化的可約表示（可約卻不完全可約）有限群的可約表示一定是完全可約的12第12頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月尋找群G所有表示的問題尋找群G所有不等價表示問題

尋找所有不等價不可約表示群論的基本