第三講線性變換之一

設(shè)S、S′是給定的兩個非空集合，如果有一個對都有S′中一個唯一確定的元素a′與它對應(yīng),則稱σ為S到S′的一個映射，記作:s:SfiS'或S sfi原象，記作σ(a)＝a′sa對于S中每個元素a，需要有S′中一個唯一若aa?S,s(a)s(a'),則稱為b?Sa?S,s(a)b,則稱為例判斷下列M到M′

"n?

σ：σ(A)＝|A|，A? S＝K，S′＝n（K為數(shù)域τ：τ(a)＝aE，a?為n級單位矩陣）（是）

σ：σ(f(x))＝f′(x)fx?P 設(shè)σ1σ2都是集合S到集合S′的兩個映射，若對S的每個元素a都有σ1(a)=σ2(a)設(shè)στ是集合S到S1，集合S1到S2

ssa=tsa a?設(shè)στμ是集合S到S1,S1到S2,S2到S3 sm=tsm) s?a?S$s(a?S;b?S,$a?Sst.s(a)ab?S,

a?

有s(ass(as(b),就有a a+ax+ax2

+ax3

a,a,a,a設(shè)V為數(shù)域K上的線性空間，若變換T:Vfi滿足："x,y?V, k?Kxy=x+y)x=x

kx=x+Ty)"x,y?VKx+y=k(x+y)=kx+ky=Kx+KyKx=kmx=mkx=mKx由數(shù)k決定的數(shù)乘變換：K:VfiV x "x?例1.VR2(實數(shù)域上二維向量空間)，把V中每用

qT:R2q

R2

xy這里，x=y

xcosq易驗證：x,y?R2k?RxxyTqxkTqcosq例2．V=R3,a?V為一固定非零向量，把V中每一個向量x變成它在上的 性變換.用a:R3fiR3,x(a,x)a "x? (a,x),(a,a)表示內(nèi)積ax+h=ax+ahax=k ax)

D:VfiV D(f(x))=f( "f(x)?x,x?

k?R=(tg(t+g(tkfkf=(t .ta,bta,bfia,b J

=

fxx,x?a,b tkf)=kflg(u)du f(u)du+la+g(tT(0)=0,T(-x)=-T(若xk1x1k2x2+krxr,Txk1Tx1k2Tx2+krTxr的向量組.即1,Tx2xrk1x1+k2x2++krxr =01x2xr1,Tx2xr線性相關(guān)的向量組.如零變換.x,x,x,=(2x1,x2,x2-x3

f2( Tx= a?V非零固定 TX= A?Cn·n固定. 1,2的T1T21T2xT1xT2x,x?V(1)(T1+T2)(kx)=T1(kx)+T2(kx)=k(T1x)+k(T2 =k(T1+T2)設(shè)T為線性空間V-Tx=x

換律1+T2=T2+12

(-T)+T=設(shè)T為線性空間V的線性變換，k?K,定義kTx=x

k(T1+T2)=kT1+(k+l)T=kT+(kl)T=k(lT1T=注：線性空間V上的全體線性變換所成集合對于Hom(V,V)

,2x2

2(kx)=k(T2122233（2）TeT=TTe=

2=13.xfx=xxJ

=

ftJfx=

xftt=fx

DJ

=

xx=x

tdt

0\DJ?例2.設(shè)A、B?

"X?則T,T皆為Rn·n的線性變換，且對X?Rn·n 2((\T1T2=ST=TS=則稱TS為T的逆變換，記作T-1

"x,y?V T-1x+y=T-1T1x+T1yTTx+y=T1TT1x+T-1yx+yT-1x=T-1kT-1x=T-1kTT1x=T-1TkT1x=kT1x=kT-1x\T-1是V的線性變換(2)(2)線性變換T證："" 設(shè)T為線性空間V上可逆線性變換.任取x,y?V, 若T(x)=T(y), x=(T-1T)(x)=T-1(T(x))=T-1(T( \T為單射其次，對"y?V,令x=T-1( 則x?V,TxT(T-1yTT-1y \T為滿射 故T為一一對應(yīng) 的線性變換，且TS=ST= 故T可逆S= 設(shè)x1x2,xn是線性空間V的一組基，T為V的"設(shè)k1Tx1k2Tx2+knTxnT(k1x1k2x2+knxn因為T可逆，由(2)，TT(0\k1x1+k2x2++knxn= i=1,2,, 因而，對"y?V,即有T(k1x1k2x2+knxn)\T為滿射 其次，任取xy?V若T(x)=T(

x=aixi

y=bixiaiT(xi)=biT(xi Tx1Tx2,Txn)\ai=bi i=1,2,,

x從而，T為單射. 故T為一一對應(yīng).由(2)，T為可逆變換. 1+x2xr=T(k1x1k2x2+krxr\k1x1+k2x2++kr 由x1,x2,,xr線性無關(guān)，有k1=k2== Tn=n稱之為T的n次冪.n0

0 0①易證Tm+n=TmTn Tmn=Tmn

m,n?T為可逆變換時，定義T的負整數(shù)冪T-n=T1SnTnSnm設(shè)fxm

xm

f(T)=aTm++aT+a x=x+x x=xgxTTTpT=fTgT②對"f(x),g(x)?P[ fT+gT=gT+fTTgT=TT證明：TkS-STk=kTk-1, k>當k=2時，若TS-ST