矩陣的運(yùn)算與處理

矩陣的運(yùn)算和處理王玉皞博士/副教授南昌大學(xué)信息工程學(xué)院Email：w.yuhao@9-1矩陣的索引或下標(biāo)矩陣A中，位于第i行、第j列的元素可表示為A(i,j)i與j即是此元素的下標(biāo)（Subscript）或索引（Index）MATLAB中，所有矩陣的內(nèi)部表示法都是以列為主的一維向量A(i,j)和A(i+(j-1)*m)是完全一樣的~m為矩陣A的列數(shù)我們可以使用一維或二維下標(biāo)來(lái)存取矩陣矩陣的索引或下標(biāo)矩陣的索引或下標(biāo)可以使用矩陣下標(biāo)來(lái)進(jìn)行矩陣的索引（Indexing）A(4:5,2:3)-取出矩陣A的第四、五行與二、三列所形成的部份矩陣A([914;1015])-用一維下標(biāo)的方式來(lái)達(dá)到同樣目的用冒號(hào)（:）,取出一整列或一整行A(:,5)-取出矩陣A的第五個(gè)列用end這個(gè)保留字來(lái)代表某一維度的最大值A(chǔ)(:,end)-矩陣A的最后一個(gè)列可以直接刪除矩陣的某一整個(gè)行或列A(2,:)=[]–刪除A矩陣的第二行A(:,[245])=[]-刪除A矩陣的第二、四、五列矩陣的索引或下標(biāo)可依次把矩陣A和其倒數(shù)「并排」起來(lái)，得到新矩陣BB=[A1./A]-1./A是矩陣A每個(gè)元素的倒數(shù)用diag

指令取出矩陣的對(duì)角線各元素d=diag(B)-取出矩陣B的對(duì)角線元素用reshape指令來(lái)改變一個(gè)矩陣的維度C=reshape(B,2,8)-將矩陣B排成2×8的新矩陣C注意!!MATLAB會(huì)先將矩陣B排成一個(gè)行向量（即MATLAB內(nèi)部的矩陣表示法），再將此行向量塞成2×8的新矩陣9-2 特殊用途矩陣產(chǎn)生各種特殊用途矩陣的好用指令:指令說(shuō)明zeros(m,n)產(chǎn)生維度為m×n

，構(gòu)成元素全為0的矩陣ones(m,n)產(chǎn)生維度為m×n

，構(gòu)成元素全為1的矩陣eye(n)產(chǎn)生維度為n×n

，對(duì)角線的各元素全為1，其它各元素全為0的單位矩陣pascal(m,n)產(chǎn)生維度為m×n

的Pascal矩陣vander(m,n)產(chǎn)生維度為m×n

的Vandermonde

矩陣hilb(n)產(chǎn)生維度為n×n

的Hilbert矩陣rand(m,n)產(chǎn)生[0,1]均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣，其維度為m×nrandn(m,n)產(chǎn)生μ=0,σ=1的正規(guī)分布隨機(jī)數(shù)矩陣，其維度為m×nmagic(n)產(chǎn)生維度為n×n

的魔方陣，其各個(gè)直行、橫列及兩對(duì)角線的元素和都相等Hilbert矩陣and魔方陣hilb(n)指令可以產(chǎn)生n×n

的Hilbert矩陣Hilbert矩陣的特性:當(dāng)矩陣變大時(shí)，其反矩陣會(huì)接近Singular（即矩陣的行列式會(huì)接近于0）Hilbert矩陣常被用來(lái)評(píng)估各種反矩陣計(jì)算方法的穩(wěn)定性magic(n)可以產(chǎn)生一個(gè)n×n

的魔方陣（MagicMatrix），其各個(gè)列、行及兩對(duì)角線的元素值總和都相等均勻和高斯分布rand指令及randn

指令則常用于產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)矩陣范例9-11:matrix11.mx1=rand(10000,1);x2=randn(10000,1);subplot(2,1,1);hist(x1,40);title('均勻分布');subplot(2,1,2);hist(x2,40);title('高斯分布');9-3 矩陣的數(shù)學(xué)運(yùn)算矩陣的加減與一般純量（Scalar）的加減類(lèi)似相加或相減的矩陣必需具有相同的維度范例9-12:matrix12.m

C= 13375824矩陣與純量可以直接進(jìn)行加減，MATLAB會(huì)直接將加減應(yīng)用到每一個(gè)元素

>>A=[12321]+5 A= 67876A=[12345620];B=[1324];C=A+B矩陣的乘法與除法純量對(duì)矩陣的乘或除，可比照一般寫(xiě)法

>>A=[123,442]; >>C=A/3 >>B=2*A C= B= 41.0000147.3333 246884欲進(jìn)行矩陣相乘，必需確認(rèn)第一個(gè)矩陣的列數(shù)目（ColumnDimension）必需等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)目（RowDimension）范例9-13:matrix12.m

C= 345 6810矩陣的除法，常藉由反矩陣或解線性方程式來(lái)達(dá)成A=[1;2];B=[3,4,5];C=A*B矩陣的次方運(yùn)算矩陣的次方運(yùn)算，可由「^」來(lái)達(dá)成，但矩陣必需是方陣，其次方運(yùn)算才有意義范例9-14:matrix14.m

B= 916767 679167 676791在「*」，「/」及「^」之前加上一個(gè)句點(diǎn)，MATLAB將會(huì)執(zhí)行矩陣內(nèi)「元素對(duì)元素」（Element-by-element）的運(yùn)算

A=magic(3);B=A^2A=[12;45];B=[2;3];C=A.*B %注意「*」前面的句點(diǎn)D=A./B %注意「/」前面的句點(diǎn)E=A.^2 %注意「^」前面的句點(diǎn)轉(zhuǎn)置和「共軛轉(zhuǎn)置」矩陣復(fù)數(shù)矩陣z，其「共軛轉(zhuǎn)置」矩陣（ConjugateTranspose）可表示成矩陣z'范例9-16:conjTranspose01.m

w= 1.0000-1.0000i3.0000 2.00001.0000-2.0000i想得到任何矩陣z的轉(zhuǎn)置（Transpose），則可表示成矩陣z.'范例9-17:transpose01.m w= 1.0000+1.0000i3.0000 2.00001.0000+2.0000i

若z為實(shí)數(shù)，則z'和z.'的結(jié)果是一樣的i=sqrt(-1); %單位虛數(shù)z=[1+i,2;3,1+2i];w=z' %共軛轉(zhuǎn)置（注意z后面的單引號(hào)）i=sqrt(-1); %單位虛數(shù)z=[1+i,2;3,1+2i];w=z.' %單純轉(zhuǎn)置（注意z后面的句點(diǎn)及單引號(hào)）向量的p-norm一個(gè)向量a的p-norm可以定義為

p=2時(shí)，此即為向量a的長(zhǎng)度，或稱(chēng)歐氏長(zhǎng)度（EuclideanLength）欲求一向量的

p-norm，可使用

norm指令

norm(x,p)范例9-18:normVector01.ma=[34];x=norm(a,1)%x=7y=norm(a,2)%y=5z=norm(a,inf)%z=4矩陣的p-norm一個(gè)矩陣A的p-norm可以定義如下：norm指令亦可用于計(jì)算矩陣的p-norm范例9-19:normMatrix01.mMATLAB有相當(dāng)完整的數(shù)學(xué)函數(shù),三角函數(shù)還有計(jì)算向量元素統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)A=[123;456;789];norm(A,2)%ans=16.8481Sort指令sort指令可對(duì)向量元素進(jìn)行排序（Sorting）范例9-20:sort01.m

sorted= 13458 index= 41523sorted是排序后的向量，index則是每個(gè)排序后的元素在原向量x的位置x(index)即等于sorted向量如何使用sort指令加上前例中的sorted及index來(lái)求得原先的向量x？x=[35814];[sorted,index]=sort(x) %對(duì)矩陣x的元素進(jìn)行排序矩陣的最大元素找出一矩陣最大元素的位置范例9-21:max01.m

colMax=2324252122

colMaxIndex= 21543colMax

代表每一列的最大值，colMaxIndex

則是每一列出現(xiàn)最大值的位置求得x的最大元素的位置

Maxvalue=x(5,3)=25x的最大元素即是maxValue，發(fā)生位置為[colMaxIndex(maxIndex),maxIndex]=[5,3]若只要找出一矩陣x的最大值，可輸入max(max)或是max(x(：))x=magic(5);[colMax,colMaxIndex]=max(x)x=magic(5);[colMax,colMaxIndex]=max(x);[maxValue,maxIndex]=max(colMax);fprintf('Maxvalue=x(%d,%d)=%d\n',colMaxIndex(maxIndex),maxIndex,maxValue);9-4 矩陣的內(nèi)部數(shù)據(jù)型態(tài)一般矩陣的內(nèi)部數(shù)據(jù)型態(tài)都是double（雙精準(zhǔn)浮點(diǎn)數(shù)），但在MATLAB5.3版之后，也支持不同長(zhǎng)度的整數(shù)與浮點(diǎn)數(shù)數(shù)據(jù)態(tài)

指令說(shuō)明uint8轉(zhuǎn)換成帶正負(fù)號(hào)、8位的整數(shù)，其值域?yàn)閇-128,127]uint16轉(zhuǎn)換成帶正負(fù)號(hào)、16位的整數(shù)，其值域?yàn)閇-32768,32767]uint32轉(zhuǎn)換成帶正負(fù)號(hào)、32位的整數(shù)，其值域?yàn)閇-231,231-1]int8轉(zhuǎn)換成不帶正負(fù)號(hào)、8位的整數(shù)，其值域?yàn)閇0,255]int16轉(zhuǎn)換成不帶正負(fù)號(hào)、16位的整數(shù)，其值域?yàn)閇0,65535]int32轉(zhuǎn)換成不帶正負(fù)號(hào)、32位的整數(shù)，其值域?yàn)閇0,232-1]single轉(zhuǎn)換成single（單精準(zhǔn)浮點(diǎn)數(shù)），占用32位（4bytes）double轉(zhuǎn)換成double（雙精準(zhǔn)浮點(diǎn)數(shù)），占用64位（8bytes）char轉(zhuǎn)換成字符或字符串，每個(gè)字符占用（16位）（2bytes）不同數(shù)據(jù)的儲(chǔ)存我們要節(jié)省內(nèi)存空間，可以依矩陣元素值的范圍，選用不同的數(shù)據(jù)來(lái)儲(chǔ)存范例9-23:datatype01.m

NameSizeBytesClass x1610x10200uint16array x3210x10400uint32array x810x10100uint8array

x_double10x10800doublearray

x_single10x10400